2022-2023學年福建省三明市高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題 一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則（    ）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，再由復數(shù)的模的計算公式求解即可．【詳解】由，得，.故選:．2．已知圓錐底面半徑為1，高為2，則該圓錐側(cè)面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得圓錐的母線長，再利用側(cè)面積公式求解.【詳解】解：因為圓錐底面半徑為1，高為2，所以圓錐的母線長為，所以該圓錐側(cè)面積為，故選：B3．已知平面向量、滿足，，則與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得，結合向量夾角的取值范圍可求得結果.【詳解】因為，則，解得，因為，故，故與的夾角為.故選：A.4．一次投籃練習后體育老師統(tǒng)計了第一小組10個同學的命中次數(shù)作為樣本，計算出他們的平均命中次數(shù)為6，方差為3，后來這個小組又增加了一個同學，投籃命中次數(shù)為6，那么這個小組11個同學投籃命中次數(shù)組成的新樣本的方差是（    ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)樣本的數(shù)字特征分別求出原樣本和新樣本的平均數(shù)，再利用原樣本方差計算新樣本方差即可求解.【詳解】解：由題意得：設10個同學的命中次數(shù)分別為.則有得于是新樣本的平均數(shù)新樣本的方差為故選：B5．在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點，則（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的加減法的幾何意義將轉(zhuǎn)化為、即可.【詳解】.故選：D.  6．設是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（　?。?/span>A．若，則B．若，則C．若，則D．若，且與所成的角和與所成的角相等，則【答案】B【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關系有關知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若，則與可能平行，所以A選項錯誤.B選項，兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行，所以B選項正確.C選項，若，則可能含于，所以C選項錯誤.D選項，若，且與所成的角和與所成的角相等，則可能與異面或相交，故選：B7．麒麟山位于三明市區(qū)中部，海拔262米，原名牛壟山．在地名普查時，發(fā)現(xiàn)山腰有一塊“孔子戲麒麟”石碑，故更現(xiàn)名．山頂?shù)镊梓腴w仿古塔造型是八角重檐閣．小李為測量麒麟閣的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測得，，米，則麒麟閣的高度CD約為（參考數(shù)據(jù)：，）（    ）  A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】由得，再根據(jù)可求出結果.【詳解】因為，，所以，又，所以，又米，所以，解得米.故選：C.8．設為的內(nèi)心，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點，連，則為內(nèi)切圓的半徑，利用面積關系求出，得，再根據(jù)得，由平面向量基本定理求出可得答案.【詳解】取的中點，連，因為，，所以，，所以的內(nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因為，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.  故選：B.【點睛】關鍵點點睛：利用面積關系求出內(nèi)切圓半徑,進而得到是本題解題關鍵. 二、多選題9．設復數(shù)，則下列命題中正確的是（    ）A．在復平面內(nèi)對應的點在第一象限 B．的虛部是C． D．為實數(shù)【答案】ACD【分析】根據(jù)復數(shù)的坐標表示、復數(shù)的概念、共軛復數(shù)的概念、復數(shù)的模長公式以及復數(shù)的乘法運算逐個選項判斷可得答案.【詳解】復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，故A正確；的虛部為，故B錯誤；，，故C正確；為實數(shù)，故D正確.故選：ACD.10．袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地依次隨機摸出2個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字都是偶數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為6”，則（    ）A．甲與乙是對立事件 B．甲與乙是互斥事件C．丙與丁相互獨立 D．甲與丁相互獨立【答案】BD【分析】先求出事件對應的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否為1判斷A、B選項，再由獨立事件的概率公式判斷C、D選項即可.【詳解】設甲、乙、丙、丁事件分別對應，則，，丁包含的基本事件有，則，，；對于A、B，顯然甲乙事件不能同時發(fā)生，又，則A錯誤；B正確；對于C，，則，則C錯誤；對于D，，則，D正確.故選：BD.11．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，下列說法正確的是（    ）A．