1.設(shè)復(fù)數(shù)z=3+i1+i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. (2,?1)B. (2,?2)C. (2,1)D. (2,2)
2.在籃球選修課上，男、女生各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如圖所示，試根據(jù)折線圖通過計(jì)算比較本次投籃練習(xí)中男、女生的投籃水平，則( )
A. 男生投籃水平比女生投籃水平高
B. 女生投籃水平比男生投籃水平高
C. 男女同學(xué)的投籃水平相當(dāng)，但女同學(xué)要比男同學(xué)穩(wěn)定
D. 男女同學(xué)投籃命中數(shù)的極差相同
3.若|a|=2，|b|=4，向量a與b的夾角為120°，則向量a在向量b上的投影向量為( )
A. ?34bB. ?14bC. 12bD. ?12b
4.從裝有若干個(gè)紅球和白球(除顏色外其余均相同)的黑色布袋中，隨機(jī)不放回地摸球兩次，每次摸出一個(gè)球.若事件“兩個(gè)球都是紅球”的概率為215，“兩個(gè)球都是白球”的概率為13，則“兩個(gè)球顏色不同”的概率為( )
A. 415B. 715C. 815D. 1115
5.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BD=2DC，M為AD的中點(diǎn)，則MB=( )
A. 56AB?13ACB. 13AB?56ACC. 56AB+13ACD. 13AB+56AC
6.如圖1，這是雁鳴塔，位于貴州省遵義婁山關(guān)景區(qū)，塔身巍然挺拔，直指蒼穹，登塔可眾覽婁山好風(fēng)光.某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量雁鳴塔的高度，在點(diǎn)O的同一水平面上的A，B兩處進(jìn)行測(cè)量，如圖2.已知在A處測(cè)得塔頂P的仰角為30°，在B處測(cè)得塔頂P的仰角為45°，且AB=30 7米，∠AOB=150°，則雁鳴塔的高度OP=( )
A. 30米B. 30 2米C. 30 3米D. 30 5米
7.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2?a2=8，則△ABC的面積為( )
A. 33B. 2 33C. 3D. 34
8.足尖雖未遍及美景，浪漫卻從未停止生長(zhǎng)，清風(fēng)牽動(dòng)裙擺，處處彰顯著幾何的趣味.如右圖幾何圖形好似平鋪的一件裙裝，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中AB=AA1=2，A1B1=4，若沿圖中的虛線折起，圍成一個(gè)封閉幾何體Ω，則Ω的外接球的表面積為( )
A. 16π
B. 32 3π
C. 48π
D. 40π
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，則下列命題是真命題的是( )
A. 當(dāng)α⊥β時(shí)，若β//γ，則α⊥γ
B. 當(dāng)m⊥α，n⊥β時(shí)，若α//β，則m//n
C. 當(dāng)m?α，n?β時(shí)，α//β，則m，n是異面直線
D. 當(dāng)m//n，n⊥β時(shí)，若m?α，則α⊥β
10.《數(shù)術(shù)記遺》記述了積算(即籌算)、珠算、計(jì)數(shù)等共14種算法.某研究學(xué)習(xí)小組共7人，他們搜集整理這14種算法的相關(guān)資料所花費(fèi)的時(shí)間(單位：min)分別為93，93，88，81，94，91，90.則這組時(shí)間數(shù)據(jù)( )
A. 極差為13B. 中位數(shù)為81C. 平均數(shù)為90D. 方差為25
11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a=2 3，且b2+c2?12=bc，則下列說法正確的是( )
A. A=π3
B. △ABC面積的最大值為3 32
C. 若D為邊BC的中點(diǎn)，則AD的最大值為3
D. 若△ABC為銳角三角形，則其周長(zhǎng)的取值范圍為(6+2 3,6 3]
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.某中學(xué)高一年級(jí)8名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為85，93，99，101，103，130，90，116，則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為______．
13.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c?bc?a=sinAsinC+sinB，則B= ______．
14.已知在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，M，N分別是邊BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且CN=BM，則AM?MN的最大值是______
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知|a|=2,|b|=6，且a與b的夾角為π3，
(1)求a?b的值；
(2)求向量a?b與b的夾角的余弦值．
16.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，E為PC的中點(diǎn)，PD=AD=BD=2，∠ADB=90°．
(1)PA//平面BDE；
(2)求三棱錐P?BDE的體積．
17.(本小題15分)
某中學(xué)參加知識(shí)競(jìng)賽結(jié)束后，為了解競(jìng)賽成績(jī)情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取800名學(xué)生，得到他們的成績(jī)，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計(jì)這800名學(xué)生的平均成績(jī)；
(2)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這800名學(xué)生中抽取容量為40的樣本，再?gòu)脑摌颖局谐煽?jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少有1名學(xué)生成績(jī)不低于90分的概率．
18.(本小題17分)
在①asinB=bsin(A?π3)；②(a+b)(sinA?sinB)=(b+c)sinC；③ 3bsinB+C2=asinB三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并解決問題．
