【基礎(chǔ)落實(shí)練】
1.(5分)(2024·臨夏模擬)若x>0,則函數(shù)y=x+4x( )
A.有最大值-4B.有最小值4
C.有最大值-2D.有最小值-2
【解析】選B.因?yàn)閤>0,所以y=x+4x≥2 x·4x=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=2時(shí)取等號(hào),
所以當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)y=x+4x有最小值4.
2.(5分)若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=9,則-1x-4y的最大值是( )
A.6+429B.-6+429
C.6+42D.-6-42
【解析】選B.由題意可得正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=9,所以1x+4y=19×1x+4y(2x+y)
=19(2+yx+8xy+4)≥6+429,
當(dāng)且僅當(dāng)yx=8xy,即x=9(2-1)2,y=9(2-2)時(shí)取等號(hào),所以-1x-4y≤-6+429.
3.(5分)(2024·南昌模擬)放假期間,小明一家準(zhǔn)備去淄博旅游,已知他家汽車行駛速度vkm/h與每千米油費(fèi)w(元)的關(guān)系式為w=1300·v2v-4060≤v≤120,當(dāng)每千米油費(fèi)最低時(shí),v=( )
A.60km/hB.80km/h
C.100km/hD.120km/h
【解析】選B.w=1300·v2v-40=1300·v-402+80v-40+1 600v-40=1300v-40+1 600v-40+80,
因?yàn)?0≤v≤120,所以20≤v-40≤80,
則1300v-40+1 600v-40+80≥13002 v-40·1 600v-40+80=815,
當(dāng)且僅當(dāng)v-40=1 600v-40,即v=80時(shí)取等號(hào),
所以當(dāng)每千米油費(fèi)最低時(shí),v=80km/h.
4.(5分)若關(guān)于x的不等式4xa+1x-2≥4對(duì)任意x>2恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最大值
是( )
A.4B.3C.2D.1
【解析】選A.因?yàn)閤>2,所以x-2>0,所以4xa+1x-2≥4對(duì)任意x>2恒成立?4(x-2)a+1x-2+8a≥4對(duì)任意x>2恒成立?[4(x-2)a+1x-2+8a]min≥4,而4(x-2)a+1x-2≥2 4(x-2)a·1x-2=4 a,當(dāng)且僅當(dāng)4(x-2)a=1x-2時(shí),取等號(hào).所以原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為4 a+8a≥4,解得01時(shí),x+1x-1的最小值是3
B.x2+5 x2+4的最小值是2
C.當(dāng)00,
所以x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2 (x-1)×1x-1+1=3,
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1,即x=2時(shí),等號(hào)成立,故選項(xiàng)A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)閤2+5 x2+4=x2+4+1 x2+4= x2+4+1 x2+4≥2,
等號(hào)成立的條件是x2=-3,顯然不成立,所以等號(hào)不成立,不能使用基本不等式,即最小值不為2,令t= x2+4≥2,則y=t+1t在2,+∞上單調(diào)遞增,所以t=2時(shí)取得最小值52,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?0,y>0,x+4y-xy=0,所以x+4y=xy,兩邊同除以xy,得4x+1y=1,
所以x+y=x+y4x+1y=5+xy+4yx≥5+2xy·4yx=9,
當(dāng)且僅當(dāng)xy=4yxx+4y-xy=0,即x=6y=3時(shí),等號(hào)成立,所以x+y的最小值為9.
答案:9
9.(10分)(2024·南京模擬)已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1.
(1)當(dāng)x,y取何值時(shí),xy有最大值?
(2)若1x+2y≥3a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足x+2y=1,
由基本不等式得x+2y=1≥2 2xy,解得xy≤18,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=12,y=14時(shí),等號(hào)成立,故xy的最大值為18.
(2)要想1x+2y≥3a恒成立,只需1x+2ymin≥3a,
正數(shù)x,y滿足x+2y=1,
所以1x+2y=1x+2yx+2y=1+4+2yx+2xy≥5+2 2yx·2xy=9,
當(dāng)且僅當(dāng)2yx=2xy,即x=y=13時(shí),等號(hào)成立,
故9≥3a,解得a≤2,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,2.