若則是等腰三角形B．若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個C．，，BC邊上的中線，則的面積為D．若，則為鈍角三角形【答案】BC【分析】對于A利用正弦邊角關系及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得或判斷；對于B應用余弦定理求即可判斷；對于C借助向量的數(shù)量工具，求得，由余弦定理即可求得，由面積公式求得三角形面積即可判斷;對于D由向量數(shù)量積定義判斷；【詳解】對于A：由正弦定理得，則，則中或，故A錯誤；對于B：由，則，可得，故，滿足條件的三角形有一個，故B正確；對于C：設，容易知，故可得，可得，解得.由余弦定理可得；由，可得.故可得三角形面積為.,故C正確；對于D，即，為銳角，故不一定為鈍角三角形，故D錯誤；故選：BC12．如圖，若正方體的棱長為2，點是正方體在側(cè)面上的一個動點（含邊界），點是的中點，則下列結論正確的是（    ）  A．三棱錐的體積為定值 B．四棱錐外接球的半徑為C．若，則的最大值為 D．若，則的最小值為【答案】ABD【分析】求出的體積，即可判斷A，由正方體的性質(zhì)可得四棱錐為正四棱錐，設，則四棱錐外接球的球心在直線上，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可判斷B，過點作，則點是的中點，連接，取的中點，連接，，，即可證明平面，從而得到點的軌跡是線段，再求出的最值，即可判斷C、D.【詳解】對于A：  三棱錐的體積為，因為點是的中點，所以的面積是定值，且點到平面的距離是正方體的棱長，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B：  由正方體的性質(zhì)可得四棱錐為正四棱錐，設，則平面，所以四棱錐外接球的球心在直線上，設外接球的半徑為，則，，，所以，在中，，即，解得，故B正確；對于C：  過點作，則點是的中點，連接，取的中點，連接，，，因為且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，又，所以，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以平面，因為平面平面，又，所以點的軌跡是線段，在中，，，，所以的最大值為，此時與重合，故C錯誤；對于D：在中，，所以，所以點到的距離為，所以的最小值為，故D正確．故選：ABD． 三、填空題13．已知向量，，若，則m的值為      ．【答案】/【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標表示列式可求出結果.【詳解】因為向量，，且，所以，得.故答案為：.14．某校對高二年級全體學生進行數(shù)學學科質(zhì)量檢測，按首選科目（物理和歷史）進行分層抽樣得到一個樣本，樣本中選物理類的學生占，該次質(zhì)量檢測的數(shù)學平均成績?yōu)?/span>100分，選歷史類的學生該次質(zhì)量檢測的數(shù)學平均成績?yōu)?/span>80分，則可估計出該校全體高二學生本次數(shù)學質(zhì)量檢測的平均分是      ．【答案】95【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題可知，樣本中選歷史類的學生占，所以估計該校全體高二學生本次數(shù)學質(zhì)量檢測的平均分為.故答案為：95.15．劉徽是魏晉時代著名的數(shù)學家，他給出的階幻方被稱為“神農(nóng)幻方”．所謂幻方，即把排成的方陣，使其每行、每列和對角線的數(shù)字之和均相等．如圖是劉徽構作的3階幻方，現(xiàn)從中隨機抽取和為15的三個數(shù)，則含有5的概率是      ．816357492【答案】/【分析】先列舉出所有基本事件，再找出含有5的基本事件，由古典概型求解即可.【詳解】隨機抽取和為15的三個數(shù)包含的基本事件為共8個，其中含有5的基本事件有共4個，則含有5的概率是.故答案為：.16．已知正三棱柱木料各棱長都為2，如圖所示，，分別為和的中心，為線段上的點，且，過三點的截面把該木料截成兩部分，則截面面積為      ．  【答案】【分析】連接，延長分別交于，利用得出的延長線交于，作，從而得到梯形為過三點的平面截正三棱柱的截面，再利用三棱柱為正三棱柱且棱長為2，求出梯形的上底和高即可求出結果.【詳解】如圖，連接，延長分別交于，易知，連接并延長交于，過作交于，連接，因為，所以，故梯形為過三點的平面截正三棱柱的截面，因為，分別為和的中心，，又，所以，又是等邊三角形，所以，故，即是的中點，所以，易知四邊形為等腰梯形，所以為等腰梯形的高，又正三棱柱各棱長都為2，所以，，，所以，  故答案為：. 四、解答題17．在中，角的對邊分別，滿足．(1)求；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊得，再根據(jù)余弦定理可求出結果；（2）由以及，求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結果.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，由余弦定理得，因為，所以．（2）由（1）知，，因為，所以，即，又，解得，所以．18．某企業(yè)為了深入學習貫徹黨的二十大精神，組織全體120位黨員開展“學習二十大，爭當領學人”黨史知識競賽，所有黨員的成績均在內(nèi)，成績分成5組，按照下面分組進行統(tǒng)計分析：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示，按比例分配的分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人作為企業(yè)“二十大精神”的宣傳使者．  (1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；(2)若從6位宣傳使者中隨機選取兩人參加宣傳活動，求第3組中至多有一人被選中的概率．