1.設(shè)復(fù)數(shù)z=21+i，則|z|=( )
A. 2B. 0C. 2D. 1?i
2.已知a,b為不共線的非零向量，AB=a+5b，BC=?2a+8b，CD=3a?3b，則( )
A. A，B，C三點(diǎn)共線B. A，B、D三點(diǎn)共線
C. B，C，D三點(diǎn)共線D. A，C，D三點(diǎn)共線
3.在△ABC中，a= 3，b=1，B=π6,則A=( )
A. π3B. π6或5π6C. 2π3D. π3或2π3
4.在矩形ABCD中，AB=2 2，AD=2，E為線段BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CD上靠近C的四等分點(diǎn)，則AE?AF的值為( )
A. 4B. 8C. 92D. 5
5.已知圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為( )
A. 6 3πB. 9 3πC. 12 3πD. 27 3π
6.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知csinA= 3acsC，c=2 3，ab=8，則a+b的值是( )
A. 6B. 8C. 4D. 2
7.中國(guó)是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見(jiàn)之于許慎的《說(shuō)文解字》中.某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個(gè)圓臺(tái)組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為18cm，底面直徑AB=12cm，CD=20cm，EF=14cm，中間圓臺(tái)的高為3cm，下面圓臺(tái)的高為4cm，若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的側(cè)面積約為( )
A. 375πcm2B. 377πcm2C. 379πcm2D. 381πcm2
8.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：eix=csx+isinx，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是( )
A. 復(fù)數(shù)eπ2i為實(shí)數(shù)
B. ei對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C. 若z1=eπ3i，z2=eθi在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z1，Z2，則△OZ1Z2面積的最大值為 32
D. |eix?sinx+icsx|= 2
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說(shuō)法中(其中i為虛數(shù)單位)，正確的是( )
A. i22=1
B. 復(fù)數(shù)z=3?2i的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2
C. 若1?3i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個(gè)根，則q=?8
D. 若復(fù)數(shù)z滿足|z?i|=1，則|z|的最大值為2
10.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量．若向量OP=xe1+ye2，則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量OP在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，記OP=(x,y).在上述xOy坐標(biāo)系中，若a=(1,2)，b=(2,?1)，則( )
A. a+b=(3,1)B. a=b
C. a⊥bD. a與b夾角的余弦值為 2114
11.給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有( )
A. 若|a|=4，|b|=1，向量a與向量b的夾角為120°，則a在b上的投影向量為?2b
B. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a+λb的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(?53,+∞)
C. 若PA?PB=PB?PC=PC?PA，則P是△ABC的垂心
D. 在△ABC中，向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，且BA|BA|?BC|BC|=12，則△ABC為等邊三角形
12.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中，正確的有( )
A. 當(dāng)a=5，b=7，A=60°時(shí)，滿足條件的三角形共有1個(gè)
B. 若△ABC是鈍角三角形，則tanA?tanCB，
由正弦定理可得 3sinA=1sinπ6，
所以sinA= 32，
故A=π3或2π3，
故選：D．
根據(jù)大邊對(duì)大角可得A>B，再由正弦定理可得 3sinA=1sinπ6，求出sinA= 32，可得角A的值．
本題考查正弦定理的應(yīng)用，以及三角形中大邊對(duì)大角，求出sinA= 32，是解題的關(guān)鍵．
4.【答案】B
【解析】解：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，
則A(0,0)，E(2 2,1)，F(xiàn)(3 22,2)，
所以AE?AF=2 2×3 22+1×2=8．
故選：B．
建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．
本題考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】B
【解析】解：設(shè)母線長(zhǎng)為l，依題意得，πl(wèi)=2π×3，
解得l=6，
于是圓錐的高為 62?32=3 3，
根據(jù)圓錐的體積公式，其體積為：π×32×3 3×13=9 3π．
故選：B．
根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的形狀先求出圓錐的母線，然后求出半徑，再由圓錐的體積公式進(jìn)行求解．
本題主要考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】A
【解析】解：因?yàn)閏sinA= 3acsC，
由正弦定理可得sinCsinA= 3sinAcsC，
又sinA≠0，
所以可得sinC= 3csC，可得tanC= 3，
又C∈(0,π)，
所以C=π3，
又c=2 3，ab=8，
由余弦定理可得12=a2+b2?ab=(a+b)2?3ab=(a+b)2?24，
所以a+b=6．
故選：A．
由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合sinA≠0，可求得tanC，結(jié)合范圍C∈(0,π)，可求C=π3，進(jìn)而由余弦定理即可求解．
本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】D
【解析】解：由題意可知，AC= 32+(CD?AB2)2= 32+(20?122)2=5cm，CE= 42+(CD?EF2)2= 42+(20?142)2=5cm，
所以該瓷器的側(cè)面積約為12π×18+5×(6+10)π+5×(7+10)π=381πcm2．
故選：D．
