【開學(xué)考】新高三上冊(cè)開學(xué)摸底考試卷數(shù)學(xué)（天津?qū)Ｓ茫?zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題共45分）
一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1．（5分）已知集合，，則
A．，B．，，
C．D．，
【答案】
【分析】先解分式不等式求出集合，再根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解．
【解答】解：，
或，
，
，
故選：．
2．（5分）“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】
【分析】根據(jù)或，，即可求解．
【解答】解：或，，
“”是“”的必要不充分條件．
故選：．
3．（5分）三個(gè)數(shù)，，的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可解．
【解答】解：，故，
又，且，故，
又，
故，
故選：．
4．（5分）函數(shù)的圖象大致是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】對(duì)比選項(xiàng)中的圖象，再分別計(jì)算和時(shí)，的取值情況，即可作出選擇．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，，排除選項(xiàng)和；
當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：．
5．（5分）在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根據(jù)三棱錐的表面積，求出正方體的棱長(zhǎng)，由正方體的對(duì)角線即為外接球的直徑，求得正方體的外接球的半徑，由球的體積公式計(jì)算可得所求值．
【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，
由于三棱錐的表面積為，
則，
解得，
又，
即，
所以正方體的外接球的體積為．
故選：．
6．（5分）若的二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為10，則
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】依題意，可得，解之即可．
【解答】解：的二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為，
依題意，得，
解得．
故選：．
7．（5分）已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列說法正確的是
A．若，，，則B．若，，，則
C．若，，，則D．若，，，則
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由空間中線線、線面、面面之間的位置關(guān)系依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于，若，，設(shè)直線，的方向向量分別為，則平面，對(duì)應(yīng)法向量為，由，即，則，故正確；
對(duì)于，若，，，則與可能平行或相交，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，若，，，則，或，或與相交，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，若，，則，又，則或，錯(cuò)誤．
故選：．
8．（5分）已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：
①的最小正周期為；
②是的最大值；
③把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】
【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式可判斷①，結(jié)合函數(shù)最值取得條件可判斷②，結(jié)合函數(shù)圖象的平移可判斷③．
【解答】解：因?yàn)椋?br>①由周期公式可得，的最小正周期，故①正確；
②，不是的最大值，故②錯(cuò)誤；
③根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則可得，函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，故③正確．
故選：．
9．（5分）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且，則的面積的最大值為
A．1B．C．2D．
【答案】
【分析】利用正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理求得角，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式，即可得出答案．
【解答】解：，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，則，
，
由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，
則，
的面積的最大值為．
故選：．
第二部分（非選擇題共105分）
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.
10．（5分）為虛數(shù)單位，當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的值為．
【分析】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0；由此解答．
【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以且，解得；
故答案為：1．
11．（5分）計(jì)算：．
【答案】．
【分析】由指數(shù)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．
【解答】解：
．
故答案為：．
12．（5分）某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教．選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為；設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望為．
【分析】從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教．基本事件總數(shù)，設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院”為事件，事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；隨機(jī)變量的所有可能值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教．
基本事件總數(shù)，
設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院”為事件，
事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，
則選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為：
（A）．
隨機(jī)變量的所有可能值為0，1，2，3，
，
，
，
，
所以隨機(jī)變量的分布列是：
．
13．（5分）直線過點(diǎn)且與圓交于、兩點(diǎn)，如果，那么直線的方程為．
