一、單選題
1．橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍，則的值為（ ）
A．B．
C．2D．4
2．設圓，圓，則圓的位置關系（ ）
A．內(nèi)含B．外切C．相交D．相離
3．用1，2，3，4可以組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．16B．24C．36D．48
4．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線l交C于A、B兩點，則的周長為（ ）
A．2B．4C．D．
5．直線與雙曲線交于不同的兩點，則斜率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知動圓C與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心C的軌跡方程為（ ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．雙曲線一支
7．一個工業(yè)凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是，在凹槽內(nèi)放入一個清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（ ）
A．B．1C．2D．
8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，O為坐標原點，傾斜角為的直線l過右焦點且與雙曲線的左支交于M點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知點P在圓上，點.則（ ）
A．點P到直線AB的距離小于10B．圓上到直線AB的距離等于1的點只有1個
C．當最小時，D．當最大時，
10．已知橢圓，分別為它的左右焦點，A，B分別為它的左右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（ ）
A．存在P使得B．橢圓C的弦MN被點平分，則
C．，則的面積為9D．直線PA與直線PB斜率乘積為定值
11．設M為雙曲線上一動點，為上下焦點，O為原點，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則或6
B．雙曲線C與雙曲線的離心率相同
C．若點，M在雙曲線C的上支，則最小值為
D．過的直線l交C于G、H不同兩點，若，則l有2條
12．已知拋物線的焦點到準線的距離為，過點的直線與拋物線交于、兩點，為線段的中點，為坐標原點，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則點到軸的距離為
B．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有條
C．是準線上一點，是直線與的一個交點，若，則
D．
三、填空題
13．以拋物線的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為 .
14．現(xiàn)有4名同學報名參加3個不同的課后服務小組，每人只能報一個小組，若每個小組至少要有1人參加，則共有 種不同的安排方法.
15．已知橢圓的左、右焦點分別是，AB是橢圓C的任意兩點，四邊形是平行四邊形，且，則橢圓C的離心率的最大值是 .
16．已知F是拋物線的焦點，P為拋物線上的動點，且點A的坐標為，則的最小值是 .
四、解答題
17．三角形三個頂點是
(1)求AB邊上的高所在直線的方程；
(2)直線l過點A，且B，C兩點到直線l的距離相等，求直線l的方程.
18．已知以為圓心的圓，過直線上一點作圓的切線，切線段（為切點）長的最小值為.
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓與圓相交于，兩點，求兩個圓公共弦AB的長.
19．如圖，在四棱錐中，平面，，，是棱上一點，且，.

(1)若，求證：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長.
20．已知橢圓焦距為，離心率為.
(1)求曲線的方程；
(2)過點作直線交曲線于、兩個不同的點，記的面積為，求的最大值.
21．已知拋物線上有兩點，且直線過點．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若拋物線上有一點，縱坐標為4，拋物線上另有兩點，且直線與的斜率滿足重心的橫坐標為4，求直線的方程．
22．已知雙曲線經(jīng)過點，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點.
(1)求雙曲線的方程.
(2)若動直線經(jīng)過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.
參考答案：
1．B
2．C
3．B
4．D
5．C
6．D
7．B
8．A
9．ACD
10．ABC
11．ABC
12．CD
13．
14．
15．
16．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）先根據(jù)兩點斜率公式求解斜率，再利用垂直關系求出高的斜率，代入點斜式化為一般式方程即可；
（2）設出直線方程，利用點到直線距離公式建立方程求解即可.
【詳解】（1）直線的斜率，
邊上的高與垂直，所以高所在的直線斜率為，
故AB邊上的高所在直線的方程為，即.
（2）易知直線斜率存在，設直線：，即.
因為B，C兩點到直線l的距離相等，所以，
化簡得，平方得，解得或，
所以直線的方程為或，即或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出圓心到直線，即可求出圓的半徑，從而得到圓的標準方程；
（2）首先判斷兩圓相交，兩圓方程相減即可得到公共弦方程，再求出弦長.
【詳解】（1）因為圓心到直線的距離，
設圓的半徑為，
又過直線上一點作圓的切線，切線段（為切點）長的最小值為，
所以，則圓的標準方程為.

（2）圓：的圓心，半徑，
圓的圓心為，半徑，
所以，則，所以兩圓相交，
則相交弦：，
則圓心到 距離，
所以.

19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于點，連接，證明出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；
（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法可得出關于的方程，結合求出的值，即可得解.
【詳解】（1）證明：連接交于點，連接，
因為，且，所以，，
又因為，則，所以，，
因為平面，平面，故平面.
（2）解：因為平面，，以點為坐標原點，
、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

因為，，則、、、，
設，其中，
則，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
由題意可得，
整理可得，解得，此時點為的中點，故.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由已知條件可得出關于、、的方程組，求出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）分析可知，直線直線與軸不重合，設直線的方程為，設點、，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用基本不等式可求出的最大值.
【詳解】（1）解：由題意可得，解得，
所以，橢圓的方程為.
（2）解：當直線與軸重合時，、、三點重合，不符合題意，
易知點，設直線的方程為，設點、，
聯(lián)立可得，
則，

由韋達定理可得，，
所以，
，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最大值為.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，再由，即可得到結果；
（2）根據(jù)題意，由三角形重心坐標公式結合，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）
由題意知直線的斜率不可能為0，
設，直線的方程為，
由得，，即，
即，即，
將代入，得，
則，則，
則，由，解得，
故所求拋物線的標準方程為．
（2）
由拋物線方程可得點坐標為，設，
則，
則，且，則，
故．又，
則，又，可得直線的中點坐標為，
故由點斜式得直線的方程為5），即．
22．(1)
(2)存在，使得以線段為直徑的圓恒過點
【分析】（1）由漸近線夾角得或，結合雙曲線所過點可求得，由此可得雙曲線方程；
（2）假設存在點滿足題意，可知；假設直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達定理的結論，結合向量數(shù)量積的坐標運算可化簡整理，根據(jù)等式恒成立的求解方法可得的值.
【詳解】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；
當時，由得：，，雙曲線的方程為：；
當時，方程無解；
綜上所述：雙曲線的方程為：.
（2）由題意得：，
假設存在定點滿足題意，則恒成立；
方法一：①當直線斜率存在時，設，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
當時，恒成立；
②當直線斜率不存在時，，則，，
當時，，，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點.
方法二：①當直線斜率為時，，則，，
，，，
，解得：；
②當直線斜率不為時，設，，，
由得：，，
，，
；
當，即時，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點.
【點睛】思路點睛：本題考查直線與圓錐曲線綜合應用中的定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定點.

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