青島版九年級上冊3.1 圓的對稱性精品第1課時(shí)課后練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一利用垂徑定理求值
1．如圖，是的直徑，是弦，，垂足為M，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A． B．C． D．
【答案】C
【分析】垂直于弦的的直徑平分弦及弦所對的兩條弧，根據(jù)垂徑定理即可進(jìn)行判斷，熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是的直徑，是弦，，垂足為M，
∴，，，
無法判斷，
故選：C
2．下列語句，錯(cuò)誤的是（）
A．直徑是弦B．過圓心的弦是直徑
C．平分弧的直徑垂直于弧所對的弦D．相等的圓心角所對的弧相等
【答案】D
【分析】考查了圓周角定理、垂徑定理以及弦弧的概念等知識．根據(jù)弦的定義、垂徑定理的推論、圓周角定理，即可求得答案．
【詳解】A. 直徑是弦，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
B. 過圓心的弦是直徑，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
C. 平分弧的直徑垂直于弧所對的弦，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
D. 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；
故選：D．
3．下列說法正確的是（）
A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧B．平分弦的直徑垂直于弦
C．垂直于直徑的直線平分這條直徑D．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心
【答案】D
【分析】根據(jù)垂徑定理對選項(xiàng)A、C進(jìn)行判斷，根據(jù)垂徑定理的推論對B、D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A．垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．垂直于直徑的弦被這條直徑平分，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，所以D選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理及垂徑定理的推論，掌握并理解定理的內(nèi)容是解答此題的關(guān)鍵
4．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，，，則（）
A．6B．C．9D．12
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?br>先根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理可計(jì)算出的長．
【詳解】解：，
，
在中，．
故選：C．
5．如圖，的半徑為3，圓心O到的距離為2，則弦的長為（）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂徑定理是解此題的關(guān)鍵．連接半徑，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出的長，從而求出的長．
【詳解】解：連接，過O點(diǎn)作于C，如圖，
于C，
，
在中，，，
，
．
故選：B．
6．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，，，則的長為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．根據(jù)垂徑定理推出，再利用勾股定理求出即可解決問題．
【詳解】解：，是直徑，，
，
在中，（），
（），
故選：．
7．如圖，是是直徑，是弦且不是直徑，，則下列結(jié)論不一定正確的是（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由于, 根據(jù)垂徑定理有, , 不能得出, 圓的半徑都相等.
【詳解】解：如圖所示，
∵,
∴, ,
的半徑都相等，那么
,
不能得出.
故選:.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容.
8．如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長為4米，半徑長為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦所在直線的距離是（）

A．1米B．2米C．米D．米
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
連接，交于D，由垂徑定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的長即可．
【詳解】連接，交于D，

由題意得：米，，
米，，
在中
米，
米，
即點(diǎn)C到弦所在直線的距離是米，
故選：C．
9．圖1為一個(gè)裝有液體的圓底燒瓶(厚度忽略不計(jì))，側(cè)面示意圖如圖2，其液體水平寬度為，豎直高度為，則的半徑為．
【答案】10
【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理．
由垂徑定理得到，設(shè)的半徑為，則，，在中，根據(jù)勾股定理有，代入即可解答．
【詳解】解：連接，

