2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.4-數(shù)列求和-專項(xiàng)訓(xùn)練（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為( )

A.2n-1(n∈N*)
B.161-12n(n∈N*)
C.2n-1-1(n∈N*)
D.161-12n-1(n∈N*)
2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-12n-1,n∈N*,則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)之和為( )
A.6-201299B.6-203299
C.10 0002100-1D.10 1002100-1
3.圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案,其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A7=A7A8=…=2,A1,A2,A3,…為直角頂點(diǎn),設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為{an},令bn=2an-2,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,則S80=( )
甲
乙
A.6B.7C.8D.9
4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,an=(-1)n·(2n-1),則S2 023=( )
A.1 012B.-1 012
C.2 023D.-2 023
5.(多選題)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n,Sn=a1+a2+a3+…+an,n∈N*,則( )
A.an=n·2n-1B.an=n·2n
C.Sn=n·2n-1D.Sn=(n-1)·2n+1
6.(多選題)如圖,“太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦……”大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上的一道數(shù)列題.大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和,從第一項(xiàng)起依次為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,記大衍數(shù)列為{an},則下列命題正確的是( )
A.a11=62
B.1a3+1a5+1a7+…1a2 021+1a2 023=1 0112 024
C.a2+a4+a6+…+a12=182
D.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=n22
7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17= .
8.已知an=12n+1,則數(shù)列an2n的前n項(xiàng)和Sn= .
9.已知數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且滿足bn=3nan,a1=1,Snn+1=an2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若Tn>102,求n的取值范圍.
綜合提升練
10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(2n-1),則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為( )
A.-200B.-100C.200D.100
11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+2,令數(shù)列{lg2an}的前n項(xiàng)和為Tn,則T20=( )
A.190B.192C.180D.182
12.已知數(shù)列{an}滿足對(duì)任意的正整數(shù)n,都有a1+a2+…+an-an+1=0,其中a1=3,則數(shù)列{an}的前2 024項(xiàng)和是( )
A.3×22 024-3B.3×22 023+1
C.3×22 023D.3×22 023+2
13.(多選題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=2,且an+1-2an=2n+1(n∈N*),則下列結(jié)論正確的有( )
A.{nan}是等比數(shù)列B.ann是等比數(shù)列
C.an=n·2nD.Sn=(n-1)·2n+2
14.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1+an=n-1 009(n∈N*),則其前2 023項(xiàng)之和S2 023= .
15.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,S3=a3+6.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)bn=lg2an,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.
創(chuàng) 新應(yīng)用練
16.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,且滿足a1=3,a2k=8a2k-1,a2k+1=12a2k,k∈N*,則S2 023=( )
A.42 023-1B.3×22 023-3
C.3×41 012-9D.5×41 011-2
17.(多選題)為引導(dǎo)游客領(lǐng)略傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究的精彩并傳播中國傳統(tǒng)文化,某景點(diǎn)推出了“解數(shù)學(xué)題獲取名勝古跡入場碼”的活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下:如圖所示,將楊輝三角第p行第q個(gè)數(shù)記為ap,q(p,q∈N*),并從左腰上的各數(shù)出發(fā),引一組平行的斜線,記第n條斜線上所有數(shù)字之和為Sn(S1=S2=1,S3=2),入場碼由兩段數(shù)字組成,前段的數(shù)字是∑i=14a4,i104-i的值,后段的數(shù)字是S2 023-∑i=12 021Si的值,則( )
A.a2 023,2=2 023B.∑i=14a4,i104-i=1 331
C.S9=34D.該景點(diǎn)入場碼為13 311
18.在①Snn=an+12,②an+1an=2Sn,③an2+an=2Sn這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并解答該問題.
已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,滿足.
求an;
(2)若bn=(an+1)·2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
參考答案
1.A 2.B 3.C 4.D 5.AD 6.BCD
7.9 8.2-n+42n+1
9.解 (1)因?yàn)镾nn+1=an2,所以Sn=(n+1)an2,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=nan-12,
兩式相減得an=Sn-Sn-1=(n+1)an2?nan-12(n≥2),整理可得ann=an-1n-1(n≥2),
即anan-1=nn-1,an-1an-2=n-1n-2,an-2an-3=n-2n-3,…,a3a2=32,a2a1=21,
等式的左右兩邊分別相乘可得ana1=n1,
因?yàn)閍1=1,所以an=n.
(2)由(1)得bn=3nan=3n·n,所以Tn=1×31+2×32+3×33+…+n·3n①,
所以3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n·3n+1②,
①-②,得-2Tn=3+32+33+…+3n-3n+1·n,
即-2Tn=3-3n+11-3-n·3n+1,所以Tn=(2n-1)3n+1+34,
則Tn-1=(2n-3)3n+34,
所以Tn-Tn-1=(2n-1)3n+1+3-[(2n-3)3n+3]4=n·3n>0恒成立,
所以Tn=(2n-1)3n+1+34是關(guān)于n的增函數(shù),且T3=102,
所以當(dāng)Tn>102時(shí),n≥4.
10.D 11.B 12.C 13.BC
14.3 034
15.解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
由a1=2,S3=a3+6,
得a1(1+q+q2)=6+a1q2,
解得q=2,所以an=2n.
(2)由(1)可得bn=lg2an=n,
所以anbn=n·2n,
Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,
2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
所以-Tn=2+22+…+2n-n·2n+1=2(1-2n)1-2-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,所以Tn=(n-1)·2n+1+2.
16.C 17.BCD
18.解 (1)若選①,則2Sn=nan+1,
當(dāng)n=1時(shí),2S1=a2,得a2=2,
當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=(n-1)an,
兩式作差得2an=nan+1-(n-1)an,即(n+1)an=nan+1,
∴an+1an=n+1n,
∴an=nn-1·n-1n-2·…·32·21·a1=n,
當(dāng)n=1時(shí)也成立,∴an=n.
若選②,即2Sn=an+1an,
當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=anan-1,
兩式作差得2an=anan+1-anan-1,
由an>0,得an+1-an-1=2.
當(dāng)n=1時(shí),2S1=a2a1,得a2=2.
又∵a1=1,a2=2,∴{a2n}是公差為2,首項(xiàng)為2的等差數(shù)列,
{a2n-1}是公差為2,首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,故an=n.
若選③,即an2+an=2Sn,
當(dāng)n≥2時(shí),an-12+an-1=2Sn-1,
兩式相減得an2+an-an-12-an-1=2an,
即(an+an-1)(an-an-1-1)=0.
由an>0,得an-an-1-1=0,即an-an-1=1,
∴{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.
故an=n.
(2)bn=(n+1)·2n,
Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)·2n,
2Tn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)·2n+1,
兩式相減得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)·2n+1=4+4(1-2n-1)1-2-(n+1)·2n+1=4-4+2n+1-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,
故Tn=n·2n+1.

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