一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．2B．C．4D．5
2．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（ ）．
A．1B．C．D．
3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則角的最大值為（ ）
A．B．C．D．
4．P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，是單位向量，若，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
6．已知正方體棱長為2，M，N，P分別是棱、、的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的多邊形的周長為（ ）
A．B．C．D．
7．表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，則這個正四棱柱的表面積等于（ ）
A．567B．576C．240D．
8．中，已知，設(shè)D是邊的中點(diǎn)，且的面積為，則等于( )
A．2B．4C．-4D．-2
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．
9．m，n是空間中不同的直線，，，y是不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若l，m是兩條異面直線，且，，，，則
10．設(shè)，，為復(fù)數(shù)，．下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
11．如圖所示，設(shè)、是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是與、軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的仿射坐標(biāo)，記為．在的仿射坐標(biāo)系中，，．則下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量為
12．在中，，，，為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若平面向量、滿足，，則的取值范圍是_________．
14．在中，，，若此三角形恰有兩解，則邊長度的取值范圍為_________．
15．沙漏是古代的一種計(jì)時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，利用細(xì)沙全部流到下部容器所需要的時間進(jìn)行計(jì)時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細(xì)沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h(yuǎn)的比值為______.
16．已知等邊，D是外的一點(diǎn)，且，，則平面四邊形的面積的最大值是_________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知復(fù)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立．
(1)求的值；
(2)求的最小值
18．在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．
在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且_________．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面積．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．
19．已知梯形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求與所成角的余弦值．
20．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)F．
(1)求證：平面；
(2)求證：F為的中點(diǎn)；
(3)在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
21．已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊上，為的角平分線．．
(1)求；
(2)若，求的大?。?br>22．如圖為一塊邊長為8km的等邊三角形地塊，為改善市民生活環(huán)境，當(dāng)?shù)卣杏?jì)劃對這塊地進(jìn)行改造，在、、上分別選取點(diǎn)D、E、F使，在四邊形區(qū)域內(nèi)種植草坪，其余區(qū)域修建停車場，設(shè)．
(1)當(dāng)D為中點(diǎn)且時，求草坪的面積；
(2)若在改造的過程中，因?qū)嶋H需要，D與B、C的距離都不少于2km，求草坪的面積的最大值，并求出此時的值．
答案
1-8 BCBAB CBA 9.ACD 10.ABC 11.AD 12.BD
13．
14．
15．
16．
17．(1)，
，解得
(2)即的最小值為
18．(1)選①：由正弦定理得：，而，
所以，
整理得：，又，可得，
而，則.
選②：由正弦定理得：，而，
所以，
則，而，可得，
而，則.
選③：由正弦定理得：，而且，
則，又，
所以，則，即.
(2)由，則，故，
而，則，可得，
又，整理得，
則，可得，
所以的面積為.
19．（1）根據(jù)題意，梯形中，，，E為的中點(diǎn)
則
又由可得，
（2）是與所成的角，設(shè)向量與所成的角為
，則
，則
則，
因?yàn)?br>所以
所以與所成角的余弦值為.
20．（1）連接交于，連接，如下圖：
由為平行四邊形，則為中點(diǎn)，又E為棱的中點(diǎn)，
所以為中位線，則，
又面，面，故平面；
（2）由題設(shè)知：，面，面，
所以面，又面，面面，
所以，又E為棱的中點(diǎn)，即是△的中位線，
故F為的中點(diǎn)；
（3）存在N使得平面且，理由如下：
為中點(diǎn)，連接，
由題設(shè)且，由（2）知且，
所以且，即為平行四邊形，
所以，而面，面，
所以面，故所求點(diǎn)即為點(diǎn)，
則上存在點(diǎn)N使得平面，且.
21．（1），，即
由正弦定理可得
，
即
（2），即
設(shè)，則
，解得
22．（1）因?yàn)闉榈冗吶切危疫呴L為8，D為中點(diǎn)，
所以,，又,
所以，
在由正弦定理可得，
所以，
又，
所以，
所以的面積，
因?yàn)?，，所?
在由正弦定理可得，
所以，所以，
所以的面積，
所以草坪的面積
（2）設(shè)，則，
因?yàn)镈與B、C的距離都不少于2km，所以，
在由正弦定理可得，
所以，故，
所以的面積，
在由正弦定理可得，
所以，所以
所以的面積，
所以
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
當(dāng)或時，函數(shù)取最小值，最小值為，
又草坪的面積
所以草坪的面積的最大值為，此時，化簡得，

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