目標導航
知識精講
知識點01 鄰補角與對頂角
1．鄰補角：
如果兩個角有一條 ，并且它們的另一邊互為 ，那么具有這種關系的兩個角叫做互為鄰補角．
注意：
(1)鄰補角的定義既包含了 關系，又包含了 關系：“鄰”指的是位置相鄰，“補”指的是兩個角的和為 ．
(2)鄰補角是 出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補角．
(3)互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角 互為鄰補角．
(4)鄰補角滿足的條件：①有 ；②有 ；另一邊互為 .
2. 對頂角及性質：
（1）定義：由兩條直線相交構成的四個角中，有 沒有 (相對)的兩個角，互為對頂角．
（2）性質：對頂角 ．
注意：
(1)由定義可知只有兩條直線相交時，才能產生對頂角．
(2)對頂角滿足的條件：① 的兩個角；②有 且一角的兩邊是另一角兩邊的 .
3. 鄰補角與對頂角的關系
注意：兩直線相交，一個角的對頂角有 個，但一個角與它相等的角有 個，鄰補角最多有
個，而補角則可以有 個；即對頂角和鄰補角，不僅包含數(shù)量關系，而且包含位置關系。
知識點02 垂線
1．垂線的定義：
兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是 時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的 ，它們的交點叫 ．
注意：
(1)記法：直線a與b垂直，記作： ；
直線AB和CD垂直于點O，記作： .
(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質，即有：
CD⊥AB．
2．垂線的畫法：
過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是：
①使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合；
②沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經過已知點；
③沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．
注意：
(1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在 的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．
(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為 ．
3．垂線的性質：
（1）在同一平面內，過一點 一條直線與已知直線垂直．
（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中， 最短．簡稱： ．
注意：
（1）性質（1）成立的前提是在“ ”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．
（2）性質（2）是“連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短．”實際上，連接直線外一點和直線上各點的線段有 ，但只有一條最短，即垂線段最短．在實際問題中經常應用其“最短性”解決問題．
4．點到直線的距離：
定義：直線外一點到這條直線的 ，叫做點到直線的距離．
注意：
點到直線的距離是 ，是一個 ，不能說垂線段是距離；
（2）求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的 ．
能力拓展
考法01 概念辨析
【典例1】判斷正誤：
（1）如果兩個角有公共頂點且沒有公共邊，那么這兩個角是對頂角（ ）
（2）如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角（ ）
（3）有一條公共邊的兩個角是鄰補角（ ）
（4）如果兩個角是鄰補角，那么它們一定互補（ ）
（5）有一條公共邊和公共頂點，且互為補角的兩個角是鄰補角（ ）
【即學即練】下列說法中正確的有_________________．
①如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角．
②如果兩個角有公共頂點且沒有公共邊，那么這兩個角是對頂角．③有一條公共邊的兩個角是鄰補角．
④如果兩個角是鄰補角，那么它們一定互為補角．
⑤有一條公共邊和公共頂點，且互為補角的兩個角是鄰補角．
【典例2】點到直線的距離是指（ ）
A．從直線外一點到這條直線的垂線段B．從直線外一點到這條直線的垂線，
C．從直線外一點到這條直線的垂線段的長D．從直線外一點到這條直線的垂線的長
【即學即練】有下列說法：
①兩條直線相交成四個角，如果兩個角相等，那么這兩條直線垂直；
②兩條直線相交成四個角，如果三個角相等，那么這兩條直線垂直；
③在同一平面內，過直線上一點可以作無數(shù)條直線與已知直線垂直；
④直線外一點到這條的垂線段，叫做點到直線的距離．
其中正確的說法有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
考法02 鄰補角與對頂角的應用
【典例3】如圖所示，直線和相交于點是一條射線．
（1）寫出的鄰補角：__________________；
（2）寫出的鄰補角：__________________；
（3）寫出的鄰補角：__________________；
（4）寫出的對頂角：___________________．
【典例4】如圖所示，有一個破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量的角是____度，你的根據(jù)是____________．
【即學即練】如圖，A、B、C為直線l上的點，D為直線l外一點，若，則的度數(shù)為______．
【即學即練】如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOD＋∠BOC＝240°，則∠BOC的度數(shù)為__________°．
【即學即練】如圖，過直線AB上一點O作射線OC、OD ，并且OD是∠ AOC的平分線，∠BOC=29°18′， 則∠BOD的度數(shù)為___________．
考法03 垂線的應用
【典例5】過點B畫線段AC所在直線的垂線段，其中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例6】如圖，計劃把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足為B，然后沿AB開渠，則能使所開的渠最短，這樣設計的依據(jù)是（ ）
A．垂線段最短B．兩點之間，線段最短
C．兩點確定一條直線D．兩點之間，直線最短
【即學即練】如圖所示，點P到直線l的距離是（ ）
A．線段PA的長度B．線段PB的長度C．線段PC的長度D．線段PD的長度
【即學即練】點是直線外一點，、、為直線上的三點，，，，則點到直線的距離（ ）
A．小于B．等于C．不大于D．等于
【典例7】如圖，下列說法不正確的是（ ）
A．點B到AC的垂線段是線段ABB．點C到AB的垂線段是線段AC
C．線段AD是點D到BC的垂線段D．線段BD是點B到AD的垂線段
【即學即練】如圖，，，表示點到直線距離的是線段（ ）的長度
A．B．C．D．
考法04 綜合應用
【典例8】如圖，已知直線AB和CD相交于O點，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，則∠BOD的大小為 _____．
【即學即練】如圖，已知直線AB和CD相交于O點，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝27°，則∠BOD的大小為_____．
【典例9】如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度數(shù)．
解：∵OE⊥AB（已知）
∴∠BOE（ ）
即∠1+∠2
又∵∠2=2∠1（已知）
∴∠1=______度
∴∠2=______度（等式性質）
∵∠2與∠AOC是對頂角（已知）
∴∠2=∠AOC（ ）
∵∠2=_______度（已證）
∴∠AOC=_________度（ ）
【即學即練】給下面命題的說理過程填寫依據(jù)．
已知：如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O，OF平分∠BOD，對∠EOF＝∠BOC說明理由．
理由：因為∠AOC＝∠BOD( )，
∠BOF＝∠BOD( )，
所以∠BOF＝∠AOC( )．
因為∠AOC＝180°－∠BOC( )，
所以∠BOF＝90°－∠BOC．
因為EO⊥CD( )，
所以∠COE＝90°( )
因為∠BOE＋∠COE＝∠BOC( )，
所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.