先計(jì)算兩個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的側(cè)面積公式即可求出該瓷器的側(cè)面積約．
本題主要考查了圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓柱和圓臺(tái)的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】D
【解析】解：對(duì)于A，eπ2i=csπ2+isinπ2=i，則復(fù)數(shù)eπ2為純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，ei=cs1+isin1，因?yàn)?0，
所以復(fù)數(shù)ei在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(csl,sinl)，位于第一象限，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，z1=eπ3i=csπ3+isinπ3=12+ 32i，z2=eθi=csθ+isinθ，
|OZ1|= (12)2+( 32)2=1，|OZ2|= cs2θ+sin2θ=1，
因此△OZ1Z2的面積為12|OZ1||OZ2||sin(θ?π3)|=12|sin(θ?π3)|，
因?yàn)?≤|sin(θ?π3)|≤1，所以△OZ1Z2面積的最大值為12，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，eix?sinx+icsx=csx+isinx?sinx+icsx=(csx?sinx)+(sinx+csx)i，
所以|eix?sinx+icsx|= (csx?sinx)2+(sinx+csx)2
= cs2x+sin2x?2sinxcsx+sin2x+2sinxcsx+cs2x
= 2，故D正確．
故選：D．
由歐拉公式及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念計(jì)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可．
本題考查歐拉公式，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模等，屬于中檔題．
9.【答案】BD
【解析】解：對(duì)于A，i22=(i4)5?i2=?1，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，復(fù)數(shù)z=3?2i的共軛復(fù)數(shù)為z?=3+2i，其虛部為2，故B正確；
對(duì)于C，1?3i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個(gè)根，
則1+3i也是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個(gè)根，
故(1?3i)(1+3i)=q，
所以q=10，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，
|z?i|=1，
則a2+(b?1)2=1，圓以(0,1)為圓心，1為半徑，
|z|= a2+b2= (a?0)2+(b?0)2，表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(0,0)的距離，
故|z|的最大值為 (0?0)2+(0?1)2+1=2，故D正確．
故選：BD．
對(duì)于A，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解；
對(duì)于B，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)和虛部的定義，即可求解；
對(duì)于C，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解；
對(duì)于D，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
10.【答案】AD
【解析】解：對(duì)于A：a=(1,2)=e1+2e2，b=(2,?1)=2e1?e2，∴a+b=e1+2e2+2e1?e2=3e1+e2，∴3e1+e2=(3,1)，故A正確；
對(duì)于B：e1+2e2≠2e1?e2，故a≠b，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：a?b=(e1+2e2)?(2e1?e2)=2e12+3e1?e2?2e22=2+3×1×1×12?2=32≠0，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：|a|=|e1+2e2|= (e1+2e2)2= e12+4e1?e2+4e22= 7，
|b|=|2e1?e2|= (2e1?e2)2= 4e12?4e1?e2+e22= 3，
∴cs=a?b|a|?|b|=32 3× 7= 2114，故D正確．
故選：AD．
利用新定義的坐標(biāo)概念進(jìn)行計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性．
本題考查新定義的坐標(biāo)概念，考查向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算，屬中檔題．
11.【答案】ACD
【解析】解：對(duì)于A，a在b上的投影為|a|cs120°=?2，結(jié)合|b|=1，可知a在b上的投影向量為?2b，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，a+λb=(1+λ,2+λ)，若a與a+λb的夾角為銳角，則a?(a+λb)>0，且a與a+λb不平行，
所以1+λ+2(2+λ)>0且2+λ≠2(1+λ)，解得λ>?53且λ≠0，故B項(xiàng)不正確；
對(duì)于C，由PA?PB=PB?PC，可得PB?(PC?PA)=0，即PB?AC=0，所以PB⊥AC，同理可證PC⊥AB，
因此，點(diǎn)P是△ABC的兩條高線的交點(diǎn)，可知P是△ABC的垂心，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，由(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，可得(AB|AB|+AC|AC|)⊥BC，
因?yàn)?AB|AB|+AC|AC|)是∠BAC的角平分線方向上的向量，所以△ABC滿足AB=AC，
由BA|BA|?BC|BC|=cs∠ABC=12，可得∠BAC=60°，因此△ABC是等邊三角形，故D項(xiàng)正確．
故選：ACD．
根據(jù)投影向量的概念算出a在b上的投影向量，判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)兩個(gè)向量夾角為銳角的充要條件，列式算出λ的取值范圍，判斷出B項(xiàng)的正誤；根據(jù)兩個(gè)向量垂直的條件，結(jié)合垂心的性質(zhì)加以判斷，可得C項(xiàng)的正誤；根據(jù)單位向量的性質(zhì)與等邊三角形的判定定理，得出D項(xiàng)的正誤．
本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直的條件、等邊三角形的判定等知識(shí)，屬于中檔題．
12.【答案】BD
【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：由余弦定理a2=b2+c2?2bccsA，可得25=49+c2?2×7×c×12，
則c2?7c+24=0，
因?yàn)棣?(?7)2?4×1×24=?47

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