一、單選題
1．復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
3．甲；乙兩位同學(xué)去參加某高校科研項(xiàng)目面試．已知他們通過面試的概率都是；且兩人的面試結(jié)果相互之間沒有影響；則甲、乙兩人中僅有一人通過面試的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，四點(diǎn)在平面內(nèi)，且任意三點(diǎn)都不共線，點(diǎn)在外，且滿足，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．在中，點(diǎn)為的重心，則（ ）
A． B． C．D．
6．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，，，，，則；
B．若，，則；
C．若，，則；
D．若，，，，則.
7．如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
8．一個(gè)袋中共有10個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是，則紅球的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
9．下列命題為真命題的是（ ）
A．若為共扼復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)
B．若i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則
C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
D．若復(fù)數(shù)滿足，則
10．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲的點(diǎn)數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”，則（ ）
A．與互斥B．
C．D．與相互獨(dú)立
11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）

A． B．
C．在上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
12．已知在等邊△中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交占，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高二年級(jí)有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是 人.
14．已知平面向量，不共線，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則 .
15．四種電子元件組成的電路如圖所示，電子元件正常工作的概率分別為，則該電路正常工作的概率為 .
16．在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點(diǎn)，且.若，則的值為 .

四、解答題
17．目前用外賣網(wǎng)點(diǎn)餐的人越來越多，現(xiàn)在對(duì)大眾等餐所需時(shí)間情況進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖.其中等餐所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，.

(1)求頻率分布直方圖中的值.
(2)利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù).(每組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
18．一枚質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，將該正四面體連續(xù)拋擲2次，記錄每一次底面的數(shù)字．
(1)求兩次數(shù)字之和為7的事件的概率；
(2)兩次數(shù)字之和為多少的事件概率最大？并求此事件的概率．
19．如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點(diǎn)D，M，N分別為BC，AB，OB的中點(diǎn)．
(1)試用向量表示向量；
(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點(diǎn)共面．
20．甲、乙兩人組成“九章隊(duì)”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強(qiáng)大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個(gè)數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．
(1)求甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率；
(2)求“九章隊(duì)”在兩輪比賽中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率．
21．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)面PAB是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面ABCD是正方形，是側(cè)棱PB上的點(diǎn)，是底面對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且，．

(1)求證：；
(2)求證：平面PAD；
(3)求點(diǎn)到平面PAD的距離．
22．已知向量，，函數(shù)．
(1)求的最小正周期；
(2)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)和單調(diào)遞增區(qū)間．
仁壽縣23級(jí)高一下期期末三校聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案：
1．D
【解析】由題得,即得復(fù)數(shù)的虛部.
【詳解】由題得.
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和虛部的概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
2．C
【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以，解?
故選：C.
3．D
【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：甲、乙兩人中僅有一人通過面試的概率.
故選：D.
4．B
【分析】根據(jù)空間向量的共面定理可求的值.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在外，由空間向量的共面定理可知且；
由題意，所以；
所以，解得.
故選：B.
5．B
【分析】的重心為三角形三條中線的交點(diǎn)，為中線的三等分點(diǎn)，根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何表示結(jié)合條件即得.
【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，

由于的重心為三角形三條中線的交點(diǎn)，為中線的三等分點(diǎn)，
所以.
故選：B.
6．C
【分析】根據(jù)線面平行判定定理判斷A；利用線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)空間中線線，線面的位置關(guān)系判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷D.
【詳解】若，，，，，根據(jù)線面平行判定定理可知，故A正確；
過作一平面，，若，則，
又，，則，所以，故B正確；

