[數(shù)學(xué)][期末]四川省眉山市仁壽縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考試題(解析版)

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一、單項(xiàng)選擇題.
1. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
所以.
故選：B.
2. 已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A. 32，90B. 32，92C. 30，90D. 30，92
【答案】A
【解析】因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是10，方差是10，
所以的平均數(shù)是，方差是.
故選：A.
3. 圓臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，母線(xiàn)長(zhǎng)為4，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意可知：上、下底面的半徑分別為1和3，
所以側(cè)面積為.
故選：D．
4. 已知向量，，若與共線(xiàn)，則（ ）
A. B. 4C. D. 或4
【答案】D
【解析】由兩向量共線(xiàn)可知，即，解得或.
故選：D.
5. 將函數(shù)的圖象平移后所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則進(jìn)行的平移是（ ）
A. 向左平移個(gè)單位B. 向左平移個(gè)單位
C. 向右平移個(gè)單位D. 向右平移個(gè)單位
【答案】D
【解析】因?yàn)椋詫⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.
故選：.
6. 求值（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>；
，
所以
.
故選：D.
7. 如圖，在邊長(zhǎng)為3的正三角形中，，，則（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】C
【解析】由題意知，，
則，
所以
.
故選：C.
8. 在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足．則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，整理得，
所以，
又，則，故，
，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，所以，
即，所以的取值范圍為．
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題.
9. 有下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法為（ ）
A. 若，則是等腰三角形
B. 若，則P是三角形的垂心
C. 若，則為鈍角三角形
D. 若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，在中，由，得或，
則或，則是等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，得，
則，同理，，即是三角形的垂心，B正確；
對(duì)于C，由，得，
由正弦定理得，則，為鈍角，
為鈍角三角形，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，顯然有，但此時(shí)不存在，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
C.
D. 在上的值域?yàn)?br>【答案】AC
【解析】A選項(xiàng)，設(shè)的最小正周期為，則，故，
因?yàn)?，所以，A正確；
B選項(xiàng)，由圖象可知，，，
將代入解析式得，
故，故，
因?yàn)?，所以，故?br>，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，C正確；
D選項(xiàng)，，，
故，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 如圖，在正方體中，，均為所在棱的中點(diǎn)，是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 平面
B. 三棱錐的體積為
C. 過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為
D. 若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
【答案】BCD
【解析】選項(xiàng)A，如圖，設(shè)點(diǎn)是棱中點(diǎn)，由均為所在棱的中點(diǎn)，
根據(jù)中位線(xiàn)易得，進(jìn)而可得與點(diǎn)共面，所以平面，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，如圖，因?yàn)槊嬖谡襟w前側(cè)面上，所以點(diǎn)到面的距離等于的長(zhǎng)，
正方形中，
則三棱錐的體積為，
選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A知過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形，
邊長(zhǎng)，所以面積為，
選項(xiàng)D，由 知點(diǎn)軌跡為為球心，為半徑的球與正方體表面的交線(xiàn)，如圖，
由正方體棱長(zhǎng)得，交線(xiàn)為三段半徑為的四分之一圓，長(zhǎng)度為.
故選：BCD.
三、填空題.
12. 已知向量，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，又，所以，解得，?br>因?yàn)?，所以在上的投影向量?
故答案為：.
13. 為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開(kāi)展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng).在了解全校學(xué)生每年平均閱讀了多少本文學(xué)經(jīng)典名著時(shí)，甲同學(xué)抽取了一個(gè)容量為12的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9.84；乙同學(xué)抽取了一個(gè)容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為15.64.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個(gè)容量為20的樣本，則合在一起后的樣本方差為_(kāi)_________.
【答案】12.4
【解析】甲同學(xué)抽取的樣本占總樣本的比例為，
乙同學(xué)抽取的樣本占總樣本的比例為，總平均數(shù)為，
總方差為：.
故答案為：.
