（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）小題綜合
考點01 直接求函數(shù)值
1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質和不等式的性質，逐漸遞推即可判斷.
【詳解】因為當時，所以，
又因為，
則，
，
，
，
，則依次下去可知，則B正確；
且無證據(jù)表明ACD一定正確.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質，代入函數(shù)值再結合不等式同向可加性，不斷遞推即可.
2．（2024·上海·高考真題）已知則 ．
【答案】
【分析】利用分段函數(shù)的形式可求.
【詳解】因為故，
故答案為：.
3．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.
【詳解】函數(shù)，所以.
故答案為：1
4．（2021·全國甲卷·高考真題）設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系即可求得的值.
【詳解】由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系式，靈活利用所給的條件進行轉化是解決本題的關鍵.
5．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則 .
【答案】2
【分析】由題意結合函數(shù)的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.
【詳解】，故，
故答案為：2.
考點02 函數(shù)的定義域與值域
1．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；
【詳解】解：因為，所以，解得且，
故函數(shù)的定義域為；
故答案為：
2．（2020·山東·高考真題）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.
【詳解】由題知：，解得且.
所以函數(shù)定義域為.
故選：B
3．（2019·江蘇·高考真題）函數(shù)的定義域是 .
【答案】.
【分析】由題意得到關于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.
【詳解】由已知得,
即
解得，
故函數(shù)的定義域為.
【點睛】求函數(shù)的定義域，其實質就是以函數(shù)解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可．
4．（2018·江蘇·高考真題）函數(shù)的定義域為 ．
【答案】[2，+∞）
【詳解】分析：根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負列不等式，解對數(shù)不等式得函數(shù)定義域.
詳解：要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域為.
點睛：求給定函數(shù)的定義域往往需轉化為解不等式（組）的問題.
5．（2016·江蘇·高考真題）函數(shù)y=的定義域是 .
【答案】
【詳解】試題分析：要使函數(shù)有意義，需滿足，函數(shù)定義域為
考點：函數(shù)定義域
6．（2016·全國·高考真題）下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lg x的定義域和值域相同的是
A．y＝xB．y＝lg xC．y＝2xD．y＝
【答案】D
【詳解】試題分析:因函數(shù)的定義域和值域分別為,故應選D．
考點：對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的定義域和值域等知識的綜合運用．
7．（2015·福建·高考真題）若函數(shù)（且）的值域是，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】試題分析：由于函數(shù)的值域是，故當時，滿足，當時，由，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍.
考點：對數(shù)函數(shù)的性質及函數(shù)的值域.
【方法點晴】本題以分段為背景主要考查了對數(shù)的圖象與性質及函數(shù)的值域問題，解答時要牢記對數(shù)函數(shù)的單調性及對數(shù)函數(shù)的特殊點的應用是解答的關鍵，屬于基礎題，著重考查了分類討論的思想方法的應用，本題的解答中，當時，由，得，即，即可求解實數(shù)的取值范圍.
8．（2015·湖北·高考真題）函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)根號下非負及真數(shù)大于零可得函數(shù)的定義域.
【詳解】由函數(shù)的表達式可知，函數(shù)的定義域應滿足條件：
，解之得，
即函數(shù)的定義域為，
故選：C．
考點03 函數(shù)單調性的判斷及其應用
1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在R上單調遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】因為在上單調遞增，且時，單調遞增，
則需滿足，解得，
即a的范圍是.
故選：B.
2．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函數(shù)的單調性，結合復合函數(shù)的單調性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】對于A，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故A錯誤；
對于B，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故B錯誤；
對于C，因為在上單調遞減，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，故C正確；
對于D，因為，，
顯然在上不單調，D錯誤.
故選：C.
3．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性及二次函數(shù)的性質判斷即可.
【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，
因為，而，
所以，即
由二次函數(shù)性質知，
因為，而，
即，所以，
綜上，，
又為增函數(shù)，故，即.
故選：A.
4．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）設函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
5．（2021·全國甲卷·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質逐項判斷后可得正確的選項.
【詳解】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.
對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.
對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.
對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，
故選：D.
6．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．增函數(shù)D．減函數(shù)
【答案】C
【分析】利用函數(shù)單調性定義即可得到答案.
【詳解】對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，
等價于對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有.
所以函數(shù)一定是增函數(shù).
