1．空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：
(2)空間一點M的坐標(biāo)：空間一點M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的______，y叫做點M的______，z叫做點M的______．
2．空間向量的有關(guān)概念
3.數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個向量的數(shù)量積：a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉；a⊥b? __________(a，b為非零向量)；|a|2＝______．
(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算：
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
4.直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l____或____，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的____向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
5．空間位置關(guān)系的向量表示
6.異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
7.直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cs θ|＝________．
8．二面角的求法(1)如圖①，AB，CD是二面角αlβ兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝__________．
(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角αlβ的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cs θ＝_______________或__________________．
－cs 〈n1，n2〉
2．(基本方法：判斷空間中兩直線位置關(guān)系)在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是(　　)A．垂直 B．平行C．異面 D．相交但不垂直
3．(基本方法：空間向量與線面關(guān)系)設(shè)μ，ν分別是平面α，β的法向量，μ＝(－2，2，5)，當(dāng)ν＝(3，－2，2)時，α與β的位置關(guān)系為________；當(dāng)ν＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關(guān)系為________．答案：α⊥β　α∥β
4.(基本應(yīng)用：二面角大小與法向量夾角的大小關(guān)系)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，則二面角C-PB-D的大小為________．答案：60°
5．(基本能力：異面直線所成角的大小與方向向量的關(guān)系)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中點，則CA1與BD所成角的大小是________．
方法總結(jié) 用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．　　
解析：法一：令M為AC的中點，連接MB，MA1，由題意知△ABC是等邊三角形，所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC.因為平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM?平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.因為A1M?平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，
法二：如圖所示，在平面ABC，平面A1B1C1中分別取點D，D1，連接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四邊形ABDC，A1B1D1C1為平行四邊形，連接DD1，BD1，則AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其補(bǔ)角為異面直線AC1與A1B所成的角．連接A1D1，過點A1作A1M⊥AC于點M，連接BM，
類型 2　求線面角[例2]　(2020·高考山東卷節(jié)選)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.已知PD＝AD＝1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
類型 3　求二面角[例3]　(2019·高考全國卷Ⅱ)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值．
解析：(1)證明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.
方法總結(jié)利用向量法計算二面角大小的常用方法(1)法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小是銳角還是鈍角．(2)定義法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小．　　
解析：因為M，N分別為BC，B1C1的中點，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因為△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，所以B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
連接NP，則四邊形AONP為平行四邊形，
解析：依題意，以點A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E為棱PC的中點，得E(1，1，1).
解析：(1)證明：四邊形ADD1A1為正方形，連接A1B，D1E，AD1，A1D∩AD1＝F，則F是AD1的中點．又因為點E為AB的中點，連接EF，則EF為△ABD1的中位線，所以EF∥BD1.
又因為BD1?平面A1DE，EF?平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE.(2)根據(jù)題意得DD1⊥DA，D1D⊥DC，AD⊥DC，以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0).
設(shè)滿足條件的點E存在，令E(1，y0，0)(0≤y0≤2)，
方法總結(jié)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件．若滿足，則肯定假設(shè)；若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)．　　
[對點訓(xùn)練] (2020·湖南郴州模擬)如圖所示，在三棱錐P-ABC中，底面是邊長為4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別為AC，PC的中點．
解析：(1)證明：∵AB＝BC，E為AC的中點，∴BE⊥AC.又PA⊥平面ABC，BE?平面ABC，∴PA⊥BE.∵PA∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC.∵BE?平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.

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