【知識儲備】
1．公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．
(1)等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
2．分組求和法與并項求和法
(1)若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)類型，常采用兩項合并求解．
3．裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項技巧
（1）eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
（2）eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
（3）eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
（4）eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
（5）lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))＝lga(n＋1)－lgan(n>0)．
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
4．錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的．
5．倒序相加求和
6．放縮求和
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
【題型精講】
【題型一 公式法求和 】
必備技巧 公式法求和
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．
(1)等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
例1 （2022·黑龍江高三模擬）已知等差數(shù)列滿足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和Sn．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則∴，∴．
（2），∴，
∵，又，∴數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為2，公比為4，
∴．
例2 （2022·寧夏銀川市高三模擬）已知數(shù)列是一個公差為的等差數(shù)列，前項和為，，，，成等比數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項公式：
（2）求數(shù)列的前10項和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由a2、a4、a5成等比數(shù)列得：，即，
又∵d≠0，可得；
而，解得，所以，
即數(shù)列{an}的通項公式為．
（2）因為，所以，
令，則為常數(shù)，∴{cn}是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以的前10項和為．
【題型精練】
1. （2022·揚州市第一中學(xué)高三月考）設(shè)遞增等比數(shù)列的前項和為，已知，且，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求.
【答案】(1) (2) 4480
【解析】（1）由題意得：，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，或
是遞增數(shù)列，，；
所以
（2）由（1）知：，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
2．（2022·廣東深圳·一模）已知數(shù)列的首項，且滿足．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)由，得， 又，故，
故，所以， 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
(2)由（1）可知，所以，
所以．
【題型二 錯位相減求和 】
必備技巧 錯位相減求和
第一步 巧拆分：即根據(jù)通項公式分解為等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的形式；
第二步 確定等差、等比數(shù)列的通項公式；
第三步 構(gòu)差式：即寫出的表達(dá)式，然后兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比得到另外一個式子，兩式作差；
第四步 求和：根據(jù)差式的特征準(zhǔn)確求和.
例3 （2022·廣東肇慶·二模）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)證明：由，得，
又，所以，故，
故是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；
(2)解：由（1）得，得，
所以，設(shè)的前n項和為，
則，①
，②
由①-②，得
，則，
故.
【題型精練】
1. （2022·廣東茂名·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)由可得，
由得，
所以，即，
所以，，
所以數(shù)列是公差為1，首項為1的等差數(shù)列.
(2)由（1），得，
所以，
，兩式相減得
，
所以.
2．（2022·河南高三月考）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足， 求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，得，解得，
因此；
（2）由題意知：，
所以，
則，
兩式相減得
，
因此，.
3．（2022·遼寧本溪市高三模擬）在①；②，；③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成問題的解答（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）．
已知等差數(shù)列前n項和為，且滿足_______，數(shù)列的前n項和為，且
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】選擇見解析；（1）；；（2）．
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
對于①，知，，所以，，所以．
對于②，．由得，所以，所以．
對于③，，可得從而解得所以．
由得，所以，
又，所以，所以，
因為，所以，所以，
故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．
（2）因為，
所以，
，
則
，
所以
【題型三 裂項相消求和 】
必備技巧 裂項相消求和
第一步 定通項公式：即根據(jù)已知條件求出數(shù)列的通項公式；
第二步 巧裂項：即根據(jù)通項公式特征準(zhǔn)確裂項，將其表示為兩項之差或和的形式；
第三步 消項求和：即把握消項的規(guī)律，準(zhǔn)確求和.
例4 （2022·四川遂寧市高三月考）已知數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令的前項和為，求證：，
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）因為，令，則，又，所以.
對兩邊同時除以，得，
又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，故；
（2）由（1）得：
所以
因為，所以，故，即.
例5 （2022·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和，并證明：.
【答案】(1)(2)，證明見解析.
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比是q，首項是.
由，可得.
由，可得，所以，
所以；
(2)證明：因為，
所以
.
又，所以.
例6 （2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【解析】(1)當(dāng)時，由，得或，
∵，∴，
由，得
當(dāng)時，
由，得，
整理得，
∵，∴≠0，∴，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列；
(2)由（1）得，
，
∴．
例7 （2022·安徽安慶·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求的前n項和.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：時，，解得.
當(dāng)時，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通項公式為，.
(2)解：結(jié)合（1）得
，
所以
.
