一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1. 已知全集，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依題意，，而，
所以.故選：D
2. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對(duì)于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A不是；
對(duì)于B，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B不是；
對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C是；
對(duì)于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，D不是.故選：C
3. 已知，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，?br>即，，
所以.
故選：A
4. 設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由條件概率可得,
所以,
故選：B
5. 已知，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由，，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
反之，，，，取，則，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
6. 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)榈耐?xiàng)公式為，
令得，所以的系數(shù)為.
故選：D.
7. 有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2臺(tái)加工的次品率為，將兩臺(tái)車床加工出來的零件混放在一起，已知第1臺(tái)，第2臺(tái)車床加工的零件占比分別為，，現(xiàn)任取一件零件，則它是次品的概率為（ ）
A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.090
【答案】B
【解析】記現(xiàn)任取一件零件它是次品為事件，
則.
故選：B
8. 某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品需經(jīng)過一，二，三，四共4道工序，現(xiàn)要從，，，，，這6名員工中選出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果員工不能安排在第四道工序，則不同的安排方法共有（ ）
A. 360種B. 300種C. 180種D. 120種
【答案】B
【解析】從6名員工中任選4人，安排在4道工序上工作的安排方法數(shù)為種，
其中員工在第四道工序工作的安排方法數(shù)為種，
所以不同的安排方法共有（種）.
故選：B
9. 設(shè)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為10，則（ ）
A. B. C. 6D. 16
【答案】C
【解析】由函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，得，則，
兩邊求導(dǎo)得，即，而，
則，
所以.故選：C
10. 已知函數(shù)；若方程恰有三個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
由，得，由，得，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，
當(dāng)時(shí)，取得極大值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，
觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，即方程恰有三個(gè)根，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11. 函數(shù)的定義域是_____________．
【答案】
【解析】對(duì)于函數(shù)，則，解得，
所以的定義域?yàn)?
故答案為：
12. 不等式的解集是_____________．
【答案】
【解析】因?yàn)?
所以或.
故答案為：
13. 某區(qū)高二年級(jí)4000名學(xué)生的期中檢測的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，則成績位于的人數(shù)大約是_________________．
（參考數(shù)據(jù)： ，）
【答案】1365
【解析】令高二年級(jí)4000名學(xué)生的期中檢測的數(shù)學(xué)成績?yōu)椋瑒t，其中，
則，
所以成績位于的人數(shù)大約是.
故答案為：1365
14. 已知命題： 函數(shù)為上的增函數(shù)．能說明為假命題的一組，的值為_________________，_________________．
【答案】①2 ②0（答案不唯一，滿足均可）
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，
則由函數(shù)為上的增函數(shù)，得，
即命題為真命題時(shí)，，因此為假命題時(shí)，，
能說明為假命題一組，的值可以為，.
故答案為：2；0
15. 已知函數(shù)，關(guān)于以下四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)的值域?yàn)椋?br>②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根；
③當(dāng)，時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)根為，，則為定值；
④當(dāng)，時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)根為，，則．
則所有正確結(jié)論的序號(hào)為_________________．
【答案】①②④
【解析】對(duì)于①，函數(shù)，由于，故，
因此函數(shù)的值域?yàn)?，①正確；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，方程，解得或，
而，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，不妨令，，則，
則，由于在上單調(diào)遞增，
故隨的增大而增大，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，不妨令，，
則，④正確，
所以所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②④.
故答案為：①②④
三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
16. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由于為奇函數(shù)，則對(duì)于定義域內(nèi)任意，都有成立，
即，即恒成立，而當(dāng)時(shí)，
所以.
（2）當(dāng)，時(shí)，，
由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值為4.
17. 某班級(jí)的所有學(xué)生中，課前是否預(yù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的人數(shù)情況如下表所示．
現(xiàn)從該班所有學(xué)生中隨機(jī)抽取一人：
（1）求抽到預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容的概率；
（2）若抽到的同學(xué)是男生，求他預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容的概率；
（3）試判斷“抽到的同學(xué)是男生”與“抽到的同學(xué)預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容”是否相互獨(dú)立，并說明理由．
解：（1）設(shè)抽到預(yù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的同學(xué)為事件A，抽到的同學(xué)是男生為事件B，
由數(shù)表知，該班共有40名同學(xué), 預(yù)習(xí)了本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的學(xué)生有29人，
則.
（2）依題意，，因此，
所以抽到的同學(xué)是男生，他預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容的概率為.
（3）由數(shù)表知，，，，，
所以“抽到同學(xué)是男生”與“抽到的同學(xué)預(yù)習(xí)了本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容”不相互獨(dú)立.
