新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 北京卷押題練習(xí) 第18題 概率統(tǒng)計(jì)解答題（2份打包，原卷版+解析版）

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1.（2023·北京卷T18）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．
用頻率估計(jì)概率．
(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；
(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）
2.（2022·北京卷T18）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到 SKIPIF 1 < 0 以上（含 SKIPIF 1 < 0 ）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．
(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
(3)在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
3.（2021·北京卷T18）在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.
現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.
（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為 SKIPIF 1 < 0 .設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的
分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)
1.頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示eq \f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq \f(頻率,組距).
2.在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.
3.利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).
(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和相等.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
4.離散型隨機(jī)變量X的分布列為
則(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝eq \(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))[xi－E(X)]2pi.
(5)若Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
5.求隨機(jī)變量X的均值與方差的方法及步驟
(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能的全部取值；
(2)求X取每個(gè)值對應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量X的分布列；
(3)由均值和方差的計(jì)算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若隨機(jī)變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.

1．甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用 SKIPIF 1 < 0 表示乙學(xué)校的總得分，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與期望.
(3)設(shè)用 SKIPIF 1 < 0 表示甲學(xué)校的總得分，比較 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小（直接寫出結(jié)果）.
2．某中學(xué)為了解本校高二年級學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年級學(xué)生中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字?jǐn)?shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，將測試結(jié)果整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)若該校高二年級有1500人，試估計(jì)閱讀速度達(dá)到620字/分鐘及以上的人數(shù)；
(2)用頻率估計(jì)概率，從該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字/分鐘及以上的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若某班有10名學(xué)生參加測試，他們的閱讀速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字/分鐘及以上的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，試判斷數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 與（2）中的 SKIPIF 1 < 0 的大小.（結(jié)論不要求證明）
3．10米氣步槍是國際射擊聯(lián)合會的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽．三位選手甲?乙?丙的資格賽成績?nèi)缦拢?br>假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲?乙?丙的射擊成績相互獨(dú)立．
(1)若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說明理由；
(2)若甲?乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率；
(3)甲?乙?丙各射擊10次，用 SKIPIF 1 < 0 分別表示甲?乙?丙的10次射擊中大于 SKIPIF 1 < 0 環(huán)的次數(shù)，其中 SKIPIF 1 < 0 ．寫出一個(gè) SKIPIF 1 < 0 的值，使 SKIPIF 1 < 0 ．（結(jié)論不要求證明）
4．某項(xiàng)游戲的規(guī)則如下：游戲可進(jìn)行多輪，每輪進(jìn)行兩次分別計(jì)分，每次分?jǐn)?shù)均為不超過10的正整數(shù)，選手甲參加十輪游戲，分?jǐn)?shù)如下表：
若選手在某輪中，兩次分?jǐn)?shù)的平均值不低于7分，且二者之差的絕對值不超過1分，則稱其在該輪“穩(wěn)定發(fā)揮”.
(1)若從以上十輪游戲中任選兩輪，求這兩輪均“穩(wěn)定發(fā)揮”的概率；
(2)假設(shè)甲再參加三輪游戲，每輪得分情況相互獨(dú)立，并對是否穩(wěn)定發(fā)揮以頻率估計(jì)概率.記 SKIPIF 1 < 0 為甲在三輪游戲中“穩(wěn)定發(fā)揮”的輪數(shù)，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)選手乙參加 SKIPIF 1 < 0 輪游戲，每輪的兩次分?jǐn)?shù)均不相同.記 SKIPIF 1 < 0 為各輪較高分的算數(shù)平均值， SKIPIF 1 < 0 為各輪較低分的算數(shù)平均值， SKIPIF 1 < 0 為各輪兩次的平均分的算數(shù)平均值.試比較 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的大?。ńY(jié)論不要求證明）.
5．某醫(yī)學(xué)小組為了比較白鼠注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選20只健康白鼠做試驗(yàn)．將這20只白鼠隨機(jī)分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物A，第2組注射藥物B．試驗(yàn)結(jié)果如下表所示．
(1)現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機(jī)選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(2)從兩組皮膚皰疹面積在 SKIPIF 1 < 0 區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機(jī)選取3只抽血化驗(yàn)，求第2組中被抽中白鼠只數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)用“ SKIPIF 1 < 0 ”表示第 SKIPIF 1 < 0 組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在 SKIPIF 1 < 0 區(qū)間內(nèi)，“ SKIPIF 1 < 0 ”表示第 SKIPIF 1 < 0 組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在 SKIPIF 1 < 0 區(qū)間內(nèi)（ SKIPIF 1 < 0 ），寫出方差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
6．某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如圖，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．
(1)試估計(jì)顧客同時(shí)購買了甲、乙兩種商品的概率；
(2)假設(shè)每位顧客是否夠買這四種商品是相互獨(dú)立的，在近期內(nèi)再對這四種商品購買情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取4名顧客，試估計(jì)恰有2名顧客購買了兩種商品，1名顧客購買了一種商品、1名顧客購買了三種商品的概率；
(3)如果顧客購買了甲則該顧客同時(shí)購買丙、丁中哪種商品的可能性最大．（結(jié)論不要求證明）
7．某中學(xué)為了解高二年級中華傳統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的情況，從高二年級隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行了兩輪測試，并把兩輪測試成績的平均分作為該名學(xué)生的考核成績.記錄的數(shù)據(jù)如下：
(1)從該校高二年級隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生考核成績大于90分的概率；
(2)為進(jìn)一步研究這10名同學(xué)的成績，從考核成績小于90分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，記這兩人中兩輪測試至少有一次大于90分的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(3)記抽取的10名學(xué)生第一輪測試的平均數(shù)和方差分別為 SKIPIF 1 < 0 ，考核成績的平均數(shù)和方差分別為 SKIPIF 1 < 0 ，試比較 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的大小.（只需寫出結(jié)論）
8．為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機(jī)抽樣的方式，從該地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在 SKIPIF 1 < 0 之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：