問題：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足____．
(1)求角A；
(2)若A的角平分線AD長(zhǎng)為1，且b+c=6，求sinBsinC的值．
19.(本小題17分)
如圖，正四棱錐S?ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的 2倍，點(diǎn)P在側(cè)棱SD上，且SP=3PD．
(Ⅰ)求證：AC⊥SD；
(Ⅱ)求二面角P?AC?D的大小；
(Ⅲ)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE//平面PAC．
若存在，求SEEC的值；若不存在，試說明理由．
參考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.A
6.A
7.B
8.D
9.ABD
10.AC
11.ACD
12.109.5
13.π3
14.?43
15.解：(1)已知|a|=2,|b|=6，且a與b的夾角為π3，
則a?b=|a||b|cs?a,b?=2×6×12=6；
(2)設(shè)向量a?b與b的夾角為θ，
因?yàn)閨a?b|= (a?b)2= a2?2a?b+b2= 4?2×2×6×12+36=2 7，
又(a?b)?b=a?b?b2=2×6×12?36=?30，
所以csθ=(a?b)?b|a?b||b|=?302 7×6=?5 714，
故向量a?b與b的夾角的余弦值為?5 714．
16.解：(1)證明：連接AC∩BD=F，連接EF，
∵底面ABCD是平行四邊形，∴F為AC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，
∴PA/?/EF，又PA?平面BDE，且EF?平面BDE，
∴PA/?/平面BDE；
(2)∵PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，E為PC的中點(diǎn)，
又PD=AD=BD=2，∠ADB=90°，
∴三棱錐P?BDE的體積為VP?BDE=VC?BDE=VE?BCD=12VP?BCD=12×13×12×2×2×2=23．
17.解：(1)成績(jī)落在[70,80)的頻率為：
1?(0.3+0.15+0.10+0.05)=0.40，
補(bǔ)全頻率分布圖如下：

∴這800名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)椋?br>55×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67(分)；
(2)抽取的40名學(xué)生在，成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的有800×0.1×40800=4(人)，記為a，b，c，d，
成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)有800×0.05×40800=2(人)，記為e，f，
從這6人中任選2人，不同的取法有15種，分別為：
(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，
設(shè)事件A表示“至少有1名學(xué)生成績(jī)不低于90分”，
則事件A包含的基本事件有9個(gè)，分別為：
(a,e)，(a,f)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，
∴至少有1名學(xué)生成績(jī)不低于90分的概率P(A)=915=35．
18.解：(1)若選①，因?yàn)閍sinB=bsin(A?π3)，所以sinAsinB=sinBsin(A?π3)，
因?yàn)閟inB≠0，所以sinA=sin(A?π3)，
所以A=A?π3，(舍去)或A+A?π3=π，
可得A=2π3．
若選②，因?yàn)?a+b)(sinA?sinB)=(b+c)sinC，
所以(a+b)(a?b)=(b+c)c，整理可得b2+c2?a2=?bc，
可得csA=b2+c2?a22bc=?12，
又A∈(0,π)，
所以A=2π3．
若選③，因?yàn)?3bsinB+C2=asinB，可得 3sinBsinB+C2=sinAsinB，
因?yàn)閟inB≠0，可得 3sinB+C2=sinA，即 3csA2=2sinA2csA2，
因?yàn)閏sA2≠0，可得sinA2= 32，
又A∈(0,π)，
所以A=2π3．
(2)由S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得 34(b+c)= 34bc，可得bc=b+c=6，
由余弦定理a2=b2+c2?2bccsA=(b+c)2?bc=36?6=30，解得a= 30，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R=2 10，可得sinBsinC=bc4R2=640=320，所以sinBsinC的值為320．
19.解：
(Ⅰ)證明：連接BD 交AC 于O，連接SO；
∵四棱錐S?ABCD是正四棱錐，且底面是正方形；
∴OB，OC，OS三直線兩兩垂直，所以分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；
設(shè)OB=1，由已知可得：A(0,?1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(?1,0,0)，S(0,0, 3)，P(?34,0, 34)；
∴AC?SD=(0,2,0)?(?1,0,? 3)=0；
∴AC⊥SD；
∴AC⊥SD；
(Ⅱ)SO⊥底面ABCD；
∴OS=(0,0, 3)為平面DAC的一條法向量；
設(shè)平面PAC的法向量為n=(x,y,z)，則：n⊥AP,n⊥AC；
∴n?AP=?34x+y+ 34z=0n?AC=2y=0；
∴z= 3xy=0，取x=1，則n=(1,0, 3)；
設(shè)二面角P?AC?D的大小為θ，則：
csθ=cs= 3? 32? 3= 32；
∴θ=π6；
即二面角P?AC?D的大小為π6；
(Ⅲ)假設(shè)在側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E，使得BE//平面PAC，則：
BE和平面PAC的法向量n垂直；
E在棱SC上，∴設(shè)E(0,1? 33z0,z0)；
∴BE?n=(?1,1? 33z0,z0)?(1,0, 3)=?1+ 3z0=0；
∴z0= 33；
∴存在點(diǎn)E(0,23, 33)使BE//平面PAC；
此時(shí)，SEEC= 49+129 19+39=2．

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