必 備 知 識1.向量共線與向量共面定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使________．(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使__________．2．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使得____________．
|a||b|cs 〈a，b〉
4．空間向量的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
6．空間位置關系的向量表示
(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
2．(教材改編)若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則下列各項中，能構成空間向量的基底的一組向量是(　　)A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}
3．(教材改編)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，則x＝________．
4．(易錯)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝(　　)A．9 B．－9C．－3 D．3
1.了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．2．掌握空間向量的線性運算、數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直．3．理解直線的方向向量與平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理．
問題思考·夯實技能【問題1】　“空間中任何兩個向量都是共面向量”，這個結論是否正確？
提示：正確．根據(jù)向量相等的定義，可以把向量進行平移，空間任意兩個向量都可以平移到同一平面內，成為共面向量．
【問題2】　類比平面向量基本定理寫出空間向量基本定理．
提示：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
題后師說用已知向量表示某一向量的三個關鍵點(1)要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．
題型二 空間向量基本定理的應用例2 (1)[2024·江西萍鄉(xiāng)模擬]若{a，b，c}構成空間的一個基底，則下列向量共面的是(　　)A．a＋b，a－b－c，3a－cB．a－2b，a＋c，－3b－cC．2a＋b，a－c，3a＋b－cD．a－2b，b＋c，3a－3b＋c
題型三 空間向量數(shù)量積及其應用例3 [2024·河北邯鄲模擬]如圖，在棱長為2的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°.(1)求線段AC1的長度；(2)求直線AC1與直線C1D的夾角的余弦值．
題后師說空間向量的數(shù)量積運算有兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算．
題后師說(1)利用向量法證明平行、垂直關系，關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?盡可能利用垂直條件，準確寫出相關點的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關定理．
鞏固訓練4如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點．(1)求證：BM∥平面ADEF；(2)求證：BC⊥平面BDE.
3．[2024·江蘇南通模擬]設向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，當m與n滿足下列哪種關系時，向量ma＋nb與x軸垂直(　　)A．3m＝2n B．3m＝nC．m＝2n D．m＝n
解析：∵a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，∴ma＋nb＝(3m－2n，5m＋n，2m＋3n)，取x軸的方向向量為e＝(1，0，0)，若向量ma＋nb與x軸垂直，則3m－2n＝0，解得3m＝2n.故選A.

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