1．如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是( )
A．①② B．②④
C．①③D．②③
2．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直線AB上B．直線BC上
C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部
3．已知圓錐SO的底面半徑為r，當(dāng)圓錐的體積為eq \f(\r(2),6)πr3時，該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為( )
A．eq \f(\r(3),3)B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(2),2)
4．在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，∠ABC＝eq \f(π,2)．若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為( )
A．4πB．10π
C．12πD．48π
5．(多選)已知α，β是空間兩個不同的平面，m，n是空間兩條不同的直線，則給出的下列說法中正確的是( )
A．m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β
B．m∥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥β
C．m⊥α，n⊥β，且m∥n，則α∥β
D．m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β
6．(多選)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，AC與EF交于點G，現(xiàn)沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么在這個空間圖形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面
C．EF⊥△AGH所在平面D．HG⊥△AEF所在平面
7．已知平面α，β和直線m，給出以下條件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m?α；(4)α⊥β；(5)α∥β，當(dāng)條件________成立時，有m∥β；當(dāng)條件________成立時，有m⊥β．(填所選條件的序號)
8．已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq \r(3)，那么P到平面ABC的距離為________．
9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．
(1)求證：PE⊥BC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求證：EF∥平面PCD．
10．(多選)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝eq \f(\r(2),2)，則下列結(jié)論中正確的有( )
A．當(dāng)E點運動時，A1C⊥AE總成立
B．當(dāng)E向D1運動時，二面角A-EF-B逐漸變小
C．二面角E-AB-C的最小值為45°
D．三棱錐A-BEF的體積為定值
11．圖①是建筑工地上的塔吊，圖②是根據(jù)圖①繪制的塔吊簡易直觀圖，點A，B，C在同一水平面內(nèi)．塔身PO⊥平面ABC，直線AO與BC的交點E是BC的中點，起重小車掛在線段AO上的D點，AB＝AC，DO＝6 m．若PO＝2 m，PB＝3 m，△ABC的面積為10 m2，根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，忽略△ABC自重對塔吊平衡的影響，在塔吊保持平衡的條件下可得點A，P之間的距離為(0．5OD＝1．5OE)( )
A．2eq \r(17) mB．6eq \r(2) m
C．8 mD．9 m
12．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)．
13．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥DQ，則a＝________．
14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝eq \r(3)，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，點M是AC與BD的交點，點N在線段PB上，且PN＝eq \f(1,4)PB．
(1)證明：MN∥平面PDC；
(2)在線段BC上是否存在一點Q，使得平面MNQ⊥平面PAD？若存在，求出點Q的位置；若不存在，請說明理由．
2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4-直線、平面垂直的判定與性質(zhì)-專項訓(xùn)練【解析版】
1．如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是( )
A．①② B．②④
C．①③D．②③
解析：B 對于①，易證AB與CE所成角為45°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于②，易證AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，則AB⊥平面CDE；對于③，易證AB與CE所成角為60°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于④，易證ED⊥平面ABC，則ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE．故選B．
2．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直線AB上B．直線BC上
C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部
解析：A 連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1．∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．
3．已知圓錐SO的底面半徑為r，當(dāng)圓錐的體積為eq \f(\r(2),6)πr3時，該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為( )
