第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對于A：，故A錯(cuò)誤；
對于B：，故B錯(cuò)誤；
對于C：，故C錯(cuò)誤；
對于D：，故D正確.
故選：D
2. 學(xué)校組織社團(tuán)活動(dòng)，要求每名同學(xué)必須且只能參加一個(gè)社團(tuán)，現(xiàn)僅剩的3個(gè)社團(tuán)供4名同學(xué)選擇，則不同的選擇方法有（ ）
A. 種B. 種C. 種D. 種
【答案】D
【解析】由題意可得，每名同學(xué)共有3種選擇，故不同的選擇方法有種
故選：D
3. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由進(jìn)行求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，可得：，解得：.
故選：A.
4. 如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意可知切點(diǎn)，
函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，
，即

又
即
故選：D.
5. 展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A. B. C. 15D. 5
【答案】B
【解析】設(shè)的通項(xiàng)為，
當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為.
所以展開式中項(xiàng)系數(shù)為，故選：B.
6. 函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為2，則的最小值是
A. 10B. 9C. 8D.
【答案】B
【解析】，由題意可知，，
，
當(dāng)，且，解得：，
所以的最小值是9.
故選：B
7. “四書” “五經(jīng)”是我國部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排次講座，若要求《大學(xué)》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先排除去《大學(xué)》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，
共有種排法，將《大學(xué)》《論語》看作一個(gè)元素，二者內(nèi)部全排列有種排法，
排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認(rèn)為它們之間包括兩頭有7個(gè)空位，
從7個(gè)空位中選2個(gè)，排《大學(xué)》《論語》捆綁成的一個(gè)元素和《周易》的講座，有種排法，
故總共有種排法，
故選：C.
8. 已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，且對任意的滿足，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】構(gòu)建，則，
因?yàn)?，則，即，
可知在上單調(diào)遞減，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故選：A．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分．
9. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】，令，可得，故A正確．
再令，可得，故C正確．
，可得，兩式相加，故
兩式相減可得，故B正確，D錯(cuò)誤，
故選：ABC．
10. 關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A. 函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為
B. 是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?，所以，?br>所以，
因此函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，
即，故A正確；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；故B錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)，，由得；由得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
因此，即；故C正確；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
由可得，
解得：，故D正確；
故選：ACD.
11. 定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（ ）
A. ，
B. 函數(shù)的極大值與極小值之和為6
C. 函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)
D. 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1
【答案】AB
【解析】由題意，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故；
又.
由，即.故A正確；
所以，所以.
由或.
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為；極小值為，
所以極大值與極小值之和為：，故B正確；
因?yàn)楹瘮?shù)的極小值，所以三次函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
又，，
所以函數(shù)在上的最小值為，故D錯(cuò).
故選：AB
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于64,則展開式中的系數(shù)是________.
【答案】
【解析】因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于64，
所以，解得；
所以展開式的通項(xiàng)為，
令，得的系數(shù)為.
故答案為
13. 甲、乙、丙等5位同學(xué)隨機(jī)站成一排合影留念，甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)，則不同的站法共有________種．（用數(shù)字作答）
【答案】24
【解析】甲乙捆綁作為一個(gè)人與其他人排列，共有種排法，
因?yàn)榧自诒髠?cè)與甲在丙右側(cè)的排法數(shù)相同，
所以甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)的不同的站法共有種.
故答案為：24
14. 已知不等式對恒成立， 則實(shí)數(shù)的最小值為__________.
【答案】
【解析】因?yàn)閷愠闪ⅲ?br>所以對恒成立，
即對恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，
所以，
又因?yàn)椋?br>令 ， 解得：， 令， 解得：，
故 在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)，與1的大小不定，
但當(dāng)實(shí)數(shù)最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，
此時(shí),
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，
兩邊取對數(shù)得：,所以，
令，則，
令，得：， 令，得：，
所以在單調(diào)遞增， 在單調(diào)遞減，
所以，故的最小值是.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)（）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求，的值；
（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）由題意得：
∴，∴，.
（2）由（1）知：
不等式在上恒成立，即在恒成立.
設(shè)，則
令，得，（舍去）列表如下：
∴此時(shí)的極小值為，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為
16. 在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，
（1）求的值；
（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)和；
（3）求展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng).
解：（1）展開式的通項(xiàng)為
因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，且前三項(xiàng)系數(shù)為，所以，即，
所以（舍去）或.
（2）因?yàn)椋哉归_式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，
即.
令得，即展開式系數(shù)和為
（3）通項(xiàng)公式：，
由，，
可得含的項(xiàng)的系數(shù)為.
設(shè)展開式中第項(xiàng)為有理項(xiàng)，
由
當(dāng)、4、8時(shí)對應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)分別為：；；．
17. 某校舉辦元旦晚會(huì)，有3個(gè)語言類節(jié)目和4個(gè)唱歌節(jié)目，按下面要求排出一個(gè)節(jié)目單，各有多少種排法？
（1）3個(gè)語言類節(jié)目彼此要隔開；
（2）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目；
（3）前3個(gè)節(jié)目中要有語言類節(jié)目．
解：（1）第一步：先排4個(gè)歌唱節(jié)目有種排法；
第二步：4個(gè)歌唱節(jié)目前后有5個(gè)空，排3個(gè)語言類節(jié)目有種排法，
共種排法；
（2）第一步：從4個(gè)歌唱節(jié)目中選2個(gè)排在一頭一尾有種排法；
第二步：剩下的3個(gè)語言類節(jié)目和2個(gè)歌唱節(jié)目共5個(gè)節(jié)目全排列有種排法，
共種排法；
（3）若前3個(gè)節(jié)目中都是唱歌節(jié)目有種排法，而7個(gè)節(jié)目的全排列有種排法，
故前3個(gè)節(jié)目中有語言類節(jié)目的排法有種排法．
18. 已知函數(shù).
（1）討論在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在處取得極小值，且關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
解：（1）
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；
（2）函數(shù)在處取得極值，∴，解得，則，
關(guān)于x的方程化為，
令，，
∴，
令，解得或1，
令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∵關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則，即，解得，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是
19 已知函數(shù)，.
（1）已知恒成立，求a的值；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）當(dāng)時(shí)，不等式（），求a的取值范圍.
解：（1）由已知，函數(shù)，，即，
令，，
①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以此時(shí)不恒成立；
②當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上取得極小值，即，
要使在上恒成立，即滿足，
令，
所以，又因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，因此，
所以要使恒成立，a的值為1.
（2）由已知，，，
令，
所以，，
①當(dāng)時(shí)， ，所以，而，
則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故；
②當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，可證得，由（1），
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
綜上所述，對任意時(shí)，.
（3）當(dāng)時(shí)，不等式（），
不妨設(shè)，即，
因?yàn)榍?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，
由于函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，，
則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，解得，
下面證明當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，
由（2）問可知，當(dāng)時(shí)，，
令，所以，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，合乎題意.
綜上所述，.
1
-
0
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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