近十年（2015-2024）高考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編專題22概率統(tǒng)計(jì)及數(shù)字特征大題綜合（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)01 獨(dú)立性檢驗(yàn)為載體及其應(yīng)用
1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：
(1)填寫如下列聯(lián)表：
能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？
(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（）
附：
【答案】(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算，并與臨界值對(duì)比分析；
（2）用頻率估計(jì)概率可得，根據(jù)題意計(jì)算，結(jié)合題意分析判斷.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：
可得，
因?yàn)椋?br>所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.
（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為，
用頻率估計(jì)概率可得，
又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，
則，
可知，
所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.
2．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.
(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：
對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?br>15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?br>7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
附：
【答案】(1)分布列見解析，
(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能
【分析】（1）利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；
（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.
【詳解】（1）依題意，的可能取值為，
則，，，
所以的分布列為：
故.
（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，
所以，
故列聯(lián)表為：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.
3．（2022·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．
附，
【答案】(1)答案見解析
(2)（i）證明見解析；(ii)；
【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i) 根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.
【詳解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.
（2）(i)因?yàn)椋?br>所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
4．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：
(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；
(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？
附：，
【答案】(1)A，B兩家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為，
(2)有
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算，再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.
【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，
設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，
則；
B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，
設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，
則.
A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；
B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.
（2）列聯(lián)表
=，
根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).
5．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：
（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?
（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?
附：
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【分析】根據(jù)給出公式計(jì)算即可
【詳解】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為,
乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為.
（2）,
故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
6．（2020·海南·高考真題）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：
（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？
附：，
【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；
（3）計(jì)算出，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.
【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，
所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；
（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：
（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得
，
因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).
【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.
7．（2020·山東·高考真題）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：
（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？
附：，
【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；
（3）計(jì)算出，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.
【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，
所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；
（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：
（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得
，
因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).
【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.
8．（2020·全國(guó)·高考真題）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：
（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？
附：，
【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為、、、的概率分別為、、、；（2）；（3）有，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計(jì)算出該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為、、、的概率；
（2）利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結(jié)果；
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測(cè)值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.
【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為；
（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為
（3）列聯(lián)表如下：
，
因此，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).
【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.
9．（2017·全國(guó)·高考真題）（2017新課標(biāo)全國(guó)II理科）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）．其頻率分布直方圖如下：

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計(jì)A的概率；
(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）．
附：，
【答案】(1)；
(2)列聯(lián)表見解析，有；
(3).
【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率公式即可求得事件A的概率估計(jì)值.
（2）寫出列聯(lián)表計(jì)算的觀測(cè)值，即可確定有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).
（3）結(jié)合頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)為．
【詳解】（1）記表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” ，表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于” ，
舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于的頻率為，
即的估計(jì)值為0.62，
新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于的頻率為，
即的估計(jì)值為0.66，
因此事件A的概率估計(jì)值為.
（2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：
，
所以有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).
（3）因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為
，
箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為，
所以新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為.
考點(diǎn)02 線性回歸直線方程為載體及其應(yīng)用
1．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
并計(jì)算得．
(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
附：相關(guān)系數(shù)．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；
（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值
據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，
平均一棵的材積量為
（2）
則
（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得，解之得．
則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為
2．（2020·全國(guó)·高考真題）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.
（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；
（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.
附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.
【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析
【分析】（1）利用野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；
（2）利用公式計(jì)算即可；
（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.
【詳解】（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，
地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為
（2）樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為
（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，
由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，
采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，
從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).
【點(diǎn)晴】本題主要考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
3．（2018·全國(guó)·高考真題）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．
為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：．
（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；
（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由．
【答案】（1）利用模型①預(yù)測(cè)值為226.1，利用模型②預(yù)測(cè)值為256.5，（2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．
【詳解】分析：（1）兩個(gè)回歸直線方程中無(wú)參數(shù)，所以分別求自變量為2018時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，就得結(jié)果;（2）根據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個(gè)有明顯區(qū)別的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預(yù)測(cè).
詳解：（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為
=–30.4+13.5×19=226.1（億元）．
利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為
=99+17.5×9=256.5（億元）．
（2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．
理由如下：
（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)．2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．
（ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．
點(diǎn)睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預(yù)測(cè)值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點(diǎn)求參數(shù).