【答案】(1)92.5(2) 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出小于90分的黨員成績所占比例，可得黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)位于內(nèi)可得答案；（2）按比例分配的分層抽樣的方法選取第3組黨員人數(shù)，將第3組三位黨員編為A，B，C，其他組三位黨員編為D，E，F，用，表示兩位黨員，則可以用表示隨機選取兩人的組合，用列舉法可得答案．【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，小于90分的黨員成績所占比例為，所以黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)位于內(nèi)，由，可以估計黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為92.5；（2）由頻率分布直方圖可知，第3，4，5組黨員人數(shù)的比例為，按比例分配的分層抽樣的方法選取第3組黨員人數(shù)為人．將第3組三位黨員編為A，B，C，其他組三位黨員編為D，E，F，用，表示兩位黨員，則可以用表示隨機選取兩人的組合，設事件“從宣傳使者中隨機選取兩人，第3組中至多有一人被選中”，試驗的樣本空間，，所以，從而．19．在如圖所示的幾何體中，底面是正方形，四邊形是直角梯形，，，平面平面，分別為的中點，，．  (1)求證：平面平面；(2)求多面體的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明平面和平面，再根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面；（2）由可求出結果.【詳解】（1）因為G，F分別為PB，PC的中點，所以．又因為四邊形是正方形，所以，所以．又因為平面，平面．所以平面．因為G，E分別為PB，MB的中點．所以，又因為平面，平面．所以平面．又因為，EG，平面EFG，所以平面平面．（2）連接，則多面體的體積，  因為四邊形是直角梯形，，，所以．又因為平面平面，平面平面，平面．所以平面，所以PD是四棱錐的高．又因為．所以．因為平面，平面．所以．因為四邊形是正方形，所以，又，AD，平面．所以平面，即AB是三棱錐的高．所以．所以多面體PMABCD的體積．20．猜燈謎是我國元宵節(jié)傳統(tǒng)特色活動．在某校今年開展元宵節(jié)猜燈謎的活動中，組織者設置難度相當?shù)娜舾蔁糁i，某班派甲、乙和丙三位同學獨立競猜，根據(jù)以往數(shù)據(jù)分析可知，甲、乙猜對該難度的每道燈謎的概率分別為，．(1)任選一道燈謎，求甲、乙兩位同學恰有一個人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲、乙、丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求丙猜對該難度的每道燈謎的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的乘法公式求解即可；（2）設事件E=“任選一道燈謎，丙猜對”，先求出甲、乙、丙三個人中至少有一個人猜對的概率，再由對立事件的性質(zhì)和相互獨立事件的乘法公式求解即可；【詳解】（1）設事件A=“任選一道燈謎，甲猜對”，事件B=“任選一道燈謎，乙猜對”，事件C=“任選一道燈謎，甲、乙兩位同學恰有一個人猜對”．則，，故，，因為事件A與事件B相互獨立，所以．（2）設事件D=“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個人中至少有一個人猜對”，事件E=“任選一道燈謎，丙猜對”，因為事件A、事件B、事件C兩兩獨立，那么．所以，，所以．21．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，．  (1)求證：；(2)在線段PD上是否存在一點M，使得BM與平面所成角的正切值為，若存在，求二面角的大小，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）在直角梯形中利用勾股定理的逆定理可得，再由平面，得，然后由線面垂直的判定定理可證得平面PAC，從而可得；（2）過點M作于點N，連接BN，可證得平面，則∠MBN為BM與平面所成的角，設，則由已知線面角的正切值可求出，過點N作于點G，連接MG，可得∠MGN為二面角的平面角，從而可求得結果.【詳解】（1）證明：因為，，，，所以四邊形是直角梯形，且，，故，即．又平面，平面，所以又，且PA，平面PAC，所以平面PAC，又平面PAC，所以（2）存在符合條件的點M，且M為PD的中點，證明如下，過點M作于點N，連接BN，   因為平面，平面，所以，因為MN，平面PAD，所以，因為，所以，因為，平面，所以平面，則∠MBN為BM與平面所成的角．設，則，，，由得，解得或（舍去）所以M為PD的中點，過點N作于點G，連接MG，因為平面，平面，所以，又，平面MGN，故平面MGN，因為平面MGN，所以，所以∠MGN為二面角的平面角，在中，，所以，即當點M為PD的中點時，符合題意，且二面角的大小為．22．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．點D在BC上，且(1)若，求c(2)若AD是∠BAC的角平分線，且，求周長的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中由正弦定理可得答案；（2）由得，在中由余弦定理得，可得周長，再利用基本不等式可得答案．【詳解】（1）因為，在中由正弦定理得，即，所以，；  （2）由得，即，在中，由余弦定理得，所以，所以周長，由得，當且僅當時等號成立，所以周長，所以周長的最小值為．   

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