14. 如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，B，C分別為、的中點(diǎn)，現(xiàn)將，，分別沿，，折起使點(diǎn)，，重合，重合后記為點(diǎn)P，得到三棱錐，則三棱錐的外接球表面積為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，折疊成的三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，
將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體如圖，則三棱錐的外接球即是長(zhǎng)方體的外接球，
外接球的直徑等于以，，為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，
，，
，
所以外接球的表面積.
故答案為：.
四、解答題.
15. 庚子新春，“新冠”病毒肆虐，習(xí)近平總書(shū)記強(qiáng)調(diào)要“人民至上?生命至上，果斷打響疫情防控的人民戰(zhàn)爭(zhēng)?總體戰(zhàn)?阻擊戰(zhàn)”，教育部也下發(fā)了“停課不停學(xué)，停課不停教”的通知.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學(xué)校開(kāi)展組織學(xué)生參加線(xiàn)上環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）求a；
（2）若從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中，采取樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取5人成績(jī)，求5人中成績(jī)不高于50分的人數(shù)；
（3）以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)以及中位數(shù)（結(jié)果保留1位小數(shù)）.
解：（1）由，
得.
（2）因?yàn)椋ㄈ耍ㄈ耍?br>所以不高于50分的抽?。ㄈ耍?
（3）平均數(shù)
分，
因?yàn)樵趦?nèi)共有人，
在內(nèi)共有人，
所以中位數(shù)位于內(nèi)，則中位數(shù)為分.
16. 函數(shù).若兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為.
（1）求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若，，求.
解：（1），
由兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，得周期，即，
所以，
由，可得，
所以單調(diào)增區(qū)間為.
（2）由，可得，所以，
因?yàn)椋裕?br>若，則，又，所以，
所以，所以，
所以
.
17. 如圖，為了測(cè)量山頂M和山頂N之間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一鉛垂平面內(nèi)．飛機(jī)從點(diǎn)A到點(diǎn)B路程為a，途中在點(diǎn)A觀測(cè)到M，N處的俯角分別為，，在點(diǎn)B觀測(cè)到M，N處的俯角分別為，．
（1）求的面積（用字母表示）；
（2）若，，，，，求M，N之間的距離．
解：（1）由題意可知，由正弦定理，
得，
面積.
（2）由（1）知，
在中，，
，
在中，，
由余弦定理可得
，
所以.
18. 已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．，若平面與棱交于點(diǎn)．
（1）請(qǐng)補(bǔ)全平面與棱柱的截面，并指出點(diǎn)的位置；
（2）求證：平面；
（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷三棱錐的體積是否為定值?若是，求出該定值及點(diǎn)到平面的距離；若不是，說(shuō)明理由．
解：（1）如圖，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，
由為中點(diǎn)，則，又，
所以，所以四點(diǎn)共面，
故平面與棱柱的截面為．
（2）證明：因?yàn)樵谂c中，，
所以，又，
所以，所以，
，且平面，所以平面，
即平面.
（3）由（2）知平面，又平面，所以，
又，所以，
又，且平面，所以平面，
又，所以到平面的距離等于到平面的距離，
所以
，所以三棱錐的體積為定值．
中，，所以，
由，可得，
所以點(diǎn)到平面的距離為．
19. 在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為.
（1）求A；
（2）奧古斯丁·路易斯·柯西，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來(lái)命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.已知三維柯西不等式：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.在（1）的條件下，若a＝3.
（ⅰ）求：的最小值；
（ⅱ）若P是內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P作AB，BC，AC的垂線(xiàn)，垂足分別為D，E，F(xiàn)，設(shè)的面積為S，求的最小值.
解：（1）在中，，
由正弦定理得，，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，即，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，故，又，所?
（2）（i）根據(jù)柯西不等式：
，
（當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)取等號(hào)），
即：的最小值為108.
（ii）.
又，
，
由三維柯西不等式有
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以，
由余弦定理，得，
所以，即，
則，
令，則.
因?yàn)椋?br>得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，則，
令，令，則，
由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)即時(shí)，有最大值，
此時(shí)有最小值（此時(shí)與可以同時(shí)取到）.