（考試時(shí)間：120分鐘滿分150分）
注意事項(xiàng)：1.考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)及所有的答案均填寫(xiě)在答題卡上.
2.答題要求見(jiàn)答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.
第I卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）
A. B. 1C. D.
【答案】C
2. 在中，已知，，，則（）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】B
3. 已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 劉徽是魏晉時(shí)代著名數(shù)學(xué)家，他給出的階幻方被稱為“神農(nóng)幻方”.所謂幻方，即把排成的方陣，使其每行、每列和對(duì)角線的數(shù)字之和均相等.如圖是劉徽構(gòu)作的3階幻方，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取和為15的三個(gè)數(shù)，則含有4或6的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，則與的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
6. “學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)設(shè)立了“助農(nóng)”欄目實(shí)施對(duì)口扶貧，銷售各種農(nóng)產(chǎn)品.根據(jù)2021年全年某農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬(wàn)元）和該產(chǎn)品的銷售額占總銷售額的百分比，繪制出了如圖所示的雙層餅圖，根據(jù)雙層餅圖（季度和月份后面標(biāo)注的是銷售額或銷售額占總銷售額的百分比），下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A. 第三季度的銷售額為160萬(wàn)元
B. 2月份的銷售額為90萬(wàn)元
C. 12個(gè)月的月銷售額的眾數(shù)為60萬(wàn)元
D. 12個(gè)月的月銷售額的極差為60萬(wàn)元
【答案】D
7. 已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 如果，，，那么
B. 如果，，，那么
C. 如果，，，那么
D. 如果，，，，那么
【答案】A
8. 在中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn)且，若，，則的值為（）
A. 12B. 6C. D.
【答案】B
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知為虛數(shù)單位，以下說(shuō)法中正確的是（）
A.
B. 復(fù)數(shù)虛部為
C. 若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
D. 已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是圓
【答案】AD
10. 袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字都是偶數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為6”，則（）
A. 甲與乙是對(duì)立事件B. 甲與乙是互斥事件
C. 丙與丁相互獨(dú)立D. 甲與丁相互獨(dú)立
【答案】BD
11. 中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A.
B.
C. 若，則
D. 若，則的最小值為
【答案】ACD
12. 如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 平面B. 存在點(diǎn)，，使得
C. 平面與平面所成的角為D. 的最小值為
【答案】AC
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 某年級(jí)舉行合唱比賽，8位評(píng)委對(duì)某班級(jí)代表隊(duì)的評(píng)分如下：82，79，78，81，95，88，84，92，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是__________.
【答案】90
14. 已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
【答案】
15. 某班同學(xué)的體重狀況調(diào)查中，已知30名男生的平均體重為60kg，方差為50，20名女生的平均體重為50kg，方差為60，那么該班50名同學(xué)的平均體重為_(kāi)_________kg，方差為_(kāi)_________.
【答案】 ①. 56； ②. 78
16. 正四面體中，，為棱上一點(diǎn)，且的最小值為，若為線段的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的平面截該正四面體外接球所得截面面積的最小值為_(kāi)_________.
【答案】##
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 1.已知向量，.
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，向量與共線？
（2）若，，且，求實(shí)數(shù)m的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，，所以，，?dāng)向量與共線時(shí)，，解得：，故當(dāng)時(shí)，向量與共線
【小問(wèn)2詳解】
，．
∵，∴，∴.
18. 某校組織學(xué)生觀看“太空授課”后抽取100名學(xué)生參加科學(xué)探索知識(shí)競(jìng)賽，并將所得成績(jī)分成6組：，，，，，，進(jìn)而繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）估計(jì)100名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)，并求圖中的值；
（2）用分層抽樣的方法從成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中選出2人作問(wèn)卷調(diào)查，求這2人在同一組中的概率.
【答案】（1）眾數(shù)75，；
（2）
【解析】
【小問(wèn)1詳解】
由頻率分布直方圖可得眾數(shù)為，
又，解得；
【小問(wèn)2詳解】
三組，，對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.05，0.1，0.15，則在內(nèi)應(yīng)抽取1人，記為；
在內(nèi)應(yīng)抽取2人，記為；在內(nèi)應(yīng)抽取3人，記為，則從這6人中選出2人包含的基本事件為
，共15個(gè)，
其中2人在同一組包含的基本事件為共4個(gè)，則這2人在同一組中的概率為.
19. 如圖，平行四邊形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，.