A．eq \f(\r(3),3)B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(2),2)
解析：A 設(shè)圓錐的高為h，則由題意可得，V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(\r(2),6)πr3，解得eq \f(h,r)＝eq \f(\r(2),2)，所以母線與底面所成角的正切值為eq \f(\r(2),2)，由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，母線與底面所成角的正弦值為eq \f(\r(3),3)．故選A．
4．在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，∠ABC＝eq \f(π,2)．若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為( )
A．4πB．10π
C．12πD．48π
解析：C 如圖，取邊AB的中點M，邊PC的中點O，由于∠ABC＝eq \f(π,2)，所以點M為△ABC外接圓的圓心，連接OM，OA，則OM∥PA，又因為PA⊥平面ABC，所以O(shè)M⊥平面ABC，因為AC?平面ABC，BM?平面ABC，所以O(shè)M⊥AC，OM⊥BM，又因為BM＝MA＝MC，所以O(shè)B＝OA＝OC＝OP，則點O為外接球的球心，又因為OM＝eq \f(1,2)PA＝1，MA＝eq \f(1,2)CA＝eq \f(1,2) eq \r(BC2＋AB2)＝eq \r(2)，所以球半徑為eq \r(OM2＋AM2)＝eq \r(3)，所以球表面積為4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)))2＝12π，故選C．
5．(多選)已知α，β是空間兩個不同的平面，m，n是空間兩條不同的直線，則給出的下列說法中正確的是( )
A．m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β
B．m∥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥β
C．m⊥α，n⊥β，且m∥n，則α∥β
D．m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β
解析：CD A選項，若m∥α，n∥β，且m∥n，則α，β可能相交或平行，故A錯誤；B選項，若m∥α，n∥β，且m⊥n，則α，β可能相交，也可能平行，故B錯誤；C選項，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n⊥β，則α∥β，故C正確；D選項，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，又n⊥β，根據(jù)面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正確．故選C、D．
6．(多選)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，AC與EF交于點G，現(xiàn)沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么在這個空間圖形中必有( )
A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面
C．EF⊥△AGH所在平面D．HG⊥△AEF所在平面
解析：BC 根據(jù)折疊前、后得到AH⊥HE，AH⊥HF不變，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AH⊥平面EFH，所以B正確；過A只有一條直線與平面EFH垂直，所以A不正確；因為AG⊥EF，EF⊥AH，由線面垂直的判定定理，可得EF⊥平面AGH，所以C正確；因為HG與AG不垂直，所以HG與平面AEF不垂直，所以D不正確．故選B、C．
7．已知平面α，β和直線m，給出以下條件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m?α；(4)α⊥β；(5)α∥β，當(dāng)條件________成立時，有m∥β；當(dāng)條件________成立時，有m⊥β．(填所選條件的序號)
解析：根據(jù)面面平行的特征可得，若m?α，α∥β，則m∥β；根據(jù)線面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，則m⊥β．
答案：(3)(5) (2)(5)
8．已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq \r(3)，那么P到平面ABC的距離為________．
解析：如圖，過點P作PO⊥平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離．再過O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接OC，PE，PF，則PE⊥AC，PF⊥BC．因為PE＝PF＝eq \r(3)，所以O(shè)E＝OF，所以CO為∠ACB的平分線，即∠ACO＝45°．在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq \r(3)，所以CE＝1，所以O(shè)E＝1，所以PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(?\r(3)?2－12)＝eq \r(2)．
答案：eq \r(2)
9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．
(1)求證：PE⊥BC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求證：EF∥平面PCD．
證明：(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，
所以PE⊥AD．
因為底面ABCD為矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC．
(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD．
又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因為PD?平面PAD，所以AB⊥PD．
又因為PA⊥PD，AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB．