4．（2017·全國(guó)·高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.
（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；
（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；
（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：
經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，.
用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）.
附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.
【答案】（1），（2）（ⅰ）見詳解；（ⅱ）需要. ,
【分析】（1）依題知一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率，可知尺寸在之外的概率為0.0026，而，進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望.
（2）（i）判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；
（ii）計(jì)算，剔除之外的數(shù)據(jù)，算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計(jì)值，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計(jì)值.
【詳解】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，
從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，
故.
因此.
的數(shù)學(xué)期望為.
（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，
一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.
因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程
可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，
可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，
由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，
因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
剔除之外的數(shù)據(jù)，
剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
因此的估計(jì)值為.
，
剔除之外的數(shù)據(jù)，
剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，
因此的估計(jì)值為.
【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，正態(tài)分布是一種重要的分布，尤其是正態(tài)分布的原則，審清題意，細(xì)心計(jì)算，屬中檔題.
5．（2017·全國(guó)·高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：）．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：
經(jīng)計(jì)算得，，
，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，．
（1）求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小（若，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小）．
（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．
（?。倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？
（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．（精確到）附：樣本的相關(guān)系數(shù)
，．
【答案】（1）可以；（2）（?。┬枰唬áⅲ?，.
【分析】（1）依公式求；
（2）（i）由，得抽取的第13個(gè)零件的尺寸在以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查；（ii）剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，則均值的估計(jì)值為10.02，方差為0.09．
【詳解】（1）由樣本數(shù)據(jù)得的相關(guān)系數(shù)為
.
由于，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.
（2）（i）由于，
由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在以外，
因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
（ii）剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，
剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02.
，
剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為
，
這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為.
【點(diǎn)睛】解答新穎的數(shù)學(xué)題時(shí)，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，以“新”制“新”，應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)．
6．（2016·全國(guó)·高考真題）下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；
（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.
附注：
參考數(shù)據(jù)：，，
，≈2.646.
參考公式：相關(guān)系數(shù)
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式求出相關(guān)數(shù)據(jù)后，代入公式即可求得的值，最后根據(jù)值的大小回答即可；（Ⅱ）準(zhǔn)確求得相關(guān)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法建立y關(guān)于t的回歸方程，然后預(yù)測(cè)．
試題解析：（Ⅰ）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得
，，，
，
.
因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，關(guān)于的回歸方程為：.
將2016年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得：.
所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約1.82億噸.
【考點(diǎn)】線性相關(guān)系數(shù)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用．
【方法點(diǎn)撥】（1）判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：（1）利用散點(diǎn)圖直觀判斷；（2）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出，然后根據(jù)的大小進(jìn)行判斷．求線性回歸方程時(shí)要嚴(yán)格按照公式求解，并一定要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．
7．（2015·重慶·高考真題）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng).設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款（年底余額）如下表：

（Ⅰ）求y關(guān)于t的回歸方程
（Ⅱ）用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年（）的人民幣儲(chǔ)蓄存款.
附：回歸方程中
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）千億元.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）列表分別計(jì)算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，從而就可得到回歸方程，
（Ⅱ）將代入回歸方程可預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款．
試題解析：（1）列表計(jì)算如下
這里
又
從而.
故所求回歸方程為.
（2）將代入回歸方程可預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為
考點(diǎn)：線性回歸方程.
考點(diǎn)03 賽事類（分配類）的分布列及期望方差
1．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率．
(2)假設(shè)，
（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？
【答案】(1)
(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；
【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自計(jì)算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計(jì)算出各自期望，再次作差比較大小即可.
【詳解】（1）甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，
比賽成績(jī)不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，
若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為，
，
，
，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.
(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，
，
，
，
，
記乙先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，
同理
，
因?yàn)?，則，，
則，
應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是計(jì)算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關(guān)系，最后得到結(jié)論.
2．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；
（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；
（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．
【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設(shè)，依題可知，，則
，
即，
構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即．
（3）因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，
故．
【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．
3．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；
（2）依題可知，的可能取值為，再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．
【詳解】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為
．
（2）依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為
期望.
4．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由頻率估計(jì)概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.
