一、單選題
1．復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若，則實數(shù)（ ）
A．B．C．D．
3．甲；乙兩位同學(xué)去參加某高?？蒲许椖棵嬖嚕阎麄兺ㄟ^面試的概率都是；且兩人的面試結(jié)果相互之間沒有影響；則甲、乙兩人中僅有一人通過面試的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，四點在平面內(nèi)，且任意三點都不共線，點在外，且滿足，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．在中，點為的重心，則（ ）
A． B． C．D．
6．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．若，，，，，則；
B．若，，則；
C．若，，則；
D．若，，，，則.
7．如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（ ）
A．B．C．D．
8．一個袋中共有10個大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是，則紅球的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
9．下列命題為真命題的是（ ）
A．若為共扼復(fù)數(shù)，則為實數(shù)
B．若i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則
C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限
D．若復(fù)數(shù)滿足，則
10．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲的點數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（ ）
A．與互斥B．
C．D．與相互獨立
11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）

A． B．
C．在上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于直線對稱
12．已知在等邊△中，，為的中點，為的中點，延長交占，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，其中高二年級有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是 人.
14．已知平面向量，不共線，且，，，若，，三點共線，則 .
15．四種電子元件組成的電路如圖所示，電子元件正常工作的概率分別為，則該電路正常工作的概率為 .
16．在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點，且.若，則的值為 .

四、解答題
17．目前用外賣網(wǎng)點餐的人越來越多，現(xiàn)在對大眾等餐所需時間情況進行隨機調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖.其中等餐所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，.

(1)求頻率分布直方圖中的值.
(2)利用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù).(每組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表)
18．一枚質(zhì)地均勻的正四面體的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，將該正四面體連續(xù)拋擲2次，記錄每一次底面的數(shù)字．
(1)求兩次數(shù)字之和為7的事件的概率；
(2)兩次數(shù)字之和為多少的事件概率最大？并求此事件的概率．
19．如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點D，M，N分別為BC，AB，OB的中點．
(1)試用向量表示向量；
(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點共面．
20．甲、乙兩人組成“九章隊”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．
(1)求甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞的概率；
(2)求“九章隊”在兩輪比賽中猜對三個數(shù)學(xué)名詞的概率．
21．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)面PAB是邊長為1的等邊三角形，底面ABCD是正方形，是側(cè)棱PB上的點，是底面對角線AC上的點，且，．

(1)求證：；
(2)求證：平面PAD；
(3)求點到平面PAD的距離．
22．已知向量，，函數(shù)．
(1)求的最小正周期；
(2)當(dāng)時，求的零點和單調(diào)遞增區(qū)間．
仁壽縣23級高一下期期末三校聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案：
1．D
【解析】由題得,即得復(fù)數(shù)的虛部.
【詳解】由題得.
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：D
【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算和虛部的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
2．C
【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.
【詳解】因為，，所以，解得.
故選：C.
3．D
【分析】根據(jù)獨立事件概率乘法公式運算求解.
【詳解】由題意可得：甲、乙兩人中僅有一人通過面試的概率.
故選：D.
4．B
【分析】根據(jù)空間向量的共面定理可求的值.
【詳解】因為點在外，由空間向量的共面定理可知且；
由題意，所以；
所以，解得.
故選：B.
5．B
【分析】的重心為三角形三條中線的交點，為中線的三等分點，根據(jù)向量線性運算的幾何表示結(jié)合條件即得.
【詳解】設(shè)分別是的中點，

由于的重心為三角形三條中線的交點，為中線的三等分點，
所以.
故選：B.
6．C
【分析】根據(jù)線面平行判定定理判斷A；利用線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)空間中線線，線面的位置關(guān)系判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷D.
【詳解】若，，，，，根據(jù)線面平行判定定理可知，故A正確；
過作一平面，，若，則，
又，，則，所以，故B正確；