（1）證明：平面；
（2）證明：平面平面.
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）見(jiàn)解析
【解析】
【小問(wèn)1詳解】
連接交于，連接，易得為中點(diǎn)，又為線段的中點(diǎn)，則，
又平面，平面，則平面；
【小問(wèn)2詳解】
由余弦定理得：，即，則，則，
平行四邊形為矩形，則，又平面平面，平面平面，平面，
則平面，又平面，則，又是半圓弧上的點(diǎn)，則，又，
平面，則平面，又平面，則平面平面.
20. 在中，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（1）求的大??；
（2）若，_____，求邊上的中線的長(zhǎng).
在“①；②周長(zhǎng)為；③的面積為.”這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上述空格中.
【答案】（1）；
（2）3
【解析】
【小問(wèn)1詳解】
由正弦定理得，又由余弦定理得，又，則；
【小問(wèn)2詳解】
由正弦定理得，即，又，則，，則；
若選①，，可得，又，則，由余弦定理可得，
即，則；
若選②，由，可得，又，
可得，由余弦定理可得，即，則；
若選③，由，可得，又，則，由余弦定理可得，
即，則.
21. 甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，每局比賽兩人對(duì)戰(zhàn)，沒(méi)有平局，每局勝者與此局輪空者進(jìn)行下一局的比賽.約定先贏兩局者獲勝，比賽隨即結(jié)束.已知每局比賽甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為.
（1）若第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，求甲獲勝的概率；
（2）哪兩位同學(xué)進(jìn)行首場(chǎng)比賽能使甲獲勝的概率最大？請(qǐng)作出判斷并說(shuō)明理由.
【答案】（1）；
（2）甲丙進(jìn)行首場(chǎng)比賽，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【小問(wèn)1詳解】
第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，甲獲勝有兩種情況：①乙丙對(duì)戰(zhàn)乙勝，甲乙對(duì)戰(zhàn)甲勝，甲丙對(duì)戰(zhàn)甲勝，則概率為；
②乙丙對(duì)戰(zhàn)丙勝，甲丙對(duì)戰(zhàn)甲勝，甲乙對(duì)戰(zhàn)甲勝，則概率為；綜上：甲獲勝的概率為；
【小問(wèn)2詳解】
若第一局乙丙對(duì)戰(zhàn)，由（1）知甲獲勝的概率為；
若第一局甲乙對(duì)戰(zhàn)，則甲獲勝有三種情況：①甲乙對(duì)戰(zhàn)甲勝，甲丙對(duì)戰(zhàn)甲勝，概率為；
②甲乙對(duì)戰(zhàn)甲勝，甲丙對(duì)戰(zhàn)丙勝，乙丙對(duì)戰(zhàn)乙勝，甲乙對(duì)戰(zhàn)甲勝，概率為；
③甲乙對(duì)戰(zhàn)乙勝，乙丙對(duì)戰(zhàn)丙勝，甲丙對(duì)戰(zhàn)甲勝，甲乙對(duì)戰(zhàn)甲勝，概率為；
所以最終甲能獲勝的概率為；
若第一局甲丙對(duì)戰(zhàn)，則甲獲勝有3種情況：①甲丙對(duì)戰(zhàn)甲勝，甲乙對(duì)戰(zhàn)甲勝，概率為；
②甲丙對(duì)戰(zhàn)甲勝，甲乙對(duì)戰(zhàn)乙勝，乙丙對(duì)戰(zhàn)丙勝，甲丙對(duì)戰(zhàn)甲勝，概率為；
③甲丙對(duì)戰(zhàn)丙勝，乙丙對(duì)戰(zhàn)乙勝，甲乙對(duì)戰(zhàn)甲勝，甲丙對(duì)戰(zhàn)甲勝，概率為；
所以最終甲能獲勝的概率為；又，則第一局甲丙對(duì)戰(zhàn)，能使甲獲勝的概率最大.
22. 已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，.
（1）求三棱錐的體積；
（2）已知為棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成角為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小問(wèn)1詳解】
由題意，，由已知，平面，
平面，平面，，
是直角三角形，面積為，
F點(diǎn)到底面ABC的距離，
三棱錐A-EFB的體積；
【小問(wèn)2詳解】
，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：
則有，，
設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，
，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，即解得y=0，取x=1=2，z=1，，
，，
顯然當(dāng)m=0時(shí)，最大，最大值=；
綜上，三棱錐A-EFB的體積為 ，的最大值為.

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