(3) 計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.
【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得
甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，
故答案為0.4
（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
∴
（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.
因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.
5．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無(wú)關(guān).
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）類．
【分析】（1）通過題意分析出小明累計(jì)得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可．
【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以的分布列為
（2）由（1）知，．
若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以．
因?yàn)椋孕∶鲬?yīng)選擇先回答類問題．
6．（2020·全國(guó)·高考真題）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；
（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場(chǎng)”的概率；
（2）計(jì)算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出甲贏的概率，由對(duì)稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對(duì)立事件的概率可求得丙贏的概率.
【詳解】（1）記事件甲連勝四場(chǎng)，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為
，
所以，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為；
（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
記事件甲贏，記事件丙贏，
則甲贏的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲贏的概率為.
由對(duì)稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
所以丙贏的概率為.
【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
7．（2019·天津·高考真題）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.
（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項(xiàng)分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；
(Ⅱ)由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.
【詳解】(Ⅰ)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率均為，
故，從面.
所以，隨機(jī)變量的分布列為：
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.
(Ⅱ)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.
且.
由題意知事件與互斥，
且事件與，事件與均相互獨(dú)立，
從而由(Ⅰ)知：
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.
8．（2019·全國(guó)·高考真題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
【答案】（1）；（2）0.1
【分析】(1)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；
(2)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果．
【詳解】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”
所以
(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”
所以
【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題．
9．（2017·山東·高考真題）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.
【答案】（1）（2）見解析
【詳解】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計(jì)算即得
(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計(jì)算公式
得X的分布列為
進(jìn)一步計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望.
試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則
(II)由題意知X可取的值為：.則
因此X的分布列為
X的數(shù)學(xué)期望是
=
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計(jì)算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等.
10．（2016·山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：
（Ⅰ）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；
（Ⅱ）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，
【詳解】試題分析：（Ⅰ）找出“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)所包含的基本事件，由獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得到的分布列，根據(jù)期望公式求解.
試題解析：
（Ⅰ）記事件A:“甲第一輪猜對(duì)”，記事件B：“乙第一輪猜對(duì)”，
記事件C：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件D：“乙第二輪猜對(duì)”，
記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”.
由題意，
由事件的獨(dú)立性與互斥性，
,
所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為.
（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.
由事件的獨(dú)立性與互斥性，得
,
,
,
,
,
.
可得隨機(jī)變量的分布列為

所以數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)】獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和數(shù)學(xué)期望
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等.
11．（2016·天津·高考真題）邗江中學(xué)高二年級(jí)某班某小組共10人，利用寒假參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為2，4，4．現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會(huì)．
（1）記“選出2人參加義工活動(dòng)的次數(shù)之和為4”為事件，求事件發(fā)生的概率；
（2）設(shè)為選出2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）（2）.
【分析】（1）由已知得，即可得到事件的概率.（2）由題意得，得到隨機(jī)變量的所有可能取值，利用組合知識(shí)，結(jié)合古典概型概率公式求得隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率，即可得到隨機(jī)變量的分布列，利用期望公式計(jì)算其數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由已知得.所以事件發(fā)生的概率為.
（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2
計(jì)算，
，
；
所以隨機(jī)變量的分布列為：
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型概率公式的應(yīng)用及隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題. 求解數(shù)學(xué)期望問題，首先要正確理解題意，其次要準(zhǔn)確無(wú)誤的找出隨機(jī)變量的所有可能值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計(jì)算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計(jì)算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).
12．（2015·重慶·高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有個(gè)粽子，其中豆沙粽個(gè)，肉粽個(gè)，白粽個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取個(gè)．
（）求三種粽子各取到個(gè)的概率．
（）設(shè)表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1) ;(2)見解析.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（Ⅱ）隨機(jī)變量X的取值為：0，1，2，別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望
試題解析：（1）令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，由古典概型的概率計(jì)算公式有
P（A）＝＝.
（2）X的可能取值為0,1,2，且
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝
綜上知，X的分布列為：
故E（X）＝0×＋1×＋2×＝（個(gè)）
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式
13．（2015·天津·高考真題）為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.
（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件發(fā)生的概率；
（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（Ⅰ）由已知，有
所以事件發(fā)生的概率為.
