必 備 知 識1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)__________向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝________．若e1，e2________，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．把一個(gè)向量分解為兩個(gè)________的向量，叫做把向量作正交分解．
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
2．(教材改編)已知a＝(3，6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，則b＝(　　)A．(1，2) B．(－1，－2)　 C．(－1，2)　 D．(1，－2)
解析：由a＋3b＝(3，6)＋3(x，y)＝0得x＝－1，y＝－2.故選B.
解析：根據(jù)平面向量基底的定義知，兩個(gè)向量不共線即可作為基底．故選B.
5．(易錯(cuò))已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，0)，(0，1)，(2，1)，則其第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
答案：(3，0)或(1，2)或(－1，0)
1.了解平面向量基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．
問題思考·夯實(shí)技能　【問題1】　在給定基底的情況下，同一向量的分解形式是否唯一？
提示：唯一．若{e1，e2}是基底，且a＝λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，則必有λ1＝λ2，μ1＝μ2.
題后師說應(yīng)用平面向量基本定理的策略
鞏固訓(xùn)練1　(1)(多選)[2024·山東聊城模擬]已知e1，e2是平面向量的一組基底，則下列四組向量中，可以作為一組基底的是(　　)A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1C．e1＋e2和e1－e2 D．e1－2e2和4e2－2e1
題后師說(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，首先利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解．(2)向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來，引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．
(2)如圖，在4×4的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量m，n，p滿足p＝xm＋yn(x，y∈R)，則4x＋y＝________．
題型三 向量共線的坐標(biāo)表示角度一　利用向量共線求參數(shù)例 3 [2024·河北唐山模擬]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若(kb＋a)∥(b－a)，則實(shí)數(shù)k＝________．
解析：由a＝(1，2)，b＝(2，3)，得kb＋a＝(2k＋1，3k＋2)，b－a＝(1，1)，由(kb＋a)∥(b－a)，得(3k＋2)－(2k＋1)＝0，所以k＝－1.
答案：(10，－21)
題后師說平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略
1．[2024·河北保定模擬]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，則x＝(　　)A．9　　　 B．3 C．6　　　 D．5
解析：因?yàn)閍＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，所以2x＝3×4，解得x＝6.故選C.
3．[2024·河南平頂山模擬]已知向量a＝(1，－1)，b＝(m2，m)，則m＝－1是a∥b的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
解析：若a∥b，則m＋m2＝0，解得m＝－1或m＝0，則m＝－1是a∥b的充分不必要條件．故選A.

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