一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)槿?，集合，所以?br>又因?yàn)榧?，所?
故選：D.
2. 已知命題，，則是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命題的否定形式是，.
故選：B.
3. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴，解得，且，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：D.
4. 設(shè)扇形周長為，圓心角的弧度數(shù)是3，則扇形的面積為（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 24
【答案】D
【解析】設(shè)扇形的半徑為，則弧長為，
因?yàn)樯刃蔚闹荛L為，所以，解得，則，
故扇形的面積為.
故選：D.
5. “方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根”的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根可得，
解得，
觀察選項(xiàng)可得“方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根”的一個(gè)充分不必要條件是.
故選：C.
6. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，則，則，
故.
故選：A.
7. 設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意，，
又，，
所以a，b，c的大小關(guān)系是.
故選：D.
8. 函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，且.則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，
又在上單調(diào)遞增，且，所以的大致圖象如圖所示．
由可得，，
由于在分母位置，所以，
當(dāng)時(shí)，只需，由圖象可知；
當(dāng)時(shí)，只需，由圖象可知；
綜上，不等式的解集為．
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C 若，則D. 若，則
【答案】BCD
【解析】對于A，若，則，故A錯(cuò)誤；
對于B，若，則，即，故B正確；
對于C，若，則，所以，故C正確；
對于D，若，則，即，故D正確.
故選：BCD.
10. 已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論，不正確的是（ ）
A. 函數(shù)是周期為的偶函數(shù)
B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得圖象與的圖象重合
【答案】AC
【解析】對于A，由于，，即，
則不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)時(shí)，，而余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，，C錯(cuò)誤；
對于D，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，
得函數(shù)的圖象，
所以所得圖象與的圖象重合，D正確.
故選：AC.
11. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用兩數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式琢磨函數(shù)圖象的特征，如函數(shù)（且）的圖像的大致形狀可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上遞增，，
當(dāng)時(shí)，在上遞減，，A不滿足，D符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上遞減，，
當(dāng)時(shí)，在上遞增，，C不滿足，B符合題意.
故選：BD.
12. 已知函數(shù)且，則下列說法正確的有（ ）
A. 在區(qū)間和上單調(diào)遞減
B. 直線與的圖象總有3個(gè)不同的公共點(diǎn)
C.
D.
【答案】ACD
【解析】畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，
A選項(xiàng)，由圖可知在區(qū)間和上單調(diào)遞減，所以A正確；
B選項(xiàng)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；
CD選項(xiàng)，令，
可得直線與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，，，
由圖可知，，
由基本不等式得，，
所以，因?yàn)?，所以，所以C，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知冪函數(shù)為奇函數(shù).則____________.
【答案】
【解析】依題意，，解得或，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)奇函數(shù)，符合題意，
所以.
14. 函數(shù)，則_________.
【答案】1
【解析】根據(jù)題意，，則.
15. 若，則的最小值為___________.
【答案】9
【解析】由，得，
于是，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9.
16. 設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______.
【答案】7
【解析】令，得或.
作出的簡圖，，由圖象得當(dāng)或時(shí)，分別有3個(gè)和4個(gè)交點(diǎn)，
故關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 全集，若集合，.
（1）求，；
（2）若集合，，求的取值范圍.
解：（1）由集合，
，
所以，.
（2）因?yàn)椋傻茫?br>又因?yàn)?，且，所以?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18. 計(jì)算下列各式的值：
（1）；
（2）.
解：（1）原式.
（2）原式.
19. 已知，且為第三象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）已知得，且為第三象限角，
所以
（2）.
20. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求的解析式及對稱中心坐標(biāo)：
（2）先把的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）由題意可得：，可得，所以，
因?yàn)?，所以，可得?br>所以，
由可得，
因?yàn)?，所以，，所?
令可得，所以對稱中心為.
（2）由題意可得：，
當(dāng)時(shí)，，，，
若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則有實(shí)根，
所以，可得：.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
21. 受新冠肺炎疫情影響，呼吸機(jī)成為緊缺商品，某呼吸機(jī)生產(chǎn)廠為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入90萬元安裝了一臺(tái)新設(shè)備，并立即進(jìn)行生產(chǎn)，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前n年的材料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資等共為萬元，每年的銷售收入為55萬元，設(shè)使用該設(shè)備前n年的總盈利額為萬元．
（1）寫出關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開始盈利；
（2）使用若干年后，對該設(shè)備處理的方案有兩種：
方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以10萬元的價(jià)格處理；
方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以50萬元的價(jià)格處理．
請問：使用哪種方案能在更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到相應(yīng)的最值目標(biāo)？并比較分別使用兩種方案處理設(shè)備后的總利潤大?。?br>解：（1）由題意得：．
由，得，即，解得．
由于，故設(shè)備企業(yè)從第3年開始盈利.
（2）方案一：總盈利額，當(dāng)時(shí)．
故方案一總利潤，此時(shí)；
方案二：每年平均利潤，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
故方案二總利潤，此時(shí)．
比較兩種方案，獲利都是170萬元，但由于第一種方案需要10年，而第二種方案需要6年，故選擇第二種方案更合適．
22. 已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）是R上的奇函數(shù)，
，對任意，即，
即，對任意恒成立，
，即.
（2）為R上的增函數(shù)，證明如下：
任取，，且，
，
，，
，即，
所以函數(shù)為R上的增函數(shù).
（3）不等式在R上恒成立，
，
又為R上的增函數(shù)，在R上恒成立，
即，令，，
上式等價(jià)于對恒成立，
即，令，只需即可，
又，開口向下，對稱軸為，，
，.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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