（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義）
考點01 數(shù)列新定義
小題
1．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）設正整數(shù)，其中，記．則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·全國新Ⅱ卷·高考真題）0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（ ）
A．B．C．D．
大題
1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）設m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．
(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；
(2)當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；
(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．
2．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．
(1)給定數(shù)列和序列，寫出；
(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．
3．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)證明：存在，滿足 使得．
4．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
5．（2021·北京·高考真題）設p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；
（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；
（3）設數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．
6．（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：
①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；
②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．
(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；
(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；
(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.
7．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．
（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；
（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；
（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，
8．（2019·江蘇·高考真題）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.
（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．
①求數(shù)列{bn}的通項公式；
②設m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．
9．（2018·江蘇·高考真題）設，對1，2，···，n的一個排列，如果當s k) 總成立，則稱數(shù)列{an} 是“P(k)數(shù)列”.
(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；
（2）若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.
12．（2016·江蘇·高考真題）記.對數(shù)列和的子集，若，定義；若，定義.例如：時，.現(xiàn)設是公比為3的等比數(shù)列，且當時，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；
（3）設，求證：.
13．（2016·北京·高考真題）設數(shù)列A： ， ,… ().如果對小于()的每個正整數(shù)都有 ＜ ，則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合.
（1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；
（2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則 ；
（3）證明：若數(shù)列A滿足- ≤1（n=2,3, …,N）,則的元素個數(shù)不小于 -.
14．（2016·上?！じ呖颊骖}）若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).
（1）若具有性質(zhì)，且，，求；
（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（3）設是無窮數(shù)列，已知.求證：“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.
15．（2016·上?！じ呖颊骖}）對于無窮數(shù)列{}與{}，記A={|=，}，B={|=，}，若同時滿足條件：①{}，{}均單調(diào)遞增；②且，則稱{}與{}是無窮互補數(shù)列．
（1）若=，=，判斷{}與{}是否為無窮互補數(shù)列，并說明理由；
（2）若=且{}與{}是無窮互補數(shù)列，求數(shù)列{}的前16項的和；
（3）若{}與{}是無窮互補數(shù)列，{}為等差數(shù)列且=36，求{}與{}得通項公式．
16．（2015·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足：，，且．記
集合．
（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；
（Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值．
考點02 函數(shù)新定義
小題
1．（2015·湖北·高考真題）已知符號函數(shù) 是上的增函數(shù)，，則
A．B．
C．D．
2．（2015·福建·高考真題）一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第 位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）
已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗方程組：
其中運算 定義為： ．
現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定 等于 ．
大題
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）對于一個函數(shù)和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．
(1)對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；
(2)對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；
(3)已知在定義域R上存在導函數(shù)，且函數(shù) 在定義域R上恒正，設點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調(diào)性．
2．（2020·江蘇·高考真題）已知關于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．
（1）若，求h(x)的表達式；
（2）若，求k的取值范圍；
（3）若求證：．
3．（2018·江蘇·高考真題）記分別為函數(shù)的導函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．
（1）證明：函數(shù)與不存在“點”；
（2）若函數(shù)與存在“點”，求實數(shù)的值；
（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點”，并說明理由．
考點03 集合新定義
小題
1．（2020·浙江·高考真題）設集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：
①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②對于任意x，yT，若x

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