新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 北京卷押題練習(xí) 第21題 數(shù)列壓軸解答題（2份打包，原卷版+解析版）

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1.（2023·北京卷T21）已知 SKIPIF 1 < 0 為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 ，在Q中存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則稱Q為 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷 SKIPIF 1 < 0 是否為 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)可表數(shù)列？是否為 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)可表數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
2.（2022·北京卷T21）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的項(xiàng)數(shù)均為m SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和分別為 SKIPIF 1 < 0 ，并規(guī)定 SKIPIF 1 < 0 ．對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 ，定義 SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 表示數(shù)集M中最大的數(shù).
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)證明：存在 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ．
3.（2021·北京卷T21）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列：
① SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如果數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么 SKIPIF 1 < 0 是否可能為 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列？說(shuō)明理由；
（2）若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 .是否存在 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由．
1、代數(shù)型新定義問(wèn)題的常見(jiàn)考查形式
（1）概念中的新定義；
（2）運(yùn)算中的新定義；
（3）規(guī)則的新定義等．
2、解決“新定義”問(wèn)題的方法
在實(shí)際解決“新定義”問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質(zhì)、新模式等信息,確定新定義的名稱或符號(hào)、概念、法則等,并進(jìn)行信息再加工,尋求相近知識(shí)點(diǎn),明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn),探求解決方法,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)轉(zhuǎn)換,有效輸出,合理歸納,結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)技巧與方法來(lái)分析與解決！

1．已知無(wú)窮數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合 SKIPIF 1 < 0 ．若對(duì)于集合A中的元素k，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中存在不相同的項(xiàng) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則稱數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 具有性質(zhì) SKIPIF 1 < 0 ，記集合 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 具有性質(zhì) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 寫(xiě)出集合A與集合B；
(2)若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為t，集合B中的最小元素為s，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知： SKIPIF 1 < 0 為有窮正整數(shù)數(shù)列，其最大項(xiàng)的值為 SKIPIF 1 < 0 ，且當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，均有 SKIPIF 1 < 0 .設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 ，定義 SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 表示數(shù)集M中最小的數(shù).
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，寫(xiě)出 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若存在 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，證明：對(duì)所有 SKIPIF 1 < 0 .
3．已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，記集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，寫(xiě)出集合 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出一組符合條件的 SKIPIF 1 < 0 ；若不存在，說(shuō)明理由；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，把集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為 SKIPIF 1 < 0 ， 若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
4．已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，記集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若a1=6，寫(xiě)出集合M的所有元素；
(2)如集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；
(3)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.
5．已知：正整數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 各項(xiàng)均不相同， SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，寫(xiě)出一個(gè)滿足題意的正整數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前5項(xiàng)：
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
(3)證明若 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在不同的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，j，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為大于1的整數(shù)，其中 SKIPIF 1 < 0 .
6．若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則稱數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列.記 SKIPIF 1 < 0 .
(1)寫(xiě)出一個(gè)滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是遞增數(shù)列的充要條件是 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)對(duì)任意給定的整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，是否存在首項(xiàng)為1的 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ；如果不存在，說(shuō)明理由.
7．已知無(wú)窮數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 表示x，y中最大的數(shù)， SKIPIF 1 < 0 表示x，y中最小的數(shù).
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，寫(xiě)出 SKIPIF 1 < 0 的所有可能值；
(2)若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中的項(xiàng)；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有 SKIPIF 1 < 0 ？如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的M；如果不存在，說(shuō)明理由.
8．已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公比為q（ SKIPIF 1 < 0 ），其所有項(xiàng)構(gòu)成集合A，等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差為d（ SKIPIF 1 < 0 ），其所有項(xiàng)構(gòu)成集合B．令 SKIPIF 1 < 0 ，集合C中的所有元素按從小到大排列構(gòu)成首項(xiàng)為1的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若集合 SKIPIF 1 < 0 ，寫(xiě)出一組符合題意的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為無(wú)窮數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ，且數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前5項(xiàng)成公比為p的等比數(shù)列．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求p的值；
(3)若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為1的無(wú)窮數(shù)列，求證：“存在無(wú)窮數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ”的充要條件是“d是正有理數(shù)”．
9．已知有窮數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．給定正整數(shù)m，若存在正整數(shù)s， SKIPIF 1 < 0 ，使得對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，則稱數(shù)列A是 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列．
(1)判斷數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是否為 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列？是否為 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列？說(shuō)明理由；
(2)若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A都是 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，求N的最小值；
(3)若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，而數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 與數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 都是 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
10．若有窮自然數(shù)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列：
① SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，這 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)中最大的數(shù)；
② SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，這 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)中最小的數(shù).
(1)判斷 SKIPIF 1 < 0 ：2，4，6，7，10是否為 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列，說(shuō)明理由；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)證明：對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .（ SKIPIF 1 < 0 表示不超過(guò) SKIPIF 1 < 0 的最大整數(shù)）
核心考點(diǎn)
考情統(tǒng)計(jì)
考向預(yù)測(cè)
備考策略
新定義數(shù)列
2023·北京卷T21
預(yù)測(cè)2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)新定義數(shù)列為背景開(kāi)命題．
所謂“新定義”型問(wèn)題,主要是指在問(wèn)題中定義了高中數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào),要求同學(xué)們讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)、能力進(jìn)行理解,根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.
新定義數(shù)列
2022·北京卷T21
新定義數(shù)列
2021·北京卷T21