故選：C
7．（2020·全國·高考真題）設函數(shù),則（ ）
A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調遞增B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調遞減
C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調遞增D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調遞減
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域為，利用定義可得出函數(shù)為奇函數(shù)，
再根據(jù)函數(shù)的單調性法則，即可解出．
【詳解】因為函數(shù)定義域為，其關于原點對稱，而，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
又因為函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞增，
而在上單調遞減，在上單調遞減，
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞增．
故選：A．
【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質，屬于基礎題．
8．（2019·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調遞增的是
A．B．y=C．D．
【答案】A
【分析】由題意結合函數(shù)的解析式考查函數(shù)的單調性即可.
【詳解】函數(shù)，
在區(qū)間 上單調遞減，
函數(shù) 在區(qū)間上單調遞增，故選A.
【點睛】本題考查簡單的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性，注重對重要知識、基礎知識的考查，蘊含數(shù)形結合思想，屬于容易題.
9．（2019·全國·高考真題）設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調遞減，則
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉化為同一個單調區(qū)間上，再比較大小．
【詳解】是R的偶函數(shù)，．
，
又在(0，+∞)單調遞減，
∴，
，故選C．
【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性，解題關鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．
10．（2017·全國·高考真題）函數(shù)在單調遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是．
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】 是奇函數(shù)，故 ；又 是減函數(shù)，，
即 則有 ，解得 ，故選D.
11．（2017·天津·高考真題）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關系為
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意：，
且：，
據(jù)此：，
結合函數(shù)的單調性有：，
即.
本題選擇C選項.
【考點】 指數(shù)、對數(shù)、函數(shù)的單調性
【名師點睛】比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小要結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調性進行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調性數(shù)形結合不僅能比較大小，還可以解不等式.
12．（2017·天津·高考真題）已知奇函數(shù)，且在上是增函數(shù).若，，，則a，b，c的大小關系為
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因為是奇函數(shù)，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，
，
，又，則，所以即，
，
所以，故選C．
【考點】指數(shù)、對數(shù)、函數(shù)的單調性
【名師點睛】比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小要結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調性進行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調性數(shù)形結合不僅能比較大小，還可以解不等式.
13．（2017·北京·高考真題）已知函數(shù)，則
A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
【答案】A
【詳解】分析：討論函數(shù)的性質，可得答案.
詳解：函數(shù)的定義域為，且 即函數(shù) 是奇函數(shù)，
又在都是單調遞增函數(shù)，故函數(shù) 在R上是增函數(shù)．
故選A.
點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調性，屬基礎題.
14．（2017·全國·高考真題）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由>0得：x∈(?∞,?2)∪(4,+∞)，
令t=，則y=lnt，
∵x∈(?∞,?2)時,t=為減函數(shù)；
x∈(4,+∞)時,t=為增函數(shù)；
y=lnt為增函數(shù)，
故函數(shù)f(x)=ln()的單調遞增區(qū)間是(4,+∞)，
故選D.
點睛：形如的函數(shù)為,的復合函數(shù)，為內層函數(shù),為外層函數(shù).
當內層函數(shù)單增，外層函數(shù)單增時，函數(shù)也單增；
當內層函數(shù)單增，外層函數(shù)單減時，函數(shù)也單減；
當內層函數(shù)單減，外層函數(shù)單增時，函數(shù)也單減；
當內層函數(shù)單減，外層函數(shù)單減時，函數(shù)也單增.
簡稱為“同增異減”.
15．（2016·天津·高考真題）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞增，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意得，故選C
【考點】利用函數(shù)性質解不等式
【名師點睛】不等式中的數(shù)形結合問題，在解題時既要想形又要以形助數(shù)，常見的“以形助數(shù)”的方法有：
（1）借助數(shù)軸，運用數(shù)軸的有關概念，解決與絕對值有關的問題，解決數(shù)集的交、并、補運算非常有效．
（2）借助函數(shù)圖象性質，利用函數(shù)圖象分析問題和解決問題是數(shù)形結合的基本方法，需注意的問題是準確把握代數(shù)式的幾何意義實現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉化．
16．（2015·湖南·高考真題）設函數(shù)，則是
A．奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)
C．偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)
【答案】A
【詳解】試題分析：由題意得，函數(shù)的定義域為，解得，
又，所以函數(shù)的奇函數(shù)，
由，令，又由，則
，即，所以函數(shù)為單調遞增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在上增函數(shù)，故選A.
