基 礎(chǔ) 鞏固練
1.如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象,則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )

A.1B.2C.3D.4
2.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+ln x,則( )
A.x=12為f(x)的極大值點(diǎn)
B.x=12為f(x)的極小值點(diǎn)
C.x=2為f(x)的極大值點(diǎn)
D.x=2為f(x)的極小值點(diǎn)
3.若x=1是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極大值為( )
A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
4.當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)=aln x+b+1x取得極小值4,則a+b=( )
A.7B.8C.9D.10
5.函數(shù)f(x)=x2ex+1在x∈[-1,3]上的最小值為( )
A.1B.9e-4C.0D.4e-3
6.已知函數(shù)f(x)=xex-a和g(x)=lnxx+b有相同的極大值,則a+b=( )
A.2B.0C.-3D.-1
7.已知一正四棱柱(底面為正方形的直四棱柱)內(nèi)切于底面半徑為1,高為2的圓錐,當(dāng)正四棱柱的體積最大時(shí),該正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為( )
A.223B.23C.2D.22
8.(多選題)已知函數(shù)f(x)=xln x+x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),下列結(jié)論中正確的有( )
A.00,h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(1)=2ln 1+1+31=4,所以a≤h(x)min=4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,4].
11.C 12.BD 13.2525 1
14.(1)解 依題意得,f'(x)=a-1x+ax2=ax2-x+ax2(x>0).
①當(dāng)a≤0時(shí),在x∈(1,+∞)上,f'(x)0,所以g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(t)>g(1)=0,
所以x2-x1-f(x1)+f(x2)>0,
即f(x1)-f(x2)0對(duì)任意的x∈(0,1)恒成立,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,可得g(x)>g(0)=0,即G'(x)>0對(duì)任意的x∈(0,1)恒成立,則G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,可得G(x)>G(0)=0,所以sin x>x-x2,x∈(0,1).綜上所述,x-x2-b2x-2xx2-1=x(b2x2+2-b2)1-x2,且b2x2>0,2-b2≥0,1-x2>0,所以f'(x)>x(b2x2+2-b2)1-x2>0,
即當(dāng)x∈(0,m)?(0,1)時(shí),f'(x)>0,則f(x)在(0,m)上單調(diào)遞增,結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知,f(x)在(-m,0)上單調(diào)遞減,所以x=0是f(x)的極小值點(diǎn),不合題意.
(ⅱ)當(dāng)b2>2時(shí),取x∈0,1b?(0,1),則bx∈(0,1).
由(1)可得f'(x)=-bsin bx-2xx2-10,h'1b=b3-b>0,則h'(x)>0對(duì)任意的x∈0,1b恒成立,可知h(x)在0,1b上單調(diào)遞增,且h(0)=2-b20,所以h(x)在0,1b內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)n∈0,1b.當(dāng)x∈(0,n)時(shí),h(x)0,1-x2>0,則f'(x)

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