【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心的坐標(biāo)和半徑，由弦的長(zhǎng)及圓的半徑，根據(jù)垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線的距離為3，分兩種情況考慮：當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線滿足題意；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的斜率為，根據(jù)直線過及設(shè)出的斜率表示出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，讓等于3列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，確定出直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程．
【解答】解：由圓，得到圓心坐標(biāo)為，半徑，
，，圓心到直線的距離，
若直線垂直于軸，此時(shí)直線方程為，
而圓心到直線的距離為3，符合題意；
若直線與軸不垂直，設(shè)直線斜率為，其方程為：，即，
圓心到直線的距離，解得：，
此時(shí)直線的方程為：，
綜上，所有滿足題意的直線方程為：或．
故答案為：或
14．（5分）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)，，，，（如圖），則四棱錐的體積為．
【分析】求出四棱錐中的底面的面積，求出棱錐的高，然后利用體積公式求解即可．
【解答】解：正方體的棱長(zhǎng)為1，的底面是正方形的邊長(zhǎng)為：，
四棱錐是正四棱錐，棱錐的高為，
四棱錐的體積：．
故答案為：．
15．（5分）如圖，在中，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足的面積為，則；的最小值為．
【分析】根據(jù)，，三點(diǎn)共線，以及，求出的值，將面積轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)平面向量模長(zhǎng)公式結(jié)合基本不等式求出的最小值即可．
【解答】解：為的中點(diǎn)，，
，
點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，，
，
，，
，即，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
的最小值為．
故答案為：；．
解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（14分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．
（1）求角的大??；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求出的大小，
（2）根據(jù)正弦定理即可求出的值，
（3）根據(jù)同角的三角形函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角和的正弦公式即可求出．
【解答】解：（1）由余弦定理以及，
則，
，
；
（2）由正弦定理，以及，，，可得；
（3）由，及，可得，
則，
，
．
17．（15分）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即切線的斜率，然后由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)過切點(diǎn)的切線方程，由切線過原點(diǎn)求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，則直線方程與切點(diǎn)坐標(biāo)可求．
【解答】解：（1）由，得
，（2），
曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）設(shè)切點(diǎn)為，，
切線方程為，
切線經(jīng)過原點(diǎn)，
，
，．
則，
所求的切線方程為；
切點(diǎn)為．
18．（15分）如圖，平面，，，，，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．
【分析】（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，，，的坐標(biāo)，設(shè)，得，2，．可得是平面的法向量，再求出，由，且直線平面，得平面；
（Ⅱ）求出，再求出平面的法向量，利用數(shù)量積求夾角公式得直線與平面所成角的余弦值，進(jìn)一步得到直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，由兩平面法向量所成角的余弦值為列式求線段的長(zhǎng)．
【解答】（Ⅰ）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．
設(shè)，則，2，．
則是平面的法向量，又，可得．
又直線平面，平面；
（Ⅱ）解：依題意，，，．
設(shè)為平面的法向量，
則，令，得．
．
直線與平面所成角的正弦值為；
（Ⅲ）解：設(shè)，，為平面的法向量，
則，取，可得，
由題意，，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
線段的長(zhǎng)為．
19．（15分）設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列．已知，，，．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）求．
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，可得所求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，可得，可得所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式可得，由數(shù)列的分組求和和錯(cuò)位相減法求和，化簡(jiǎn)可得所求和．
【解答】解：（1）是等比數(shù)列，公比大于0，
，，可得，解得舍去），
；
是公差為的等差數(shù)列，，．
可得，，
則，，可得，
則；
（2），
，
設(shè)，
，
相減可得
，
化為，
則．
20．（16分）已知函數(shù)，其中，．
（1）若曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若對(duì)于任意的，，不等式在，上恒成立，求的取值范圍．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得；
（2）利用判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)分類討論；
（3）由題意得即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得（2），于是，
由切點(diǎn)，（2）在直線上可得，
解得，所以函數(shù)的解析式為．
，
當(dāng)時(shí)，顯然，這時(shí)在，內(nèi)是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，令，解得；
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
所以在，，內(nèi)是增函數(shù)，在，，內(nèi)是減函數(shù)．
（3）由（2）知，在上的最大值為與（1）中的較大者，
對(duì)于任意的，不等式，在上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
對(duì)任意的成立，從而得滿足條件的的取值范圍是．
0
1
2
3
，
，
0
0
極大值
極小值

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