2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題小練習(xí)專練4基本不等式

這是一份2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題小練習(xí)專練4基本不等式，共4頁。
一、選擇題
1．函數(shù)y＝2x＋ eq \f(2,2x)的最小值為( )
A．1 B．2
C．2 eq \r(2) D．4
答案：C
解析：因為2x>0，所以y＝2x＋ eq \f(2,2x)≥2 eq \r(2x·\f(2,2x))＝2 eq \r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝ eq \f(2,2x)，即x＝ eq \f(1,2)時取“＝”．故選C.
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，則 eq \f(1,ab)的最小值為( )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．4 D． eq \f(1,4)
答案：B
解析：∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2 eq \r(2ab)(當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b，即：a＝1，b＝2時等號成立)，∴00且x≠1時，lg x＋ eq \f(1,lg x)≥2
B．當(dāng)x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時，sin x＋ eq \f(4,sin x)的最小值為4
C．當(dāng)x>0時， eq \r(x)＋ eq \f(1,\r(x))≥2
D．當(dāng)00，x＋2y＝1，則 eq \f(xy,2x＋y)的最大值為( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,5)
C． eq \f(1,9) D． eq \f(1,12)
答案：C
解析：x＋2y＝1?y＝ eq \f(1－x,2)，則 eq \f(xy,2x＋y)＝ eq \f(x－x2,3x＋1).
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴00，b>0)過點(1，1)，則a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
解析：因為直線 eq \f(x,a)＋ eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)過點(1，1)，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋ eq \f(a,b)＋ eq \f(b,a)≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，當(dāng)且僅當(dāng) eq \f(a,b)＝ eq \f(b,a)即a＝b＝2時取“＝”，故選C.
8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a與b相互垂直，則9x＋3y的最小值為( )
A．12 B．2
C．3 D．6
答案：D
解析：∵a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，
∴9x＋3y＝32x＋3y≥2 eq \r(32x＋y)＝2 eq \r(32)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝1時取等號，∴9x＋3y的最小值為6.
9．用一段長8 cm的鐵絲圍成一個矩形模型，則這個模型面積的最大值為( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
答案：C
解析：設(shè)矩形模型的長和寬分別為x cm，y cm，則x＞0，y＞0，由題意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面積S＝xy≤ eq \f(（x＋y）2,4)＝ eq \f(42,4)＝4(cm2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時取等號，所以當(dāng)矩形模型的長和寬都為2 cm時，面積最大，為4 cm2.故選C.
二、填空題
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋ eq \f(1,8b)的最小值為________.
答案： eq \f(1,4)
解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴ 2a＋ eq \f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2 eq \r(2a·2－3b)＝2 eq \r(2a－3b)＝2 eq \r(2－6)＝ eq \f(1,4).當(dāng)且僅當(dāng)2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1時，2a＋ eq \f(1,8b)取得最小值為 eq \f(1,4).
11．已知函數(shù)f(x)＝4x＋ eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________．
答案：36
解析：∵x>0，a>0，∴4x＋ eq \f(a,x)≥2 eq \r(4x·\f(a,x))＝4 eq \r(a)，
當(dāng)且僅當(dāng)4x＝ eq \f(a,x)，即：x＝ eq \f(\r(a),2)時等號成立，由 eq \f(\r(a),2)＝3，a＝36.
12．[2024·山東聊城一中高三測試]已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為________．
答案：2＋ eq \r(3)
解析：由3a＋b＝2ab，
得 eq \f(3,2b)＋ eq \f(1,2a)＝1，
∴a＋b＝(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))＝2＋ eq \f(b,2a)＋ eq \f(3a,2b)≥2＋2 eq \r(\f(b,2a)·\f(3a,2b))＝2＋ eq \r(3)(當(dāng)且僅當(dāng) eq \f(b,2a)＝ eq \f(3a,2b)即b＝ eq \r(3)a時等號成立).
[能力提升]
13．[2024·合肥一中高三測試]若a，b都是正數(shù)，則 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))的最小值為( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：C
解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))＝5＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(4a,b)≥5＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9(當(dāng)且僅當(dāng) eq \f(b,a)＝ eq \f(4a,b)即b＝2a時等號成立).
14.(多選)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，則( )
A．a(chǎn)2＋b2≥ eq \f(1,2) B．2a－b＞ eq \f(1,2)
C．lg2a＋lg2b≥－2 D． eq \r(a)＋ eq \r(b)≤ eq \r(2)
答案：ABD
解析：對于選項A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥ eq \f(1,2)，正確；對于選項B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝ eq \f(1,2)，正確；對于選項C，令a＝ eq \f(1,4)，b＝ eq \f(3,4)，則lg2 eq \f(1,4)＋lg2 eq \f(3,4)＝－2＋lg2 eq \f(3,4)＜－2，錯誤；對于選項D，∵ eq \r(2)＝ eq \r(2（a＋b）)，∴[ eq \r(2（a＋b）)]2－( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝a＋b－2 eq \r(ab)＝( eq \r(a)－ eq \r(b))2≥0，∴ eq \r(a)＋ eq \r(b)≤ eq \r(2)，正確．故選ABD.
15．(多選)已知a，b，c為正實數(shù)，則( )
A．若a＞b，則 eq \f(a,b)＜ eq \f(a＋c,b＋c)
B．若a＋b＝1，則 eq \f(b2,a)＋ eq \f(a2,b)的最小值為1
C．若a＞b＞c，則 eq \f(1,a－b)＋ eq \f(1,b－c)≥ eq \f(4,a－c)
D．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2的最小值為3
答案：BCD
解析：因為a>b，所以 eq \f(a,b)－ eq \f(a＋c,b＋c)＝ eq \f(c（a－b）,b（b＋c）)＞0，所以 eq \f(a,b)＞ eq \f(a＋c,b＋c)，選項A不正確；因為a＋b＝1，所以 eq \f(b2,a)＋ eq \f(a2,b)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)＋a))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,b)＋b))－(a＋b)≥2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝ eq \f(1,2)時取等號，所以 eq \f(b2,a)＋ eq \f(a2,b)的最小值為1，故選項B正確；
因為a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（a－b）＋（b－c）))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝2＋ eq \f(b－c,a－b)＋ eq \f(a－b,b－c)≥2＋2 eq \r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b－c＝a－b時取等號，所以 eq \f(1,a－b)＋ eq \f(1,b－c)≥ eq \f(4,a－c)，故選項C正確；
因為a2＋b2＋c2＝ eq \f(1,3)[(a2＋b2＋c2)＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)]≥ eq \f(1,3)(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝ eq \f(1,3)[(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]＝ eq \f(1,3)(a＋b＋c)2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時等號成立，所以a2＋b2＋c2的最小值為3，故選項D正確．
16．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．
答案：30
解析：一年的總運費為6× eq \f(600,x)＝ eq \f(3 600,x)(萬元).
一年的總存儲費用為4x萬元．
總運費與總存儲費用的和為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3 600,x)＋4x))萬元．
因為 eq \f(3 600,x)＋4x≥2 eq \r(\f(3 600,x)·4x)＝240，當(dāng)且僅當(dāng) eq \f(3 600,x)＝4x，即x＝30時取得等號，
所以當(dāng)x＝30時，一年的總運費與總存儲費用之和最?。?br>