(1)記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2戶居民，求他們月均用電量都不低于 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(2)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3戶，設(shè)月均用電量在 SKIPIF 1 < 0 之間的用戶數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，以頻率估計(jì)概率，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于 SKIPIF 1 < 0 的居民用戶每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書，且發(fā)放倡議書的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì) SKIPIF 1 < 0 應(yīng)定為多少合適？（只需寫出結(jié)論）.
9．2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運(yùn)會將在中國杭州舉行.杭州某中學(xué)高一年級舉辦了“亞運(yùn)在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報(bào)名人數(shù)如下：
該年級在報(bào)名的同學(xué)中按分層抽樣的方式抽取10名同學(xué)參加競賽，每位參加競賽的同學(xué)從預(yù)設(shè)的10個(gè)題目中隨機(jī)抽取4個(gè)作答，至少答對3道的同學(xué)獲得一份獎品.假設(shè)每位同學(xué)的作答情況相互獨(dú)立.
(1)求各班參加競賽的人數(shù)；
(2)2班的小張同學(xué)被抽中參加競賽，若該同學(xué)在預(yù)設(shè)的10個(gè)題目中恰有3個(gè)答不對，記他答對的題目數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)若1班每位參加競賽的同學(xué)答對每個(gè)題目的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，求1班參加競賽的同學(xué)中至少有1位同學(xué)獲得獎品的概率.
10．某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了500名高中學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動時(shí)間（單位：小時(shí)）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值；
(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動時(shí)間的分配情況，從參加公益勞動時(shí)間在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人.記參加公益勞動時(shí)間在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和期望；
(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“ SKIPIF 1 < 0 ”表示這20名學(xué)生中恰有k名學(xué)生參加公益勞動時(shí)間在 SKIPIF 1 < 0 （單位：小時(shí)）內(nèi)的概率，其中 SKIPIF 1 < 0 ，1，2， SKIPIF 1 < 0 ，20.當(dāng) SKIPIF 1 < 0 最大時(shí)，寫出k的值.（只需寫出結(jié)論）.
核心考點(diǎn)
考情統(tǒng)計(jì)
考向預(yù)測
備考策略
頻率與概率
2022·北京卷T13
預(yù)測2023年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以隨機(jī)變量分布列及期望方差為背景展開命題．
概率統(tǒng)計(jì)大題難度一般，縱觀近幾年的新高考試題，主要考查事件與概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)、頻率分布直方圖、隨機(jī)變量分布列及期望方差等知識點(diǎn)，同時(shí)也是高考沖刺復(fù)習(xí)的重點(diǎn)復(fù)習(xí)內(nèi)容。
期望與方差及決策
2020·北京卷T14
期望與方差及決策
2019·北京卷T9
時(shí)段
價(jià)格變化
第1天到第20天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第21天到第40天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
環(huán)數(shù)
6環(huán)
7環(huán)
8環(huán)
9環(huán)
10環(huán)
甲的射出頻數(shù)
1
1
10
24
24
乙的射出頻數(shù)
3
2
10
30
15
丙的射出頻數(shù)
2
4
10
18
26
輪次
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
第一次分?jǐn)?shù)
7
6
8
9
8
5
9
7
10
7
第二次分?jǐn)?shù)
8
7
9
10
8
9
8
7
7
9
皰疹面積（單位： SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
第1組（只）
3
4
1
2
0
第2組（只）
1
3
2
3
1
1號
2號
3號
4號
5號
6號
7號
8號
9號
10號
第一輪測試成績
96
89
88
88
92
91
87
90
92
90
第二輪測試成績
90
90
91
88
88
87
96
92
89
92
班號
1
2
3
4
人數(shù)
30
40
20
10