所以∠BOE＝∠BOC－90°( )
因為∠EOF＝∠BOE＋∠BOF( )
所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°∠BOC)（ ）
所以∠EOF＝∠BOC．
【典例10】如圖，直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度數(shù)；
(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數(shù)．
【即學即練】如圖：已知直線AB、CD相交于點O，∠COE=90°
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度數(shù)；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度數(shù)．
【即學即練】如圖，已知直線AB，CD相交于點O，射線OE把∠AOC分成兩部分．
（1）寫出圖中∠AOC的對頂角 ，∠COE的補角是 ；
（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度數(shù)．
分層提分
題組A 基礎過關練
1．圖中的∠1、∠2可以是對頂角的是( )
A．B．
C．D．
2．下列說法正確的有( )．
①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等．
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．如圖，在線段、、、中，長度最小的是（ ）
A．線段B．線段C．線段D．線段
4．如圖，經過直線l外一點A作l的垂線，能畫出（ ）
A．4條B．3條C．2條D．1條
5．如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠1＋∠2＝100°，則∠BOC等于（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
6．如圖，三條直線相交于點O．若CO⊥AB，∠1=56°，則∠2等于( )
A．30°B．34°C．45°D．56°
7．如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠DOB．若∠COB=35°，則∠AOD等于( ).
A．35°B．70°
C．110°D．145°
8．如圖所示，已知直線AB、CD相較于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，則∠BOD的度數(shù)是（ ）
A．20B．25°C．30°D．70°
題組B 能力提升練
1．如圖，與是對頂角，，，則______．
2．兩條直線相交所成的四個角中，有兩個角分別是(2x－10)°和(110－x)°，則x＝_____．
3．如圖，直線AD與BE相交于點O，∠COD=90°，∠COE=70°，則∠AOB= _______．

4．如圖，直線相交于點O，，且，則______．
5．如圖，計劃在河邊建一水廠，可過C點作CD⊥AB于D點．在D點建水廠，可使水廠到村莊C的路程最短，這樣設計的依據(jù)是________．
6．如圖，直線AB，AB相交于點O，OA平分∠EOC.若∠EOA∶∠EOD＝1∶3，則∠BOD＝______°.
7．如圖，已知直線和相交于點，是直角，平分，，則的大小為__________．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，兩直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，
（1）求∠COE；（2）若OF⊥OE，求∠COF．
2．如圖，直線AB，CD相交于點O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE
（1）判斷OF與OD的位置關系，并進行證明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數(shù)．
3．如圖，與交于點，，，若，求的度數(shù)．
解：，
，
，
又，
， ，
，
，
．
4．如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度數(shù)；
（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度數(shù)；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，請直接寫出∠AOC和∠BOF的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）
5．已知點A，B，O在一條直線上，以點O為端點在直線AB的同一側作射線，，使．
（1）如圖①，若平分，求的度數(shù)；
（2）如圖②，將繞點O按逆時針方向轉動到某個位置時，使得所在射線把分成兩個角．
①若，求的度數(shù)；
②若（n為正整數(shù)），直接用含n的代數(shù)式表示．
課程標準
1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關系，理解鄰補角和對頂角概念，掌握對頂角的性質；
2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質；
3.理解點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；
4.能依據(jù)對頂角、鄰補角及垂直的概念與性質，進行簡單的計算.
角的名稱
特 征
性 質
相 同 點
不 同 點
對頂角
①兩條直線相交形成的角；
②有一個 ；
③沒有 .
對頂角 .
①都是兩條直線相交而成的角；
②都有一個公共頂點；
③都是成對出現(xiàn)的.
①有無公共邊；
②兩直線相交時，對頂角只有2對；鄰補角有4對.
鄰補角
①兩條直線相交而成；
②有一個 ；
③有一條 .
鄰補角 .

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