∵，
∴，
設(shè)的半徑為，則，
∴，
∵在中，，
即，
解得：，
∴的半徑為．
故答案為：10．
10．如圖，點(diǎn)，，，在圓上，弦和交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A．若平分，則B．若，則平分
C．若垂直平分，則圓心在上D．若圓心在上，則垂直平分
【答案】C
【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容和垂徑定理的推論的內(nèi)容進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、垂直于弦的直徑平分弦，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心，原說法正確，符合題意；
D、若也是直徑，則原說法不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及推論，解答時(shí)熟悉垂徑定理的內(nèi)容以及推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．
11．溫州有很多歷史悠久的石拱橋，它們是圓弧的橋梁．如圖是溫州某地的石拱橋局部，其跨度為24米，拱高為4米，則這個(gè)弧形石拱橋設(shè)計(jì)的半徑為米．
【答案】20
【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，找出石拱橋圓弧形的圓心，連接，設(shè)半徑為米，則米，由垂徑定理可得米，再由勾股定理計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：如圖，找出石拱橋圓弧形的圓心，連接，
，
設(shè)半徑為米，則米，
∵跨度為24米，，
∴米，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴這個(gè)弧形石拱橋設(shè)計(jì)的半徑為米，
故答案為：．
12．如圖1是博物館展出的古代車輪實(shí)物，《周禮·考工記》記載：“……故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸……”據(jù)此，我們可以通過計(jì)算車輪的半徑來驗(yàn)證車輪類型，請將以下推理過程補(bǔ)充完整．
如圖2所示，在車輪上取A，B兩點(diǎn)，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為．
作弦AB的垂線OC，D為垂足，則___________．
經(jīng)測量，，則___________；用含r的代數(shù)式表示___________．
在中，由勾股定理可列出關(guān)于r的方程：___________．解得．
通過換算，車輪直徑約為六尺六寸，可驗(yàn)證此車輪為___________之輪．（填“兵車”或“田車”）
【答案】，，，，兵車
【分析】根據(jù)垂徑定理，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：根據(jù)垂直弦的直徑平分弦可知：，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∴此車輪為：兵車之輪；
故答案為：，，，，兵車．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理．熟練掌握：垂直于弦的直徑，平分弦，是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB，垂足為E，已知CD＝6，AE＝1，求⊙O的半徑．
【答案】
【分析】連接，由垂徑定理可得，，設(shè)半徑為，由勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：連接，如下圖：
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB
∴
設(shè)半徑為，則
由勾股定理得：，即
解得
⊙O的半徑為
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理以及勾股定理解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．
14．如圖，排水管截面的半徑為5分米，水面寬6分米，，求水的最大深度．
【答案】1分米
【分析】本題考查對垂徑定理和勾股定理的熟練掌握以及對其在實(shí)際生活中的應(yīng)用，要求會(huì)根據(jù)所給條件求出某一直角邊或斜邊．關(guān)鍵在于直角三角形的創(chuàng)造及對題意水最大深度的實(shí)際求解．
【詳解】解：連接，
∵，
∴為直角三角形，
∵排水管截面的半徑為5分米，
∴，，
∵水面寬6分米，，
∴
在中，，
∴．
15．如圖，是一個(gè)高速公路的隧道的橫截面，若它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分，路面米，拱高米，求圓的半徑．
【答案】圓的半徑為米．
【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，利用垂徑定理求出的長，設(shè)米，得到米，再利用勾股定理建立方程即可求解．
【詳解】解：連接，
有，
路面米，
米，
設(shè)米，
拱高米，
米，
，
，
解得，
圓的半徑為米．
16．如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)E，若，，求弦的長．
【答案】．
【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等，連接，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)求出、的長，根據(jù)求出的長，利用勾股定理求出，即可得到的長．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵為的直徑，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
17．如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為15和12，大圓的一條弦有一半在小圓內(nèi)，則這條弦落在小圓內(nèi)部分的弦長等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，先畫出圖形，再利用垂徑定理與勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，記弦與圓的交點(diǎn)分別為，連接，
過作于，
∴，，
∵大圓的一條弦有一半在小圓內(nèi)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故選：D
18．⊙O的半徑是10，弦，，則弦與的距離是（）
A．2B．14C．2或14D．7或1
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用．作于E，于F，由垂徑定理得，由于，易得E、O、F三點(diǎn)共線，在和中，利用勾股定理分別計(jì)算出與，然后討論：當(dāng)圓心O在弦與之間時(shí)，與的距離；當(dāng)圓心O在弦與的外部時(shí)，與的距離．
【詳解】解：如圖，作于E，于F，連，
則，
∵，
∴E、O、F三點(diǎn)共線，
在中，，
在中，，
當(dāng)圓心O在弦與之間時(shí)，與的距離；
當(dāng)圓心O在弦與的外部時(shí)，與的距離．
所以與的距離是14或2．
故選：C．
19．如圖，直徑與弦交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)G，若，且，則的長度是（）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】此題考查了垂徑定理、解直角三角形等知識，求出,,即可得到的長度.
【詳解】解：∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)G，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴
∴
故選：C
20．如圖，將一裝有水的球形容器放在水平地面上，其軸截面為的一部分，為容器口，為水面，已知半徑為，將容器從甲處與地面平行時(shí)向右緩慢滾至乙處水面正好經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)（水無溢出），點(diǎn)A相對甲處時(shí)升高了多少厘米？（）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】如圖甲中，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．在圖乙中，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H．交于點(diǎn)J，作于點(diǎn)N．利用勾股定理求出，，證明，進(jìn)而證明，即可求解．
【詳解】解：如圖甲中，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．在圖乙中，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H．交于點(diǎn)J，作于點(diǎn)N．
如圖甲中，∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)A到水面的距離為，
如圖乙中，同法可得，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則有，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴此時(shí)點(diǎn)A到水平面的距離為，
∴點(diǎn)A相對甲處時(shí)升高了．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的相關(guān)知識，涉及垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等與相似三角形．
21．的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．
【答案】7cm或17cm．
【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．
【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝12?5＝7cm；
②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖2，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF＋OE＝17cm．
∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．

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