（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A． B．
C．或D．
【答案】C
【解析】由，即，解得，
所以，
又，所以或，故選C
2．為虛數(shù)單位，若，則（ ）
A．5B．7C．9D．25
【答案】A
【解析】因為，所以，故選：A.
3．已知向量．若與平行，則實數(shù)λ的值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】由，得，而，與平行，
因此，解得，所以實數(shù)λ的值為，故選D
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意，即，
即，所以，故選B.
5．陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積(單位：)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知：圓錐的母線長為，
所以這個陀螺的表面積是.
故選：C.
6.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，變形得，因為，所以，
所以當，即時，，所以.
故選：A．
函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，如圖所示，
要使的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則只需.
故選：C.
8.函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，，則（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】因為，且是定義在R上的偶函數(shù)，
所以，
令，則，
所以，即，
所以函數(shù)的周期為2，
所以.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9.李明每天7：00從家里出發(fā)去學校，有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則（ ）
A．P(X＞32)＞P(Y＞32)
B．P(X≤36)＝P(Y≤36)
C．李明計劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車
D．李明計劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車
【答案】BCD
【解析】A.由條件可知，，根據(jù)對稱性可知，故A錯誤；
B., ，所以，故B正確；
C. =，所以，故C正確；
D. ，，所以，故D正確.
故選：BCD
10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（ ）
A．f（x）無最大值B．f（x）有唯一零點
C．f（x）在（0，＋∞）單調(diào)遞增D．f（0）為f（x）的一個極小值
【答案】ACD
【解析】，記
因為，且，在區(qū)間上顯然遞增，
所以記為的零點，則有
所以當時，，在上單調(diào)遞增，
又因為，所以當時，，當時，，
所以當時，有極小值，D正確；
由上可知，在上單調(diào)遞增，且當x趨近于正無窮時，也趨于正無窮，故AC正確；
易知，故B錯誤
故選：ACD
11.平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線C與y軸的交點為，B．曲線C關(guān)于x軸對稱
C．面積的最大值為2D．的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】設(shè)點，依題意，，整理得：，
對于A，當時，解得 ，即曲線C與y軸的交點為，，A正確；
對于B，因，由換方程不變，曲線C關(guān)于x軸對稱，B正確；
對于C，當時，，即點在曲線C上，，C不正確；
對于D，由得：，解得，
于是得，解得，D正確.
故選：ABD
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，與軸垂直，,則的離心率為
【答案】
【解析】由題,因為與軸垂直且,所以,即,
由雙曲線的定義可知,則,,
又因為,則,即,則,所以
13.已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則 .
【答案】/
【解析】設(shè)曲線與的切點分別為，
易知兩曲線的導函數(shù)分別為，，
所以，
則.
14.一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個.每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.設(shè)第1，2，3次都摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為.求 .
【答案】
【解析】由題意可得，
設(shè)事件表示“在第1,2次都摸到紅球”，事件表示“第3次摸到紅球”，
則，
所以，
所以，
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（本小題滿分13分）已知分別是內(nèi)角的對邊，，．
（1）求；
（2）若的面積為，求．
【解】（1）由及正弦定理可得
，
，
所以，
即，，
所以，所以由正弦定理得，
因為，所以，
由余弦定理得，
（2）由（1）知，
因為的面積為，
所以，解得，
則
16.（本小題滿分15分）已知橢圓C：（）的一個焦點為，且離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線l：與橢圓C交于A，B兩點，若面積為，求直線的方程.
【解】（1）由焦點為得，又離心率，得到，
所以，所以橢圓C的方程為.
（2）設(shè)，，
聯(lián)立，消y得，
，得到，
由韋達定理得，，，
又因為，
又原點到直線的距離為，
所以，
所以，所以，即，滿足，
所以直線l的方程為.
17．（本小題滿分15分）如圖，三棱錐中，底面ABC，，，，點M滿足，N是PC的中點．
(1)請寫出一個的值使得平面AMN，并加以證明；
(2)若二面角大小為45°，且，求點M到平面PAC的距離．
【解】（1）當時，滿足題意．
是的中點，又因為是的中點，
所以，
又平面，且平面，
所以∥平面．
（2）由勾股定理得，
因為平面，平面ABC，
所以，
又，，平面，
所以平面，
而平面，故，
故就是二面角的平面角，所以，
所以為等腰直角三角形，且，
過作于，則平面，易得，
所以點到平面的距離等于，為．
18.（本小題滿分17分）在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對陣的結(jié)果相互獨立.
(1)若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣??；
①求甲獲得第四名的概率；
②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學期望；
(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.
【解】（1）①記“甲獲得第四名”為事件，則；
②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量，
則的所有可能取值為2，3，4，
連敗兩局：，
可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負；負勝負；勝負負；
，
；
故的分布列如下：
故數(shù)學期望；
（2）“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率，
在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為，
由，且
所以時，，“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；
時，，“單敗淘汰制”對甲奪冠有利；
時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.
19.（本小題滿分17分）已知函數(shù)，其中，.若點在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過點的切線與函數(shù)圖像的另一個交點為點，則稱點為點的一個“上位點”，現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點列，，…，，…，使得對任意正整數(shù)，點都是點的一個“上位點”.
(1)若，請判斷原點是否存在“上位點”，并說明理由；
(2)若點的坐標為，請分別求出點、的坐標；
(3)若的坐標為，記點到直線的距離為.問是否存在實數(shù)和正整數(shù)，使得無窮數(shù)列、、…、…嚴格減？若存在，求出實數(shù)的所有可能值；若不存在，請說明理由.
【解】（1）已知，則，得，
故函數(shù)經(jīng)過點的切線方程為，
其與函數(shù)圖像無其他交點，所以原點不存在“上位點”.
（2）設(shè)點的橫坐標為，為正整數(shù)，
則函數(shù)圖像在點處的切線方程為，
代入其“上位點”，得，
化簡得，
即，
故，
因為，得（*），
又點的坐標為，
所以點的坐標為，點的坐標為.
（3）將代入，解得，
由（*）得，.
即，又，
故是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，即，.
令，則嚴格減，
因為，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格增.
當時，，于是當時，嚴格減，符合要求
當時，.
因為時，
所以當時，，
從而當時嚴格增，不存在正整數(shù)，
使得無窮數(shù)列，，…，嚴格減.
綜上，.
2
3
4

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