（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值為
所以隨機(jī)變量的分布列為

所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
考點(diǎn)：古典概型、互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
14．（2015·湖南·高考真題）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).
（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）詳分布列見解析，.
【分析】（1）記事件｛從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝，｛從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝
｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)｝，｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)｝，｛顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)｝，則可知與相互獨(dú)立，與互斥，與互斥，且，，，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析題意可知，分別求得；；；，即可知的概率分布及其期望.
【詳解】（1）記事件｛從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝，
｛從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝，
｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)｝，
｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)｝，
｛顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)｝，
由題意，與相互獨(dú)立，與互斥，與互斥，
且，，，
∵，，
∴，
，
故所求概率為；
（2）顧客抽獎(jiǎng)3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由（1）知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，
∴，
于是；
；
；
，
故的分布列為
的數(shù)學(xué)期望為.
考點(diǎn)：1.概率的加法公式；2.離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計(jì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，這一直都是高考命題的熱點(diǎn)，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問題向現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化，并且與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系越來(lái)越密切，與統(tǒng)計(jì)中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)綜合的試題逐漸增多，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.
15．（2015·安徽·高考真題）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.
（Ⅰ）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【詳解】試題分析：（1）求古典概型概率，先確定兩次檢測(cè)基本事件個(gè)數(shù)：，再確定第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的基本事件個(gè)數(shù)，從而得所求事件概率為（2）先確定隨機(jī)變量：最少兩次（兩次皆為次品），最多四次（前三次兩次正品，一次次品），三次情況較多，可利用補(bǔ)集求其概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望
試題解析：解:（Ⅰ）記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件，
（Ⅱ）的可能取值為200,300,400
（或）
故的分布列為

考點(diǎn)：1.古典概型概率；2.分布列和數(shù)學(xué)期望.
【方法點(diǎn)睛】（1）求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：一是明確隨機(jī)變量的取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；二是求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確；（3）求解離散隨機(jī)變量分布列和方差，首先要理解問題的關(guān)鍵，其次要準(zhǔn)確無(wú)誤的找出隨機(jī)變量的所有可能值，計(jì)算出相對(duì)應(yīng)的概率，寫成隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算.
16．（2015·福建·高考真題）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.
（Ⅰ）求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；
（Ⅱ）設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，期望為．
【詳解】（Ⅰ）設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，
則
（Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3
又
所以X的分布列為
所以．
考點(diǎn)：1、古典概型；2、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望．
考點(diǎn)04 其他類型的分布列及期望方差
1．（2024·北京·高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬(wàn)元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬(wàn)元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.
(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；
(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大小．（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)(i)0.122萬(wàn)元；(ii) 這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值大于（i）中估計(jì)值
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;
（2）（ⅰ）設(shè)為賠付金額，則可取，用頻率估計(jì)概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求.
（ⅱ）先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求，從而即可比較大小得解.
【詳解】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，
由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.
（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，
由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，
，，
，
故
故（萬(wàn)元）.
（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，
故（萬(wàn)元），
從而.
2．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；
（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；
（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．
【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設(shè)，依題可知，，則
，
即，
構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即．
（3）因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，
故．
【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．
3．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中, “k合1” 混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.
現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.
（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的
分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)
【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．
【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；
②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出，即可得解.
【詳解】（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；
所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；
②由題意，可以取20，30，
，，
則的分布列:
所以；
（2）由題意，可以取25，30，
兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，
則.
4．（2020·江蘇·高考真題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用 n表示) ．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）直接根據(jù)操作，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果；
（2）根據(jù)操作，依次求，即得遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列求得，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.
【詳解】（1），
，
.
（2），
，
因此，
從而，
即.
又的分布列為
故.
【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)學(xué)期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.
5．（2019·北京·高考真題）改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)見解析；
(Ⅲ)見解析.
【分析】(Ⅰ)由題意利用古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值；
(Ⅱ)首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.
(Ⅲ)由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.
【詳解】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則：
該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率.
(Ⅱ)由題意可知，
僅使用A支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，
僅使用B支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，
且X可能的取值為0,1,2.
，，，
X的分布列為：
其數(shù)學(xué)期望：.