【能力提升練】
10.(5分)(2024·紅河模擬)公元前3世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果,寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》,在此著作第七卷《平面軌跡》中,有眾多關(guān)于平面軌跡的問(wèn)題,例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值(不為1)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)A(-1,0)和B(2,1),且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足PA= 2PB,若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線mx+ny-2=0m>0,n>0對(duì)稱,則2m+5n的最小值是( )
A.10B.20C.30D.40
【解析】選B.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y,因?yàn)镻A= 2PB,則PA2=2PB2,
即x+12+y2=2x-22+y-12,
所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x-5)2+(y-2)2=20,
因?yàn)镻點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線mx+ny-2=0m>0,n>0對(duì)稱,
所以圓心5,2在此直線上,即5m+2n=2,
所以2m+5n=125m+2n2m+5n=12(20+4nm+25mn)≥10+12×2 4nm·25mn=20,
當(dāng)且僅當(dāng)4nm=25mn,即m=15,n=12時(shí),等號(hào)成立,所以2m+5n的最小值是20.
11.(5分)(2024·西安模擬)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題,這種方法是數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù),很多代數(shù)公理、定理都可以根據(jù)這一原理實(shí)現(xiàn)證明,也稱為“無(wú)字證明”.如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)O為圓心,點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn),且AC=m,BC=n.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的半弦DC,連接DA,DB,DO,過(guò)點(diǎn)C作CE垂直DO于點(diǎn)E,則根據(jù)該圖形我們可以完成的無(wú)字證明有( )
①m2+n2≥2mn(m>0,n>0)
② mn≤m+n2(m>0,n>0)
③m2+n22≥m+n22(m>0,n>0)
④ mn≥21m+1n(m>0,n>0)
A.①②B.①③C.②③D.②④
【解析】選D.在給定的圖中沒有表示m2+n2的幾何量,即①③不能根據(jù)給定圖形完成無(wú)字證明;
對(duì)于②,AC+BC=m+n,AD⊥BD,由直角三角形得CD2=AC·BC=mn,
則CD= mn,由于圓上任意弦的長(zhǎng)度不大于直徑,即2DC≤AB,
于是得CD≤12AB,即 mn≤m+n2(m>0,n>0),②能完成無(wú)字證明;
對(duì)于④,因?yàn)镃E⊥OD,OC⊥CD,由直角三角形得CD2=DE·OD,
DE=CD2OD=m·nm+n2=21m+1n,又CD≥DE,那么 mn≥21m+1n(m>0,n>0),④能完成無(wú)字證明.
12.(5分)(多選題)(2024·潮州模擬)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=3,則下列說(shuō)法正確的是 ( )
A.yx+3y的最小值為4
B.xy的最大值為98
C. x+ 2y的最小值為2
D.x2+4y2的最小值為92
【解析】選ABD.對(duì)于A,yx+3y=yx+x+2yy=yx+xy+2≥2 yx·xy+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào),故A正確;
對(duì)于B,xy=12·x·2y≤12×x+2y22=12×94=98,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=32,y=34時(shí)取等號(hào),故B正確;
對(duì)于C,( x+ 2y)2=x+2y+2 2xy≤3+2 2×98=3+3=6,則 x+ 2y≤ 6,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=32,y=34時(shí)取等號(hào),故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,x2+4y2=(x+2y)2-4xy≥9-4×98=92,當(dāng)且僅當(dāng)x=32,y=34時(shí)取等號(hào),故D正確.
13.(5分)若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b+2=ab,則a+b-2的最小值為________;3a-1+7b-1的最小值是________.
【解題指南】將條件轉(zhuǎn)化為a-1b-1=3后,由基本不等式求解.
【解析】由a+b+2=ab,得a=b+2b-1>0,所以b>1,同理可得a>1,所以b-1>0,a-1>0.
因?yàn)閍+b+2=ab,所以a-1b-1=3,
所以a+b-2=a-1+b-1≥2a-1b-1=23,當(dāng)且僅當(dāng)a-1=b-1,即a=b=1+3時(shí)取等號(hào).
又b-1=3a-1,所以3a-1+7b-1=b-1+7b-1≥2b-1·7b-1=27,當(dāng)且僅當(dāng)b-1=7b-1,即b=7+1時(shí)等號(hào)成立.
答案:23 27
【加練備選】
已知x+y=1,y>0,x>0,則12x+xy+1的最小值為____________.
【解析】將x+y=1代入12x+xy+1中,得x+y2x+xx+2y=12+y2x+11+2yx,設(shè)yx=t>0,則原式=1+t2+11+2t=2t2+3t+32(1+2t)=14·(1+2t)2+2t+1+41+2t=14[(1+2t)+41+2t+1]≥14×2(1+2t)·41+2t+14=54,當(dāng)且僅當(dāng)t=12,即x=23,y=13時(shí),取“=”.
答案:54
14.(10分)(2024·深圳模擬)珍珠棉是聚乙烯塑料顆粒經(jīng)過(guò)加熱、發(fā)泡等工藝制成的一種新型的包裝材料,由于需求量大幅增加,某加工珍珠棉的公司經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),若本季度在原材料上多投入x1

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