A. B.
C. D.
2. 擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A=“第一枚出現(xiàn)的點數(shù)大于2”，B=“第二枚出現(xiàn)的點數(shù)小于6”，則A與B的關(guān)系為（ ）
A. 互斥B. 互為對立C. 相互獨(dú)立D. 相等
3. 在邊長為2的正方形ABCD中，E為BC中點，則（ ）
A. 2B. 4C. D. 5
4. 北京冬奧會已于2022年2月4日至2月20日順利舉行，這是中國繼北京奧運(yùn)會，南京青奧會后，第三次舉辦的奧運(yùn)賽事．之前，為助力冬奧，提高群眾奧運(yùn)法律知識水平和文明素質(zhì)，某市有關(guān)部門開展冬奧法律知識普及類線上答題，共計30個題目，每個題目2分滿分60分，現(xiàn)從參與線上答題的市民中隨機(jī)抽取1000名，將他們的作答成績分成6組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表，可估計這次線上答題成績的平均數(shù)為（ ）
A. 33B. 34C. 35D. 36
5. 在長方體中，，，則直線與平面ABCD所成角正弦為（ ）
A. B. C. D.
6. 用斜二測畫法畫△ABC的直觀圖為如圖所示的△，其中，，則△ABC的面積為（ ）
A. 1B. 2C. D.
7. 如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD中點，F(xiàn)在線段BE上，且．記，，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 某研究性學(xué)習(xí)小組為了測量某鐵塔OT的高度，在地面A處測得塔頂T的仰角為60°，在距離A處20米的地面B處測得塔頂T的仰角為45°，并測得，則塔高OT為（ ）
A. 米B. 20米C. 30米D. 米
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 新中國成立以來，我國一共進(jìn)行了七次全國人口普查（以下簡稱“普查”），歷次普查得到的全國人口總數(shù)如圖1所示，城鎮(zhèn)人口比重如圖2所示．下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 第三次普查城鎮(zhèn)人口數(shù)量低于2億
B. 對比這七次普查的結(jié)果，我國城鎮(zhèn)人口數(shù)量逐次遞增
C. 第六次普查城鎮(zhèn)人口數(shù)量超過第二次人口普查總?cè)丝跀?shù)
D. 與前一次普查對比，第五次普查的總?cè)丝谠鲩L量高于第四次普查的總?cè)丝谠鲩L量
10. 設(shè)復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，下列判斷中正確是（ ）
A. B.
C. z是方程的一個根D. 滿足最小正整數(shù)n為3
11. 已知向量，滿足，且與的夾角為．若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12. 對于給定的異面直線m，n，以下判斷正確的是（ ）
A. 總存在四個頂點分別在m，n上正三棱錐
B. 總存在直線l，使得l同時與m，n垂直且相交
C. 總存在平面α，β，使得，，且
D. 對于任意點A，總存在過A且與m，n都相交的直線
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，，，則______．
14. 某校從高一男生中隨機(jī)抽取了一個容量為20的身高樣本，將得到的數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，x，172，172，173，173，174，175．若該樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是171，則x的值為______．
15. 設(shè)i是虛數(shù)單位，若關(guān)于x的方程有實數(shù)解，則m的取值集合為______．
16. 如圖，在中空的圓臺容器內(nèi)有一個與之等高的實心圓柱，圓柱的底面與圓臺的下底面重合．已知圓臺的上底面半徑與高均為40cm，下底面半徑為10cm．現(xiàn)要在圓柱側(cè)面和圓臺側(cè)面的間隙放置一些金屬球，則能完全放入的金屬球的最大半徑為______cm，這樣最大半徑的金屬球最多可完全放入______個．
四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知向量，．
（1）求與夾角θ的余弦值；
（2）若與垂直，求實數(shù)k的值．
18. 如圖，在直三棱柱中，E為中點，且．
（1）證明：AB⊥BC；
（2）若，且F為AC中點，求點B到平面的距離．
19. 如圖，某景區(qū)擬開辟一個平面示意圖為五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為電瓶車專用道，，，．
（1）求BE的長；
（2）若，求五邊形ABCDE的周長．
