2025屆高考數(shù)學一輪復習專練6 函數(shù)的概念及其表示（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

【基礎落實練】
1.(5分)(2024·三明模擬)已知集合A={x|-21)
C.f(x)=lg 12x-1(x>1)
D.f(x)=lg 12x+1(x>1)
【解析】選B.由題知x>0,令2x+1=t(t>1),
則x=2t-1,所以f(t)=lg 2t-1(t>1),
所以f(x)=lg 2x-1(x>1).
5.(5分)(2023·山東省部分學校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2x+1,x2,3x-1,x≤2,則( )
A.f(5)=1B.f(f(5))=1
C.f(3)=9D.f(f(3))=lg37
【解析】選AB.對于A,f(5)=lg3(5-2)=lg33=1,A正確;
對于B,f(f(5))=f(1)=30=1,B正確;
對于C,f(3)=lg3(3-2)=lg31=0,C錯誤;
對于D,f(f(3))=f(0)=3-1=13,D錯誤.
8.(5分)已知f(x)=x-1,則f(x)=________.
【解析】令t=x,則t≥0,x=t2,
所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).
答案:x2-1(x≥0)
9.(5分)已知函數(shù)f(x)=csx,x1,所以f(32)=-2×32+8=5.
因為00,lga>1或a≤0,(13) a-8>1,
解得a>10或a1,
則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2)∪(10,+∞).
答案:-7 (-∞,-2)∪(10,+∞)
15.(10分)已知函數(shù)f(x)=x21+x2.
(1)求f(2)與f(12),f(3)與f(13);
(2)由(1)中求得的結果,你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f(1x)有什么關系?證明你的發(fā)現(xiàn);
(3)求f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2 023)+f(12 023)的值.
【解析】(1)因為f(x)=x21+x2=1-1x2+1,
所以f(2)=1-122+1=45,
f(12)=1-114+1=15.
f(3)=1-132+1=910,
f(13)=1-119+1=110.
(2)由(1)中求得的結果發(fā)現(xiàn)f(x)+f(1x)=1.證明如下:
f(x)+f(1x)=x21+x2+1x21+1x2=x21+x2+1x2+1=1.
(3)由(2)知f(x)+f(1x)=1,
所以f(2)+f(12)=1,f(3)+f(13)=1,
f(4)+f(14)=1,…,f(2 023)+f(12 023)=1,
所以f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2 023)+f(12 023)=2 022.
16.(10分)行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫做剎車距離.在某種路面上,某種型號汽車的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)滿足下列關系:y=x2200+mx+n(m,n是常數(shù)).如圖是根據(jù)多次實驗數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)的關系圖.
(1)求出y關于x的函數(shù)解析式;
(2)如果要求剎車距離不超過25.2 m,求行駛的最大速度.
【解析】(1)由題意及題中函數(shù)圖象,
得402200+40m+n=8.4,602200+60m+n=18.6,解得m=1100,n=0,
所以y=x2200+x100(x≥0).
(2)令x2200+x100≤25.2,得-72≤x≤70.
因為x≥0,所以0≤x≤70,
故行駛的最大速度是70 km/h.
【素養(yǎng)創(chuàng)新練】
17.(5分)圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”,是甘肅禮縣出土的青銅器皿,其身流線自若、紋理分明,展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術.科研人員為了測量其容積,以恒定的流速向其內注水,恰好用時30 s注滿,設注水過程中,壺中水面高度為h,注水時間為t,則下面選項中最符合h關于t的函數(shù)圖象的是( )
【解析】選A.壺的結構為底端與上端細、中間粗,所以在注水速度恒定的情況下,開始水的高度增加得快,中間增加得慢,最后又變快,由題圖可知選項A符合題意.
18.(5分)(多選題)德國數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著,函數(shù)F(x)=1,x為有理數(shù),0,x為無理數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù).關于狄利克雷函數(shù),下列說法正確的
是( )
A.F(F(x))=0
B.對任意x∈R,恒有F(x)=F(-x)成立
C.任取一個不為0的實數(shù)T,F(x+T)=F(x)對任意實數(shù)x均成立
D.存在三個點A(x1,F(x1)),B(x2,F(x2)),C(x3,F(x3)),使得△ABC為等邊三角形
【解析】選BD.因為當x為有理數(shù)時,F(x)=1,當x為無理數(shù)時,F(x)=0,所以當x為有理數(shù)時,F(F(x))=F(1)=1,當x為無理數(shù)時,F(F(x))=F(0)=1,所以F(F(x))=1恒成立,故A錯誤.
因為有理數(shù)的相反數(shù)是有理數(shù),無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù),所以對任意x∈R,恒有F(x)=F(-x)成立,故B正確.
若x是有理數(shù),T是有理數(shù),則x+T是有理數(shù);若x是有理數(shù),T是無理數(shù),則x+T是無理數(shù);若x是無理數(shù),則x+T是無理數(shù)或有理數(shù).所以任取一個不為0的實數(shù)T,F(x+T)=F(x)不恒成立,故C錯誤.
取x1=-33,x2=0,x3=33,可得F(x1)=0,F(x2)=1,F(x3)=0,所以A(-33,0),B(0,1),C(33,0),恰好△ABC為等邊三角形,故D正確.