若，，則可能平行，也可能異面，故C錯誤；
若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，故D正確.
故選：C.
7．B
【分析】根據(jù)題意，由，轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由，可得，
因為底面為矩形，，，，
所以，，
又
，
所以，則.
故選：B
8．A
【分析】根據(jù)題意可得袋中黑球的個數(shù)為，紅球個數(shù)為，根據(jù)對立事件結(jié)合古典概型列式求解即可.
【詳解】由題意可知：袋中黑球的個數(shù)為，
設(shè)紅球個數(shù)為，
從袋中任意摸出2個球，沒有白球的概率為，
因為至少得到1個白球的概率是，則，解得，
所以紅球的個數(shù)為1.
故選：A.
9．AC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義，即可結(jié)合選項求解.
【詳解】對于A,若為共扼復(fù)數(shù)，則，故，故A正確，
對于B, ，故B錯誤，
對于C, 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第三象限，故C正確，
對于D, 不能得到，比如，但是，故D錯誤，
故選：AC
10．BCD
【分析】列出兩次出現(xiàn)的點數(shù)組，由互斥事件與對立事件的定義可判斷A選項；由對立事件和獨立事件的概率公式可判斷BCD選項.
【詳解】先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次出現(xiàn)的點數(shù)組如下表所示：
共有種，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”, 表示事件“兩次擲出的點數(shù)不同”，其中包括，即與不互斥，故A錯誤；
“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”的對立事件是“兩次擲的點數(shù)都是偶數(shù)”
，故B正確；
表示事件“第一次為奇數(shù)，第二次為偶數(shù)”共9種： ，故C正確；
事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”共18種；，
事件“兩次擲出的點數(shù)相同”共6種：，
表示事件“兩次為相同的偶數(shù)”共3種： ，
即，與相互獨立，故D正確.
故選：BCD
11．ABD
【分析】由圖可知，求得，可判斷A；由結(jié)合求得，可判斷B；利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解可判斷C；求出的解析式，進而求出對稱軸，可判斷D.
【詳解】由圖可知，則，故A正確.
因為，所以，即.
因為，所以，則B正確.
令，解得，此時單調(diào)遞增；
令，解得，此時單調(diào)遞減.
由，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則C錯誤.
因為，所以.
令，，得，.
當(dāng)時，，則的圖象關(guān)于直線對稱，故D正確.
故選：ABD.
12．AB
【分析】在△ABD中，根據(jù)AE是中線可得，再根據(jù)D是AC中點即可表示出，從而判斷A；設(shè)，得到，根據(jù)，，三點在一條直線上及三點共線定理的推論可得k的值，從而可判斷B；用表示出，根據(jù)向量數(shù)量積運算方法即可計算，從而判斷C；根據(jù)E是BD中點及D是AC中點可得，，從而可判斷D．
【詳解】如圖，