20. 如圖1，在平行四邊形ABCD中，，，，E是邊BC上的點，且．連結(jié)AE，并以AE為折痕將△ABE折起，使點B到達(dá)點P的位置，得到四棱錐，如圖2．
（1）設(shè)平面PEC與平面PAD的交線為l，證明：AD∥l；
（2）在圖2中，已知．
①證明：平面PAE⊥平面AECD；
②求以P，A，D，E為頂點的四面體外接球的表面積．
21. △ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．
（1）若，且，求△ABC的面積；
（2）求的最大值．
22. 某市為了解居民月均用水量的整體情況，通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了其中20戶居民的月均用水量（單位：t），數(shù)據(jù)如下：
9.5 11.7 7.1 16.5 8.3 11.2 10.4 13.5 13.2 6.8
8.5 13.4 9.2 10.2 10.8 12.6 14.2 7.4 9.7 11.8
經(jīng)計算，，，其中為抽取的第i戶居民的月均用水量，其中．
（1）設(shè)“從這20個數(shù)據(jù)中大于13的數(shù)據(jù)中任取兩個，其中恰有一個數(shù)據(jù)大于15”為事件A，求A的概率；
（2）根據(jù)統(tǒng)計原理，決定只保留區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)，剔除該區(qū)間外的數(shù)據(jù)．
①利用保留的數(shù)據(jù)作為樣本，估計該市居民月均用水量的平均值與方差（結(jié)果保留2位小數(shù)）；
②根據(jù)剔除前后的數(shù)據(jù)對比，寫出一個統(tǒng)計結(jié)論．
答案
1-8 DCBBA CDD 9.BD 10.ACD 11.BC 12.BC
13. ##
14. 170
15.
16. ①. 10 ②. 6
17.（1）由題設(shè)，.
（2）由，，
所以，可得.
18.（1）因為，且，所以，
因為是直三棱柱，所以平面，
所以，又因為，且平面，平面，
所以平面，因平面，
所以AB⊥BC.
（2）因為平面，平面，所以平面平面，
因為平面平面，所以平面，
設(shè)中點為，連接，因為是中點，
則，所以平面，
連接，，
因為，
所以，
設(shè)中點為，則，則，
所以，設(shè)點到平面的距離為，
則，
因為，所以，
解得： .
所以點到平面的距離為.
19.（1）由，，可得：，，
而，故，
在直角△中，則.
（2）由（1）知：，則，
，
由且，則，
所以.
所以五邊形ABCDE的周長.
20.（1）由題設(shè)，，而面，面，
所以面，
又面，面，平面PEC與平面PAD的交線為l，面
所以且，
綜上，.
（2）①若為中點，連接，
由題設(shè)，，，則，，
所以，故，
又，平行四邊形ABCD中，可得，
在△中，，，故，
在△中，，，即，
所以，又為中點，故，
在△中，，，則，
所以，
由，面，故面，
又面，則面面.
②由①知：△為直角三角形，則外接圓圓心為，故外接圓半徑為，
又面，則以P，A，D，E為頂點的四面體外接球球心在直線上，
若外接球半徑為，則，可得，
所以外接球的表面積為.
21.（1）由，故，而，
所以，故.
（2）由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，則或（舍），
所以，則，即，
，而，
所以，當(dāng)時有最大值為.
22.（1）解：從表中數(shù)據(jù)得，抽取的20戶居民的月均用水量大于13的數(shù)據(jù)有16.5、13.5、13.2、13.4、14.2，共5個，
記，
從上述大于13的5個數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩個的結(jié)果有如下：，，，，，，，，，，共10種情況，
恰有一個數(shù)據(jù)大于15的有：，，，，共4種情況，
所以；
（2）解：由題意得，
①，所以，
，
由此剔除了16.5這個數(shù)據(jù)，其他19個數(shù)據(jù)將保留作為樣本，
即現(xiàn)有樣本平均值等于，
故估計該市居民月均用水量的平均值是10.5t.
剔除了16.5這個數(shù)據(jù)，其他19個數(shù)據(jù)將保留作為樣本，，
所以現(xiàn)有樣本方差為，
故估計該市居民月均用水量的方差是4.93.
②對比剔除前后的數(shù)據(jù)，可看出剔除后的平均值與剔除前的平均值差別較大，剔除后的方差值與剔除前的方差值差別較大，
16.5作為被剔除的數(shù)據(jù)，且是樣本中最大的數(shù)據(jù)，對平均值、方差造成較大影響，
說明平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，即一個數(shù)據(jù)離平均數(shù)越遠(yuǎn)，對平均數(shù)的影響越大;
故當(dāng)計算平均值時，可以通過去掉最大值和最小值，以降低它們對平均值計算結(jié)果的影響

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