18. 為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號(hào)召，并開展閱讀活動(dòng)．開學(xué)后，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，調(diào)查這100名學(xué)生的假期日均閱讀時(shí)間（單位：分鐘），得到了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）若該校共有2000名同學(xué)，試估計(jì)該校假期日均閱讀時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)；
（2）開學(xué)后，學(xué)校從日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取了6名學(xué)生作為代表進(jìn)行國旗下演講．若演講安排在第二，三，四周（每周兩人，不重復(fù)）進(jìn)行．求第二周演講的2名學(xué)生至少有一名同學(xué)的日均閱讀時(shí)間處于的概率；
（3）用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
解：（1）由頻率分布直方圖知，各組頻率依次為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
則100人的樣本中假期日均閱讀時(shí)間的頻率為，
估計(jì)該校學(xué)生假期日均閱讀時(shí)間在內(nèi)的頻率為0.4.
所以估計(jì)該校假期日均閱讀時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為人.
（2）閱讀時(shí)間在，，的頻率依次為：0.3，0.2，0.1，
則在，，抽取的人數(shù)依次為3人，2人，1人，
設(shè)第二周演講的2名學(xué)生至少有一名同學(xué)的日均閱讀時(shí)間處于為事件A，
所以.
（3）從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則此人假期日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的概率為，
隨機(jī)變量的可能取值為，得，
則，
，
，
，
所以的分布列為
數(shù)學(xué)期望為.
19. 某農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商計(jì)劃分別在甲、乙兩個(gè)市場銷售某種農(nóng)產(chǎn)品（兩個(gè)市場的銷售互不影響），為了了解該種農(nóng)產(chǎn)品的銷售情況，現(xiàn)分別調(diào)查了該農(nóng)產(chǎn)品在甲、乙兩個(gè)市場過去10個(gè)銷售周期內(nèi)的銷售情況，得下表：
（1）從過去10個(gè)銷售周期中隨機(jī)抽取一個(gè)銷售周期，求甲市場銷售量為4噸的概率；
（2）以市場銷售量的頻率代替銷售量的概率．設(shè)（單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場的總銷售量，求隨機(jī)變量概率分布列；
（3）在（2）的條件下，設(shè)該經(jīng)銷商計(jì)劃在下個(gè)銷售周期購進(jìn)噸該產(chǎn)品，在甲、乙兩個(gè)市場同時(shí)銷售，已知該產(chǎn)品每售出1噸獲利1000元，未售出的產(chǎn)品降價(jià)處理，每噸虧損200元．以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應(yīng)選用哪一個(gè)．
解：（1）設(shè)甲市場銷售量為4噸的事件為A，則.
（2）設(shè)甲市場銷售量為噸的概率為，乙市場銷售量為噸的概率為，
則由題意得，，；
，，，
設(shè)兩個(gè)市場總需求量為的概率為，所有可能的取值為6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
（3）由（2）知，，，
當(dāng)時(shí)，銷售利潤，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此的分布列為：
則元；
當(dāng)時(shí)，，，，
銷售利潤，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因此的分布列為：
則元；
因?yàn)?，所以?yīng)選.
20. 已知函數(shù)．
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）定義：若，均有，則稱函數(shù)為函數(shù)的控制函數(shù)．
①，試問是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”？并說明理由；
②，若為函數(shù)的“控制函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1），所以，
解得或，可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，或，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為；
（2）①是“控制函數(shù)”，理由如下，
由得，
可得，，
因?yàn)闀r(shí)，恒成立，
即恒成立，
所以函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”；
②若為函數(shù)的“控制函數(shù)”，
則，恒成立，
即，恒成立，
令，，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在有極小值，，，
所以.
21. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）寫出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（直接寫出結(jié)果）．
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
求導(dǎo)得，
而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，，
①當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，
因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，函數(shù)上上單調(diào)遞增；
④當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，
因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，.
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
，因此函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在，上遞增，
當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，
而從大于0的方向趨近于0時(shí)，趨近于負(fù)無窮大，因此有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，，因此有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上遞增，在遞減，
當(dāng)時(shí)，取得極在值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，
而趨近于正無窮大時(shí)，趨近于正無窮大，因此有唯一零點(diǎn)；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn).男生
女生
預(yù)習(xí)了所學(xué)內(nèi)容
12
17
沒預(yù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容
6
5
0
1
2
3
銷售量
銷售周期個(gè)數(shù)
市場
3噸
4噸
5噸
甲
3
4
3
乙
2
5
3
6
7
8
9
10
0.06
0.23
0.35
0.27
0.09
0.06
0.06
0.71

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