(Ⅲ)我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：
隨機(jī)事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生是隨機(jī)的，是不能預(yù)知的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率．
學(xué)校是一個(gè)相對(duì)消費(fèi)穩(wěn)定的地方，每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況每個(gè)月的消費(fèi)應(yīng)該相對(duì)固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.
（答案不唯一，小概率事件發(fā)生也可認(rèn)為是人數(shù)發(fā)生了變化）
【點(diǎn)睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來(lái)設(shè)置問題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，考查概率的定義和分布列的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān).
6．（2018·北京·高考真題）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：
好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．
假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．
（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；
（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；
（Ⅲ）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關(guān)系．
【答案】(1) 概率為0.025
(2) 概率估計(jì)為0.35
(3) >>=>>
【詳解】分析：(1)先根據(jù)頻數(shù)計(jì)算是第四類電影的頻率，再乘以第四類電影好評(píng)率得所求概率，(2) 恰有1部獲得好評(píng)為第四類電影獲得好評(píng)第五類電影沒獲得好評(píng)和第四類電影沒獲得好評(píng)第五類電影獲得好評(píng)這兩個(gè)互斥事件，先利用獨(dú)立事件概率乘法公式分別求兩個(gè)互斥事件的概率，再相加得結(jié)果，(3) 服從0-1分布，因此，即得>>=>>．
詳解：解：（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，
第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50．
故所求概率為．
（Ⅱ）設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，
事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”．
故所求概率為P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由題意知：P（A）估計(jì)為0.25，P（B）估計(jì)為0.2．
故所求概率估計(jì)為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
點(diǎn)睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，獨(dú)立事件概率乘法公式:若A,B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B).
7．（2018·全國(guó)·高考真題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．
（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；
（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．
（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;
（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).
【分析】（1）方法一：利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，求得，之后對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注意的條件；
（2）方法一：先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時(shí)候,先求件數(shù)對(duì)應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解（ii）的時(shí)候，就通過比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)果.
【詳解】（1）［方法一］：【通性通法】利用導(dǎo)數(shù)求最值
件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.
因此.
令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以的最大值點(diǎn)為；
［方法二］：【最優(yōu)解】均值不等式
由題可知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為．
，當(dāng)且僅當(dāng)，即可得所求．
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.
（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.
由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：利用導(dǎo)數(shù)求最值，是求函數(shù)最值的通性通法；
方法二：根據(jù)所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本題的最優(yōu)解．
8．（2017·全國(guó)·高考真題）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?
【答案】（1）詳見解析；（2）.
【分析】（1）由題意知的可能取值為200，300，500，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列．
（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，只需考慮，根據(jù)和分類討論．
【詳解】
解：（1）由題意知，所有的可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知
的分布列為
（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮
當(dāng)時(shí)，若最高氣溫不低于25，則2n；
若最高氣溫位于區(qū)間，則1200-2n；
若最高氣溫低于20，則=800-2n
因此
當(dāng)00時(shí)，若最高氣溫不低于20，則2n，
若最高氣溫低于20，則=800-2n，
因此160+1.2n
所以時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元．
9．（2017·江蘇·高考真題）已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球，n個(gè)黑球（m,n ,n 2）,這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3，……，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取球放入編號(hào)為k的抽屜（k=1,2,3，……，m+n）.
（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;
（2）隨機(jī)變量x表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E(x)是x的數(shù)學(xué)期望，證明
【答案】（1）（2）見解析
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件先確定總事件數(shù)為，而編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的事件數(shù)為，最后根據(jù)古典概型的概率公式即可求概率；（2）先確定最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)為，所對(duì)應(yīng)的概率，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得，利用性質(zhì)，進(jìn)行放縮變形：，最后利用組合數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)，可得結(jié)論．
試題解析：解:(1) 編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為: .
(2) 隨機(jī)變量 X 的概率分布為:
隨機(jī)變量 X 的期望為：
.
所以
.
點(diǎn)睛:求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：
（1）“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；
（2）“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；
（3）“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；
（4）“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度．
10．（2016·全國(guó)·高考真題）某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．
（1）求X的分布列；
（2）若要求，確定n的最小值；
（3）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？
【答案】（1）見解析.
（2）見解析.
（3）見解析.
