（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A． B．
C．或D．
【答案】C
【解析】由，即，解得，
所以，
又，所以或，故選C
2．為虛數(shù)單位，若，則（ ）
A．5B．7C．9D．25
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?，故選：A.
3．已知向量．若與平行，則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】由，得，而，與平行，
因此，解得，所以實(shí)數(shù)λ的值為，故選D
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意，即，
即，所以，故選B.
5．陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址．如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積(單位：)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知：圓錐的母線長(zhǎng)為，
所以這個(gè)陀螺的表面積是.
故選：C.
6.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，變形得，因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，即時(shí)，，所以.
故選：A．
函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，如圖所示，
要使的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則只需.
故選：C.
8.函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，，則（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】因?yàn)?，且是定義在R上的偶函數(shù)，
所以，
令，則，
所以，即，
所以函數(shù)的周期為2，
所以.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時(shí)34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，則（ ）
A．P(X＞32)＞P(Y＞32)
B．P(X≤36)＝P(Y≤36)
C．李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車
D．李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車
【答案】BCD
【解析】A.由條件可知，，根據(jù)對(duì)稱性可知，故A錯(cuò)誤；
B., ，所以，故B正確；
C. =，所以，故C正確；
D. ，，所以，故D正確.
故選：BCD
10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．f（x）無(wú)最大值B．f（x）有唯一零點(diǎn)
C．f（x）在（0，＋∞）單調(diào)遞增D．f（0）為f（x）的一個(gè)極小值
【答案】ACD
【解析】，記
因?yàn)?，且，在區(qū)間上顯然遞增，
所以記為的零點(diǎn)，則有
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，有極小值，D正確；
由上可知，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，也趨于正無(wú)窮，故AC正確；
易知，故B錯(cuò)誤
故選：ACD
11.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線C與y軸的交點(diǎn)為，B．曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱
C．面積的最大值為2D．的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，整理得：，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，解得 ，即曲線C與y軸的交點(diǎn)為，，A正確；
對(duì)于B，因，由換方程不變，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在曲線C上，，C不正確；
對(duì)于D，由得：，解得，
于是得，解得，D正確.
故選：ABD
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，,則的離心率為
【答案】
【解析】由題,因?yàn)榕c軸垂直且,所以,即,
由雙曲線的定義可知,則,,
又因?yàn)?則,即,則,所以
13.已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則 .
【答案】/
【解析】設(shè)曲線與的切點(diǎn)分別為，
易知兩曲線的導(dǎo)函數(shù)分別為，，
所以，
則.
14.一個(gè)袋子中有10個(gè)大小相同的球，其中紅球7個(gè)，黑球3個(gè).每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.設(shè)第1，2，3次都摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為.求 .
【答案】
【解析】由題意可得，
設(shè)事件表示“在第1,2次都摸到紅球”，事件表示“第3次摸到紅球”，
則，
所以，
所以，
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
15．（本小題滿分13分）已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，．
（1）求；
（2）若的面積為，求．
【解】（1）由及正弦定理可得
，
，
所以，
即，，
所以，所以由正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>由余弦定理得，
（2）由（1）知，
因?yàn)榈拿娣e為，
所以，解得，
則
16.（本小題滿分15分）已知橢圓C：（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若面積為，求直線的方程.
【解】（1）由焦點(diǎn)為得，又離心率，得到，
所以，所以橢圓C的方程為.
（2）設(shè)，，
聯(lián)立，消y得，
，得到，
由韋達(dá)定理得，，，
又因?yàn)椋?br>又原點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
所以，所以，即，滿足，
所以直線l的方程為.
17．（本小題滿分15分）如圖，三棱錐中，底面ABC，，，，點(diǎn)M滿足，N是PC的中點(diǎn)．
(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)的值使得平面AMN，并加以證明；
(2)若二面角大小為45°，且，求點(diǎn)M到平面PAC的距離．
【解】（1）當(dāng)時(shí)，滿足題意．
是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，
又平面，且平面，
所以∥平面．
（2）由勾股定理得，
因?yàn)槠矫妫矫鍭BC，
所以，
又，，平面，
所以平面，
而平面，故，
故就是二面角的平面角，所以，
所以為等腰直角三角形，且，
過(guò)作于，則平面，易得，
所以點(diǎn)到平面的距離等于，為．
18.（本小題滿分17分）在一場(chǎng)乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過(guò)抽簽兩兩對(duì)陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”；接下來(lái)，“勝區(qū)”的兩人對(duì)陣，勝者進(jìn)入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對(duì)陣，敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣，勝者晉級(jí)最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進(jìn)行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對(duì)陣乙，丙對(duì)陣??；
①求甲獲得第四名的概率；
②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對(duì)陣，勝者晉級(jí)，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對(duì)甲奪冠有利？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解】（1）①記“甲獲得第四名”為事件，則；
②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)次為隨機(jī)變量，
則的所有可能取值為2，3，4，
連敗兩局：，
可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負(fù)；負(fù)勝負(fù)；勝負(fù)負(fù)；
，
；
故的分布列如下：
故數(shù)學(xué)期望；
（2）“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率，
在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為，
由，且
所以時(shí)，，“雙敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利；
時(shí)，，“單敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利；
時(shí)，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.
19.（本小題滿分17分）已知函數(shù)，其中，.若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線與函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”，現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點(diǎn)列，，…，，…，使得對(duì)任意正整數(shù)，點(diǎn)都是點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”.
(1)若，請(qǐng)判斷原點(diǎn)是否存在“上位點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)分別求出點(diǎn)、的坐標(biāo)；
(3)若的坐標(biāo)為，記點(diǎn)到直線的距離為.問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得無(wú)窮數(shù)列、、…、…嚴(yán)格減？若存在，求出實(shí)數(shù)的所有可能值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解】（1）已知，則，得，
故函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，
其與函數(shù)圖像無(wú)其他交點(diǎn)，所以原點(diǎn)不存在“上位點(diǎn)”.
（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，為正整數(shù)，
則函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線方程為，
代入其“上位點(diǎn)”，得，
化簡(jiǎn)得，
即，
故，
因?yàn)?，得?），
又點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（3）將代入，解得，
由（*）得，.
即，又，
故是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即，.
令，則嚴(yán)格減，
因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增.
當(dāng)時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格減，符合要求
當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)闀r(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，，
從而當(dāng)時(shí)嚴(yán)格增，不存在正整數(shù)，
使得無(wú)窮數(shù)列，，…，嚴(yán)格減.
綜上，.
2
3
4

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