數(shù)學(xué)參考答案
2024.07
一、選擇題（共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分）
（1）B（2）B（3）C
（4）B
（5）A
（6）B（7）C（8）C
（9）D
（10）D
二、填空題（共 5 小題，每小題 4 分，共 20 分）
（11 ） 24（12） 0,1 ； 2
3
（13） 2n ? n ?1
（14） 0.7 ； 0.22（15）①③④
三、解答題（共 4 小題，共 40 分）
（16）（共 8 分）
解：（Ⅰ） f (x) 在(??,0) 上單調(diào)遞增，證明如下：因?yàn)?f (x) ? (x ?1)ex ? x2 ，
所以 f '(x) ? ex ? (x ?1)ex ? 2x ? xex ? 2x ? x(ex ? 2) ，又因?yàn)?x ?(??,0) ，從而ex ? 2 ?1? 2 ? 0 ，
所以 f '(x) ? x(ex ? 2) ? 0 ，
所以 f (x) 在(??,0) 上單調(diào)遞增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： f '(x) ? x(ex ? 2) ，因?yàn)?x ?(0, ??) ，
令 f '(x) ? 0 ，得 x ? ln 2 ．
f (x) 與 f '(x) 在區(qū)間(0, ? ?) 上的情況如下：
x
(0,ln 2)
ln 2
(ln 2, ? ?)
f '(x)
?
0
?
f (x)
↘
極小
↗
因?yàn)?f (0) ? (0 ?1)e0 ? 02 ? ?1 ? 0 ，
f (2) ? (2 ?1)e2 ? 22 ? e2 ? 22 ? 0 ，
所以由零點(diǎn)存在定理及 f (x) 單調(diào)性可知， f (x) 在(0, ??) 上恰有一個零點(diǎn)．
（17）（共 10 分）
解：（Ⅰ）記 A 表示“從甲生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品滿足 qA ? 1 且 qB ? 2 ”．
用頻率估計概率，則 P( A) ? 3 ．
10
所以該產(chǎn)品滿足 q ? 1 且 q ? 2 的概率為 3 .
AB10
（Ⅱ）由題意， X 的所有可能取值為0 ，1 ， 2 .
P( X ? 0) ?
5 ? 1 ? 1 ，
P( X ? 1) ?
5 ? 1 ? 5 ? 7 ? 1 ，
10 81610 81082
P( X ? 2) ?
5 ? 7 ? 7 .
10816
X
0
1
2
P
1
16
1
2
7
16
所以 X 的分布列為

所以 X 的數(shù)學(xué)期望為 EX ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? 2 ? 7
? 11 .
162168
（Ⅲ）甲生產(chǎn)線上的產(chǎn)品質(zhì)量更好，
因?yàn)榧咨a(chǎn)線上Q 值的平均值Q ? 0.80 ? 0.08 ，
甲10
乙生產(chǎn)線上Q 值的平均值Q ? 0.87 ? 0.1，
乙8
所以甲生產(chǎn)線上Q 值的平均值明顯比乙小，
所以甲生產(chǎn)線上的產(chǎn)品質(zhì)量更好．
其它理由：計算甲生產(chǎn)品的Q 值小于乙的概率 7 ? 4 ? 4+5+5+4+3+5+2+6 ? 9 ? 1
8 ?10162
（注：答案不唯一，理由需要支撐相應(yīng)結(jié)論，只計算甲乙方差不能作為理由。）
（18）（共 11 分）
解：（Ⅰ）當(dāng)a ? ?3, b ? ?1 時， f (x) ? x ? 3ln x ? 1 ，
x
f (1) ? 0 ，
所以 f '(x) ? 1 ? 3 ? 1 ，