若，，則可能平行，也可能異面，故C錯(cuò)誤；
若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，故D正確.
故選：C.
7．B
【分析】根據(jù)題意，由，轉(zhuǎn)化為向量的模長(zhǎng)，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由，可得，
因?yàn)榈酌鏋榫匦?，，，?br>所以，，
又
，
所以，則.
故選：B
8．A
【分析】根據(jù)題意可得袋中黑球的個(gè)數(shù)為，紅球個(gè)數(shù)為，根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合古典概型列式求解即可.
【詳解】由題意可知：袋中黑球的個(gè)數(shù)為，
設(shè)紅球個(gè)數(shù)為，
從袋中任意摸出2個(gè)球，沒有白球的概率為，
因?yàn)橹辽俚玫?個(gè)白球的概率是，則，解得，
所以紅球的個(gè)數(shù)為1.
故選：A.
9．AC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義，即可結(jié)合選項(xiàng)求解.
【詳解】對(duì)于A,若為共扼復(fù)數(shù)，則，故，故A正確，
對(duì)于B, ，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C, 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故C正確，
對(duì)于D, 不能得到，比如，但是，故D錯(cuò)誤，
故選：AC
10．BCD
【分析】列出兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)組，由互斥事件與對(duì)立事件的定義可判斷A選項(xiàng)；由對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率公式可判斷BCD選項(xiàng).
【詳解】先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)組如下表所示：
共有種，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”, 表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)不同”，其中包括，即與不互斥，故A錯(cuò)誤；
“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”的對(duì)立事件是“兩次擲的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”
，故B正確；
表示事件“第一次為奇數(shù)，第二次為偶數(shù)”共9種： ，故C正確；
事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”共18種；，
事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”共6種：，
表示事件“兩次為相同的偶數(shù)”共3種： ，
即，與相互獨(dú)立，故D正確.
故選：BCD
11．ABD
【分析】由圖可知，求得，可判斷A；由結(jié)合求得，可判斷B；利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解可判斷C；求出的解析式，進(jìn)而求出對(duì)稱軸，可判斷D.
【詳解】由圖可知，則，故A正確.
因?yàn)椋?，?
因?yàn)椋?，則B正確.
令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；
令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減.
由，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則C錯(cuò)誤.
因?yàn)?，所?
令，，得，.
當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.
故選：ABD.
12．AB
【分析】在△ABD中，根據(jù)AE是中線可得，再根據(jù)D是AC中點(diǎn)即可表示出，從而判斷A；設(shè)，得到，根據(jù)，，三點(diǎn)在一條直線上及三點(diǎn)共線定理的推論可得k的值，從而可判斷B；用表示出，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算方法即可計(jì)算，從而判斷C；根據(jù)E是BD中點(diǎn)及D是AC中點(diǎn)可得，，從而可判斷D．
【詳解】如圖，