【題型精練】
1．（2022·湖北武漢市·漢陽一中高三模擬）已知在數(shù)列中，前n項和為，若．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在數(shù)列中，①∵②且，
∴①式÷②式得：，∴數(shù)列以為首項，公差為1的等差數(shù)列，
∴∴,當(dāng)時，；
當(dāng)時，，不滿足上式，∴數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）知，，則數(shù)列的前項和，當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，當(dāng)時也滿足上式，故有．
2．（2022·廣東梅州·二模）已知是數(shù)列的前項和，，___________.
①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項和為.從以上兩個條件中任選一個補(bǔ)充在橫線處，并求解：
(1)求；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)條件選擇見解析，(2)
【解析】(1)解：選條件①：，，得，
所以，，
即數(shù)列、均為公差為的等差數(shù)列，
于是，
又，，，所以；
選條件②：因為數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項和為，
得，所以，
所以的公差為，
得到，則，
當(dāng)，.
又滿足，所以，對任意的，.
(2)解：因為，
所以
.
3．（2022·廣東·廣州市第四中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】(1)因為數(shù)列滿足， 所以，所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，則有，.
(2)，
所以，
因為，所以.
4．（2022·簡陽市陽安中學(xué)高三二模）記為等比數(shù)列的前項的和，且為遞增數(shù)列.已知，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項之和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
解得或，
因為為遞增數(shù)列，所以只有符合題意，故；
（2）由題意，，
∴
.
【題型四 分組求和與并項求和 】
必備技巧 分組求和與并項求和
一般地，如果{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an±bn}或cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)))的前n項和Sn時，可采用分組求和法求和．如果cn＝(－1)n·an，求cn的前n項和時，可采用并項求和法求解．
例8 （2022·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的通項公式為，由于，，成等比數(shù)列，則，解得，所以，
（2）由題意，，
所以．
例9 （2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)時，，又，解得，
由得，
時，，
兩式相減得，
，又，所以，是等差數(shù)列，
所以；
(2)由（1），，
，
為偶數(shù)時，，
為奇數(shù)時，，
所以．
例10 （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式以及前n項和；
(2)若，求數(shù)列的前2n－1項和.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)依題意，，則，
故，解得d＝2，∴，
故，.
(2)依題意，得，
故，
故
【題型精練】
1. （2022·四川成都市高三模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，，數(shù)列是遞增的等比數(shù)列且，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題得：∴，，
．
（2）由題得：，是遞增的等比數(shù)列，
故解得：，，，∴，
∴
．
2．（2022·寧波市北侖中學(xué)高三模擬）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項；
（2）求的前項和及的前項和為．
【答案】（1）證明見解析；；（2）；．
【解析】（1）因為，，，
所以，
又，
所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
因此；
（2）由（1）可得①，
則②，
①②得，
則；
設(shè)，
則，
所以；
；
因此.
3．（2022·安徽·高三期末（理））已知數(shù)列的前n項和．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，上式也成立，
所以；
(2)解：，
設(shè)數(shù)列的前項和為，
則
.
【題型五 倒序相加求和 】
必備技巧 倒序相加求和
第一步 列出前n項和；
第二步 按倒序列出前n項和；
第三步 兩式相加；
第四步 得出結(jié)果.
例11 （2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．2C．2020D．2021
【答案】C
【解析】函數(shù)，設(shè)，則有，
所以，
所以當(dāng)時，，
令，
所以，
故．故選：C
【題型精練】
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知若等比數(shù)列滿足則（ ）
A．B．1010C．2019D．2020
【答案】D
【解析】
等比數(shù)列滿足
即2020
故選：D
2．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．2018B．2019
C．4036D．4038
【答案】A
【解析】，，
令，
則，
兩式相加得：，.
故選：.
【題型六 放縮求和 】
例12 （2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.
（1）求的值：
（2）求數(shù)列的通項公式：
（3）證明：對一切正整數(shù)，有.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）令解方程可得答案；
（2）利用可得答案；
（3）令，利用裂項相消可得答案.
【小問1詳解】
令，，則舍去，
所以.
【小問2詳解】
，
因為數(shù)列各項均為正數(shù)，舍去，
，當(dāng)時，
，
【小問3詳解】
令
，
所以
【題型精練】
1．已知數(shù)列的前n項和為，.
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和為；
（2）設(shè)，證明：.
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）先求出，然后將的換成，與原式相減可得，從而可得即可證明，求出通項公式， 再分組可求和.
（2）先求出，可得出，裂項相消法求和，可證明.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，即
由，則
兩式相減可得，即
所以，即
數(shù)列為等比數(shù)列
則，所以
則
【小問2詳解】
所以

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