xx2
所以 f '(1) ? ?1.
所以 曲線 y ? f (x) 在點(diǎn)(1, f (1)) 處的切線方程為 y ? ?x ?1.
（Ⅱ）因?yàn)?f (x) ? x ? a ln x ? b ， x ?(0, ??) .
x
abx2 ? ax ? b
所以 f '(x) ? 1 ???.
xx2x2
因?yàn)?f (x) 有兩個極值點(diǎn) x1, x2 ，
所以 f '(x) 有兩個大于 0 的變號零點(diǎn)，
所以方程 x2 ? ax ? b ? 0 有兩個不等正根，
?
?? ? a2 ? 4b ? 0?a2 ? ?4b
? 1 2
所以?x x ? ?b ? 0
，解得?b ? 0.
?x ? x
? ?a ? 0
?a ? 0
? 12?
又因?yàn)?f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ，
即有 x
? a ln x
? b ? x
? a ln x
? b ? 0 ，
11x22x
整理得(x
12
? x ) ? a ln(x x ) ? b x1 ? x2 ? 0 ，
121 2
代入 x1x2 ? ?b, x1 ? x2 ? ?a ，
x1x2
可得(?a) ? a ln(?b) ? b ?a ? 0 ，解得b ? ?1 .
?b
?a2 ? ?4b
?
又因?yàn)?a ? 0
，所以可得a ? ?2 .
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知b ? ?1 且a ? ?2 ，從而 f (x) ? x ? a ln x ? 1 ，
x
因?yàn)?f (x) ? ?x ?1在[1, ??) 上恒成立，
令 g(x) ? f (x) ? x ?1 ? 2x ? a ln x ? 1 ?1， x ?[1, ??) .
x
則有 g(x) ? 0 在[1, ??) 上恒成立，易得 g(1) ? 2 ? a ln1?1?1 ? 0 ，
a12x2 ? ax ? 1
因?yàn)?g '(x) ? 2 ???
xx2x2
，所以 g '(1) ? a ? 3，
令 h(x) ? 2x2 ? ax ? 1 ， x ?[1, ??) ， h ?1? ? 3 ? a ，對稱軸 x ?? a .
4
（1）當(dāng)?3 ? a ? ?2 時， h ?1? ? 3 ? a ? 0 ， x ? ? a ? 3 ，
44
所以 h(x) 在[1, ??) 單調(diào)遞增，從而 h(x) ? h(1) ? 3 ? a ? 0 恒成立，
所以 g '(x) ? h(x) ? 0 在[1, ??) 也恒成立，
x2
所以 g(x) 在[1, ??) 單調(diào)遞增，從而 g(x) ? g(1) ? 0恒成立.
（2）當(dāng) a ? ?3 時， h ?1? ? 3 ? a ? 0 ，
所以 2x2 ? ax ?1 ? 0 有兩個不等實(shí)根 x , x （不妨設(shè) x ? x ），
3 434
所以 x ? 1 ? x ，且當(dāng) x ?(1, x ) 時， h(x) ? 0 ，從而 g '(x) ? h(x) ? 0 ，
344x2
所以 g(x) 在[1, x4 ] 上單調(diào)遞減，
所以 g(x4 ) ? g(1) ? 0 ，與“ g(x) ? 0 在[1, ??) 上恒成立”矛盾！綜上， a 的取值范圍是[?3, ?2) .
（19）（共 11 分）
解：（Ⅰ） m ? 197 ， b1 ? 3 ， bm ? 199 .
（Ⅱ）因?yàn)閷θ我?? i ? j ?100 ，都有ai ? ai?1 ? 2i ? 2i?1 ? 2i?2 ? a1 ? ai?2 ，1 ? i ? 98 ，所以b1,b2 ,,bm 依次為
1
b ? 21 ? 22 ,
b ? 21 ? 23 ,b ? 22 ? 23 ,
23
,b ? 23
6
4
b ? 21 ? 24 ,? 24 ,
b ? 21 ? 25 ,,b ? 24 ? 25 ,
710
b ? 21 ? 26 ,,b ? 25 ? 26 ,
,b ? 26 ? 27 ,
21
1115
b16
? 21 ? 27 ,
20
所以b ? 25 ? 27 ? 160 .
（Ⅲ） jmin ? 25 .
先證明： j ? 25 .
方法 1：
考慮從aj?1, aj ,..., a100 這102 ? j 個數(shù)中任取2 個求和，這些和都不小于aj?1 ? aj ，
因?yàn)閍 ? a ? a? a ，所以2024 ? C2
? 4950 ，從而C2
? 2926 ，
ijj?1j
102? j
102? j
77
因?yàn)镃2
方法 2：
? 2926 ，所以102 ? j ? 76 ，即 j ? 25 ．
假設(shè) j ? 24 ，則i ? 23 .
則b2025 ? ai ? aj ? a23 ? a24 ，
因?yàn)闈M足am ? ak ? a23 ? a24 (m ? k) 的必要條件是m ? 23（因?yàn)槿鬽 ? 23 ，則
k ? 24 ，不等式不成立），
所以小于a23 ? a24 的和式至多有以下情況：
a1 ? a2 , a1 ? a3 ,, a1 ? a100 ；
a2 ? a3, a2 ? a3,, a2 ? a100 ；
……
a22 ? a23 , a22 ? a24 ,, a22 ? a100 ；
?99 ? 78?? 22
共 99+98+……+78=
2
? 1947 ? 2024 ，不合題意.
其次，證明存在符合要求的數(shù)列.
? 1 ?k ?1
k2
構(gòu)造：令a ? 1 ? ? ?
? ?
， k ? 1, 2,, 99 ， a100 ? 1 .
顯然滿足 a1 ? a2 ?? a100 ，
? 1 ?k ?1
且 ak ? a100 ? 2 ? ? 2 ?
? 1 ?k
? 2 ? ? 2 ?
? 1 ?k ?1
? ? 2 ?
? ak ?1 ? ak ?2 ， k ? 1, 2,, 98 .
? ?? ?? ?
此時， b2025 ? a24 ? a25 ，故 jmin ? 25 .
（注： an 構(gòu)造方法不唯一）

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