因為PD?平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD．
(3)如圖，取PC的中點G，連接FG，DG．
因為F，G分別為PB，PC的中點，
所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq \f(1,2)BC．
因為四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，
所以DE∥BC，DE＝eq \f(1,2)BC．
所以DE∥FG，DE＝FG．
所以四邊形DEFG為平行四邊形．
所以EF∥DG．
又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
10．(多選)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝eq \f(\r(2),2)，則下列結(jié)論中正確的有( )
A．當(dāng)E點運動時，A1C⊥AE總成立
B．當(dāng)E向D1運動時，二面角A-EF-B逐漸變小
C．二面角E-AB-C的最小值為45°
D．三棱錐A-BEF的體積為定值
解析：ACD 對于A，因為在正方體中可證其體對角線A1C⊥平面AB1D1，而AE?平面AB1D1．所以A1C⊥AE恒成立，A正確；對于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以當(dāng)E向D1運動時，二面角A-EF-B的大小不變，B錯誤；對于C，當(dāng)點E從B1D1的中點向點D1運動時，平面ABE逐漸向底面ABCD靠攏，這個過程中，二面角E-AB-C越來越小，所以二面角E-AB-C的最小值為∠D1AD＝45°，C正確；對于D，因為S△BEF＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，點A到平面BDD1B1的距離為eq \f(\r(2),2)，所以體積為eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,12)，即體積為定值，D正確．故選A、C、D．
11．圖①是建筑工地上的塔吊，圖②是根據(jù)圖①繪制的塔吊簡易直觀圖，點A，B，C在同一水平面內(nèi)．塔身PO⊥平面ABC，直線AO與BC的交點E是BC的中點，起重小車掛在線段AO上的D點，AB＝AC，DO＝6 m．若PO＝2 m，PB＝3 m，△ABC的面積為10 m2，根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，忽略△ABC自重對塔吊平衡的影響，在塔吊保持平衡的條件下可得點A，P之間的距離為(0．5OD＝1．5OE)( )
A．2eq \r(17) mB．6eq \r(2) m
C．8 mD．9 m
解析：A 根據(jù)條件得，OE＝eq \f(0.5×DO,1.5)＝eq \f(0.5×6,1.5)＝2 m．∵PO⊥平面ABC，AE?平面ABC，∴PO⊥AE，又AB＝AC，E是BC中點 ，∴AE⊥BC，PE⊥BC．∵PO＝2 m，∴PE＝2eq \r(2) m，∵PB＝3 m，∴BE＝1 m．由于△ABC的面積為10 m2，∴eq \f(1,2)BC·AE＝10，解得AE＝10 m，即AO＝8 m，即AP＝2eq \r(17) m．故選A．
12．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)．
解析：如圖，連接AC，BD，則AC⊥BD，因為PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，所以BD⊥PC．所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD．PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
13．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥DQ，則a＝________．
解析：如圖，連接AQ，取AD的中點O，連接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ．∴點Q在以線段AD的中點O為圓心，AD為直徑的圓上，又∵在BC上有且僅有一個點Q滿足PQ⊥DQ，∴BC與圓O相切(否則相交就有兩點滿足垂直，矛盾)，∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2，即a＝2．
答案：2
14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝eq \r(3)，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，點M是AC與BD的交點，點N在線段PB上，且PN＝eq \f(1,4)PB．
(1)證明：MN∥平面PDC；
(2)在線段BC上是否存在一點Q，使得平面MNQ⊥平面PAD？若存在，求出點Q的位置；若不存在，請說明理由．
解：(1)證明：在四邊形ABCD中，由AB＝BC＝eq \r(3)，AD＝CD＝1，
可得△ABD≌△CBD，
可得AC⊥BD，且M為AC的中點，
由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
可得DM＝CDcs 60°＝eq \f(1,2)，AC＝2CDsin 60°＝eq \r(3)，
則BM＝eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝eq \f(3,2)，
由eq \f(DM,BM)＝eq \f(PN,BN)＝eq \f(1,3)，可得MN∥PD，
而MN?平面PCD，PD?平面PCD，
可得MN∥平面PDC．
(2)當(dāng)點Q為BC的中點時，滿足題意，理由如下：過M作ME⊥AD，垂足為E，延長EM交BC于Q，連接NQ，NE，如圖，
由PA⊥平面ABCD，EQ?平面ABCD，可得PA⊥EQ，
又EQ⊥AD，可得EQ⊥平面PAD，EQ?平面MNQ，可得平面MNQ⊥平面PAD，故存在這樣的點Q．
在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，
在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°，由BM＝eq \f(3,2)，eq \f(BQ,sin 30°)＝eq \f(BM,sin 120°)，
可得BQ＝eq \f(BM,\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，即Q為BC的中點，
故Q為BC的中點時，平面MNQ⊥平面PAD．

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