【分析】（1）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能確定滿足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）購(gòu)買零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用，分別求出n=19時(shí)，費(fèi)用的期望和當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望，從而得到買19個(gè)更合適．
【詳解】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0．2，0．4，0．2，0．2，從而
；
；
；
；
；
；
．
所以的分布列為
（2）由（1）知，，故的最小值為19．
（3）購(gòu)買零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用.
當(dāng)n=19時(shí)，費(fèi)用的期望為：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；
當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望為：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.
可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選．
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列
11．（2015·山東·高考真題）若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等)．
在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；
(2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．
【答案】(1) 125，135，145，235，245，345；(2) .
【詳解】（1）個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有：125，135，145，235，245，345；
（2）由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為
隨機(jī)變量X的取值為：0，-1，1，因此
,,
所以X的分布列為
因此.
考點(diǎn)05 條件概率、全概率公式、貝葉斯公式
1．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；
（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；
（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．
【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設(shè)，依題可知，，則
，
即，
構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即．
（3）因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，
故．
【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．
2．（2022·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值．
附，
【答案】(1)答案見解析
(2)（i）證明見解析；(ii)；
【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i) 根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.
【詳解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.
（2）(i)因?yàn)椋?br>所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
3．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【答案】(1)歲；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【詳解】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
考點(diǎn)06 求解數(shù)字樣本特征及應(yīng)用
1．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗(yàn)結(jié)果如下：
記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．
(1)求，；
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）
【答案】(1)，；
(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出，再得到所有的值，最后計(jì)算出方差即可；
（2）根據(jù)公式計(jì)算出的值，和比較大小即可.
【詳解】（1），
，
，
的值分別為: ，
故
（2）由（1）知:，，故有,
所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
2．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．
（1）求，，，；
（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．
【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.
（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.
【詳解】（1），
，
，
.
（2）依題意，，，
，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
3．（2015·廣東·高考真題）某工廠36名工人年齡數(shù)據(jù)如圖：
（1）用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；
（2）計(jì)算（1）中樣本的均值和方差s2；
（3）36名工人中年齡在﹣s和+s之間有多少人？所占百分比是多少（精確到0.01%）？
【答案】（1）44，40，36，43，36，37，44，43，37．
（2）平均值40；方差：
（3）23人．63.89%．
【詳解】試題分析：（1）利用系統(tǒng)抽樣的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)均值和方差公式即可計(jì)算（1）中樣本的均值和方差s2；
（3）求出樣本和方差即可得到結(jié)論．
解：（1）由系統(tǒng)抽樣知，36人分成9組，每組4人，其中第一組的工人年齡為44，所以其編號(hào)為2，
∴所有樣本數(shù)據(jù)的編號(hào)為：4n﹣2，（n=1，2，…，9），
其數(shù)據(jù)為：44，40，36，43，36，37，44，43，37．
（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．
由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．
（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），
∴36名工人中年齡在﹣s和+s之間的人數(shù)等于區(qū)間[37，43]的人數(shù)，
即40，40，41，…，39，共23人．
∴36名工人中年齡在﹣s和+s之間所占百分比為≈63.89%．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查統(tǒng)計(jì)和分層抽樣的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．
考點(diǎn)07 概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用與決策問題
1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：
(1)填寫如下列聯(lián)表：
能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？
(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（）
附：
【答案】(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算，并與臨界值對(duì)比分析；
（2）用頻率估計(jì)概率可得，根據(jù)題意計(jì)算，結(jié)合題意分析判斷.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：
可得，
因?yàn)椋?br>所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.
（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為，
用頻率估計(jì)概率可得，
又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，
則，
可知，
所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.
2．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
【答案】(1)，；
(2)，最小值為．
【分析】（1）根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出，再根據(jù)第二個(gè)圖求出的矩形面積即可解出；
（2）根據(jù)題意確定分段點(diǎn)，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．
【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，
所以，解得：，
．
（2）當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
,
故，
所以在區(qū)間的最小值為．
3．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．
用頻率估計(jì)概率．
(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；
(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)
(3)不變
【分析】（1）計(jì)算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進(jìn)行計(jì)算；
（2）分別計(jì)算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進(jìn)行計(jì)算；
（3）通過統(tǒng)計(jì)表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進(jìn)行推斷第天的情況.