，故A正確；
設(shè)，則，
又，，三點(diǎn)在一條直線上，故，故，
即，，
故，故B正確；
，故，故C錯(cuò)誤；
，
，
故，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
13．1800
【分析】利用比例求出學(xué)生總數(shù).
【詳解】，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.
故答案為：1800
14．1
【分析】先根據(jù)向量的減法法則表示出，然后根據(jù)向量的共線定理進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】依題意得，，
由三點(diǎn)共線可知，存在，使得，即，
由于，是兩個(gè)不共線的向量，則，
解得.
故答案為：1.
15．0.8784
【分析】該電路正常工作即正常工作，至少一個(gè)正常工作，再由獨(dú)立事件的乘法公式，即可得出答案.
【詳解】該電路正常工作即正常工作，至少一個(gè)正常工作，
所以該電路正常工作的概率為.
故答案為：0.8784
16．/
【分析】設(shè)，，，以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，根據(jù)，可得，將分別用表示，再根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.
【詳解】設(shè)，，，
則構(gòu)成空間的一個(gè)基底，
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，?br>所以，即，
即，解得.
故答案為：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由各頻率和為1列方程可求出的值；
（2）直接利用平均數(shù)的定義和頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求解即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，
解得
（2）樣本的平均數(shù)約為
18．(1)；
(2)兩次數(shù)字之和為的事件概率最大，概率為.
【分析】（1）列舉法求兩次數(shù)字之和為7的事件的概率；
（2）列舉出數(shù)字之和為的對(duì)應(yīng)事件并確定概率，即可得答案.
【詳解】（1）由題意，2次所得數(shù)字，且分別表示第一次、第二次的對(duì)應(yīng)數(shù)字，
基本事件有，，，共16種；
其中兩次數(shù)字之和為7的事件有，共2種；
所以兩次數(shù)字之和為7的事件的概率為.
（2）由（1），數(shù)字之和為，
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
所以兩次數(shù)字之和為的事件概率最大，概率為.
19．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果；
（2）證得，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）
因?yàn)椋?br>而，
又D為的中點(diǎn)，所以，
所以
．
（2）因?yàn)椋?br>，
所以，
，所以．
所以四點(diǎn)共面．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法概率公式計(jì)算即可；
（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒猜對(duì)，分四種情況計(jì)算可得答案.
【詳解】（1）設(shè)甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞為事件，
.
（2）設(shè)事A＝“甲第一輪猜對(duì)”，B＝“乙第一輪猜對(duì)”，C＝“甲第二輪猜對(duì)”，D＝“乙第二輪猜對(duì)”，E＝““九章隊(duì)”猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞”，
所以，
則，
由事件的獨(dú)立性與互斥性，得
，
故“九章隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率為．
21．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)．
【分析】（1）由線面垂直的判定定理可得面PAB，即可得出結(jié)論；
（2）法一：過作交PA于點(diǎn)，過作交AD于點(diǎn)，證明MNTS是平行四邊形，推出，由線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；
法二：過作交AB于點(diǎn)，可得平面PAD，平面PAD，從而平面平面PAD，由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；
法三：連接BN并延長(zhǎng)交直線AD于點(diǎn)，可得，由線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；
（3）法一：平面PAD，點(diǎn)到平面PAD的距離是點(diǎn)到平面PAD的距離，在平面PAB內(nèi)過作于，可證得平面PAD，則MH是點(diǎn)到平面PAD的距離，求解即可；
法二：設(shè)點(diǎn)到平面PAD的距離為，取AB的中點(diǎn)，則底面ABCD，利用等體積法，由求出結(jié)果．
【詳解】（1）側(cè)面底面ABCD，且平面PAB與平面ABCD的交線為AB，，平面ABCD，
平面PAB，平面PAB，．
（2）法一：過作交PA于點(diǎn)，過作交AD于點(diǎn)，連接ST，

，，同理可得，
，，
是平行四邊形，，
又平面PAD，平面PAD，平面PAD．
法二：過作交AB于點(diǎn)，連接EN，

，又，， ，
又平面PAD，平面PAD，平面PAD，
，平面PAD，平面PAD，平面PAD，
又，平面MEN，
平面平面PAD，又平面MEN，平面PAD．
法三：連接BN并延長(zhǎng)交直線AD于點(diǎn)，
，，
，，
又平面PAD，平面PAD，
平面PAD．

（3）法一：平面PAD，點(diǎn)到平面PAD的距離是點(diǎn)到平面PAD的距離，
在平面PAB內(nèi)過作于，
平面PAB，平面PAB，，
，平面PAD，平面PAD，
是點(diǎn)到平面PAD的距離，
在中， ， ，，
所以點(diǎn)到平面PAD的距離為．

法二：設(shè)點(diǎn)到平面PAD的距離為h，取的中點(diǎn)，連接，則，
側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，
底面，
，，
，
即點(diǎn)到平面的距離為．
22．(1)
(2)零點(diǎn)為和；單調(diào)遞增區(qū)間為，
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及二倍角公式，輔助角公式，將化簡(jiǎn)為，利用周期公式即可求解.（2）將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根即可求解，根據(jù)整體法代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間中即可求解.
【詳解】（1）由向量，，函數(shù)得
．
所以的最小正周期為．
（2）令，∴， ，解得，，
∵，所以的零點(diǎn)為和．
令，，得，．
又，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
第二次第一次
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6

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