考點：函數(shù)的單調性與奇偶性的應用.
【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的單調性與奇偶性的應用，其中解答中涉及到函數(shù)的奇偶性的判定、函數(shù)的單調性的判定與應用、復合函數(shù)的單調性的判定等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，本題的解答中確定函數(shù)的定義域是解答的一個易錯點，屬于基礎題.
17．（2015·全國·高考真題）設函數(shù),則使成立的的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：，定義域為，∵，∴函數(shù)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)單調遞增，根據(jù)偶函數(shù)性質可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.
考點：抽象函數(shù)的不等式.
【思路點晴】本題考查了偶函數(shù)的性質和利用偶函數(shù)圖象的特點解決實際問題，屬于基礎題型，應牢記．根據(jù)函數(shù)的表達式可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的性質判斷函數(shù)在大于零的單調性為遞增，根據(jù)偶函數(shù)關于原點對稱可知，距離原點越遠的點，函數(shù)值越大，把可轉化為，解絕對值不等式即可．
考點04 函數(shù)的奇偶性及其應用
1．（2024·天津·高考真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.
【詳解】對A，設，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；
對B，設，函數(shù)定義域為，
且，則為偶函數(shù)，故B正確；
對C，設，函數(shù)定義域為，不關于原點對稱， 則不是偶函數(shù)，故C錯誤；
對D，設，函數(shù)定義域為，因為，，
則，則不是偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：B.
2．（2024·上海·高考真題）已知，，且是奇函數(shù)，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質可求參數(shù).
【詳解】因為是奇函數(shù)，故即，
故，
故答案為：.
3．（2023·全國甲卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2
【分析】利用偶函數(shù)的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數(shù)，
所以.
故答案為：2.
4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.
【詳解】因為 為偶函數(shù)，則 ，解得，
當時，，，解得或，
則其定義域為或，關于原點對稱.
，
故此時為偶函數(shù).
故選：B.
6．（2022·全國乙卷·高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關于原點對稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關于原點對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內滿足，符合題意．
故答案為：；．
7．（2021·全國甲卷·高考真題）設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系即可求得的值.
【詳解】由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系式，靈活利用所給的條件進行轉化是解決本題的關鍵.
8．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù) ．
①；②當時，；③是奇函數(shù)．
【答案】（答案不唯一，均滿足）
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質可得所求的.
【詳解】取，則，滿足①，
，時有，滿足②，
的定義域為，
又，故是奇函數(shù)，滿足③.
故答案為：（答案不唯一，均滿足）
9．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則 .
【答案】1
【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.
【詳解】因為，故，
因為為偶函數(shù)，故，
時，整理得到，
故，
故答案為：1
10．（2021·全國乙卷·高考真題）設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.
【詳解】由題意可得，
對于A，不是奇函數(shù)；
對于B，是奇函數(shù)；
對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；
對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).
故選：B
【點睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.
11．（2020·山東·高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調性，得到函數(shù)在相應區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉化為對應自變量不等式，最后求并集得結果.
【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調遞減，且，
所以在上也是單調遞減，且，，
所以當時，，當時，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以滿足的的取值范圍是，
故選：D.
【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.
12．（2020·全國·高考真題）設函數(shù)，則f(x)（ ）
A．是偶函數(shù)，且在單調遞增B．是奇函數(shù)，且在單調遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調遞增D．是奇函數(shù)，且在單調遞減
【答案】D
【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當時，利用函數(shù)單調性的性質可判斷出單調遞增，排除B；當時，利用復合函數(shù)單調性可判斷出單調遞減，從而得到結果.
【詳解】由得定義域為，關于坐標原點對稱，
又，
為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；
當時，，
在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，排除B；
當時，，
在上單調遞減，在定義域內單調遞增，
根據(jù)復合函數(shù)單調性可知：在上單調遞減，D正確.
故選：D.
【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前提下，根據(jù)與的關系得到結論；判斷單調性的關鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調性的性質和復合函數(shù)“同增異減”性得到結論.
13．（2019·北京·高考真題）設函數(shù)f（x）=csx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)定義域為R的函數(shù)為偶函數(shù)等價于進行判斷.
【詳解】 時，, 為偶函數(shù)；
為偶函數(shù)時，對任意的恒成立，

，得對任意的恒成立，從而.從而“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.
【點睛】本題較易，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.
14．（2019·全國·高考真題）設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=，則當x

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