【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個(gè)，也就是有天是上漲的，
根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：
（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，
于是未來(lái)任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是
（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，
因此估計(jì)第次不變的概率最大.
4．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．
（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）,（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；
（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果；
（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得大小.
【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，
該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;
（Ⅲ）
【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
5．（2020·全國(guó)·高考真題）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；
（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?
【答案】（1）甲分廠加工出來(lái)的級(jí)品的概率為，乙分廠加工出來(lái)的級(jí)品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出；
（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)，即可求出平均利潤(rùn)，由此作出選擇．
【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為，乙廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為；
（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為元，
所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為元每件；
乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為
元，
所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為元每件．
故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題．
6．（2019·北京·高考真題）改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)見解析；
(Ⅲ)見解析.
【分析】(Ⅰ)由題意利用古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值；
(Ⅱ)首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.
(Ⅲ)由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.
【詳解】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則：
該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率.
(Ⅱ)由題意可知，
僅使用A支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，
僅使用B支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，
且X可能的取值為0,1,2.
，，，
X的分布列為：
其數(shù)學(xué)期望：.
(Ⅲ)我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：
隨機(jī)事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生是隨機(jī)的，是不能預(yù)知的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率．
學(xué)校是一個(gè)相對(duì)消費(fèi)穩(wěn)定的地方，每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況每個(gè)月的消費(fèi)應(yīng)該相對(duì)固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.
（答案不唯一，小概率事件發(fā)生也可認(rèn)為是人數(shù)發(fā)生了變化）
【點(diǎn)睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來(lái)設(shè)置問題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，考查概率的定義和分布列的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān).
7．（2019·全國(guó)·高考真題）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：
記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.
（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；
（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.
【答案】(1) ，；(2) ，.
【分析】(1)由及頻率和為1可解得和的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù).
【詳解】(1)由題得，解得，由，解得.
(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為，
乙離子殘留百分比的平均值為
【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
8．（2018·全國(guó)·高考真題）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：）和使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：
未使用節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表
使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表
（1）作出使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
（2）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率；
（3）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表．）
【答案】（1）直方圖見解析；（2）；（3）.
【分析】（1）根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表，算出落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，借助于直方圖中長(zhǎng)方形的面積表示的就是落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，從而確定出對(duì)應(yīng)矩形的高，從而得到直方圖；
（2）結(jié)合直方圖，算出日用水量小于的矩形的面積總和，即為所求的頻率；
（3）根據(jù)組中值乘以相應(yīng)的頻率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能節(jié)約用水多少，從而求得結(jié)果.
【詳解】（1）頻率分布直方圖如下圖所示：
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后天日用水量小于的頻率為
；
因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于的概率的估計(jì)值為；
（3）該家庭未使用節(jié)水龍頭天日用水量的平均數(shù)為
．
該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為．
估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水．
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)統(tǒng)計(jì)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有頻率分布直方圖的繪制、利用頻率分布直方圖計(jì)算變量落在相應(yīng)區(qū)間上的概率、利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，在解題的過程中，需要認(rèn)真審題，細(xì)心運(yùn)算，仔細(xì)求解，就可以得出正確結(jié)果.
9．（2017·北京·高考真題）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.

（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；
（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；
（Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）
【答案】（1）0.3（2）見解析（3）服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.
【詳解】（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，
所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為.
（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值為0,1,2.
.
所以的分布列為
故的期望.
（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.
【名師點(diǎn)睛】求分布列的三種方法：
（1）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列；
（2）由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列；
（3）由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列．
10．（2016·四川·高考真題）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照,分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求直方圖中的值；
（2）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；
（3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由.
【答案】（1）；（2）萬(wàn)；（3）.
【詳解】試題分析：本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力. 第（1）問，由高×組距=頻率，計(jì)算每組的頻率，根據(jù)所有頻率之和為1，計(jì)算出a的值；第（2）問，利用高×組距=頻率，先計(jì)算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率×樣本容量=頻數(shù)，計(jì)算所求人數(shù)；第（3）問，將前6組的頻率之和與前5組的頻率之和進(jìn)行比較，得出2.5≤x0.85，
而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73

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