，故A正確；
設(shè)，則，
又，，三點在一條直線上，故，故，
即，，
故，故B正確；
，故，故C錯誤；
，
，
故，故D錯誤.
故選：AB.
13．1800
【分析】利用比例求出學(xué)生總數(shù).
【詳解】，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.
故答案為：1800
14．1
【分析】先根據(jù)向量的減法法則表示出，然后根據(jù)向量的共線定理進行計算.
【詳解】依題意得，，
由三點共線可知，存在，使得，即，
由于，是兩個不共線的向量，則，
解得.
故答案為：1.
15．0.8784
【分析】該電路正常工作即正常工作，至少一個正常工作，再由獨立事件的乘法公式，即可得出答案.
【詳解】該電路正常工作即正常工作，至少一個正常工作，
所以該電路正常工作的概率為.
故答案為：0.8784
16．/
【分析】設(shè)，，，以構(gòu)成空間的一個基底，根據(jù)，可得，將分別用表示，再根據(jù)數(shù)量積得運算律即可得解.
【詳解】設(shè)，，，
則構(gòu)成空間的一個基底，
設(shè)，
因為，
所以，
因為，，
所以，即，
即，解得.
故答案為：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由各頻率和為1列方程可求出的值；
（2）直接利用平均數(shù)的定義和頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求解即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，
解得
（2）樣本的平均數(shù)約為
18．(1)；
(2)兩次數(shù)字之和為的事件概率最大，概率為.
【分析】（1）列舉法求兩次數(shù)字之和為7的事件的概率；
（2）列舉出數(shù)字之和為的對應(yīng)事件并確定概率，即可得答案.
【詳解】（1）由題意，2次所得數(shù)字，且分別表示第一次、第二次的對應(yīng)數(shù)字，
基本事件有，，，共16種；
其中兩次數(shù)字之和為7的事件有，共2種；
所以兩次數(shù)字之和為7的事件的概率為.
（2）由（1），數(shù)字之和為，
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
有，概率為；
所以兩次數(shù)字之和為的事件概率最大，概率為.
19．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運算即可求出結(jié)果；
（2）證得，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）
因為，
而，
又D為的中點，所以，
所以
．
（2）因為，
，
所以，
，所以．
所以四點共面．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的乘法概率公式計算即可；
（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒猜對，分四種情況計算可得答案.
【詳解】（1）設(shè)甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞為事件，
.
（2）設(shè)事A＝“甲第一輪猜對”，B＝“乙第一輪猜對”，C＝“甲第二輪猜對”，D＝“乙第二輪猜對”，E＝““九章隊”猜對三個數(shù)學(xué)名詞”，
所以，
則，
由事件的獨立性與互斥性，得
，
故“九章隊”在兩輪活動中猜對三個數(shù)學(xué)名詞的概率為．
21．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)．
【分析】（1）由線面垂直的判定定理可得面PAB，即可得出結(jié)論；
（2）法一：過作交PA于點，過作交AD于點，證明MNTS是平行四邊形，推出，由線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；
法二：過作交AB于點，可得平面PAD，平面PAD，從而平面平面PAD，由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；
法三：連接BN并延長交直線AD于點，可得，由線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；
（3）法一：平面PAD，點到平面PAD的距離是點到平面PAD的距離，在平面PAB內(nèi)過作于，可證得平面PAD，則MH是點到平面PAD的距離，求解即可；
法二：設(shè)點到平面PAD的距離為，取AB的中點，則底面ABCD，利用等體積法，由求出結(jié)果．
【詳解】（1）側(cè)面底面ABCD，且平面PAB與平面ABCD的交線為AB，，平面ABCD，
平面PAB，平面PAB，．
（2）法一：過作交PA于點，過作交AD于點，連接ST，

，，同理可得，
，，
是平行四邊形，，
又平面PAD，平面PAD，平面PAD．
法二：過作交AB于點，連接EN，

，又，， ，
又平面PAD，平面PAD，平面PAD，
，平面PAD，平面PAD，平面PAD，
又，平面MEN，
平面平面PAD，又平面MEN，平面PAD．
法三：連接BN并延長交直線AD于點，
，，
，，
又平面PAD，平面PAD，
平面PAD．

（3）法一：平面PAD，點到平面PAD的距離是點到平面PAD的距離，
在平面PAB內(nèi)過作于，
平面PAB，平面PAB，，
，平面PAD，平面PAD，
是點到平面PAD的距離，
在中， ， ，，
所以點到平面PAD的距離為．

法二：設(shè)點到平面PAD的距離為h，取的中點，連接，則，
側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，
底面，
，，
，
即點到平面的距離為．
22．(1)
(2)零點為和；單調(diào)遞增區(qū)間為，
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算以及二倍角公式，輔助角公式，將化簡為，利用周期公式即可求解.（2）將零點轉(zhuǎn)化為方程的根即可求解，根據(jù)整體法代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間中即可求解.
【詳解】（1）由向量，，函數(shù)得
．
所以的最小正周期為．
（2）令，∴， ，解得，，
∵，所以的零點為和．
令，，得，．
又，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
第二次第一次
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6

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