1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因為，，
所以，
故選：D.
2. 已知命題p：“”，則為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】特稱命題的否定是全稱命題．
命題p：“”，的否定為：．
故選：C．
3. 已知等差數(shù)列，則等于（ ）
A. B. 0C. 2D. 5
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，所以，解得：，.
故選：B.
4. 已知事件A，B相互獨(dú)立，，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為事件A，B相互獨(dú)立，
所以，
所以，
故選：B.
5. 在數(shù)列中，，（），則的值為（ ）
A. -2B. C. D.
【答案】D
【解析】數(shù)列 中，由 ， ，得 ，
同理可得 ， ，...，
所以 ，則 .
故選：D.
6. 函數(shù)在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由知，故.
由于的斜率為，故在點處的切線斜率為.
所以，故，得.
故選：A.
7. 已知函數(shù)，則下列選項正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
當(dāng)時，，
所以是單調(diào)遞增函數(shù)，
因為，所以.
故選：D.
8. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項和為，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】，
而，所以，充分性成立；
反過來若，
若，
則一定有，
所以，，故，必要性成立；
也就是說，已知數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的充分必要條件.
故選：C.
9. 若函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)的范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
則函數(shù)有且僅有兩個零點等價于函數(shù)圖象與直線有且僅有兩個交點.
又，
則當(dāng)時，，
得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值.
又時，，據(jù)此可得大致圖象如下：
則.
故選：C

10. 數(shù)列的通項公式為（），前n項和為，給出下列三個結(jié)論：
①存在正整數(shù)，使得；
②存正整數(shù)，使得；
③記，則數(shù)列有最大項和最小項.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意，數(shù)列的通項公式為，
令，即，解得或（舍去），即，
所以，即存在正整數(shù)，使得，所以①正確；
由，存在正整數(shù)，使得，
所以②正確；
由數(shù)列的通項公式為，
可得，且當(dāng)時，，
所以，
所以當(dāng)時，數(shù)列有最小項，
當(dāng)時，數(shù)列有最大項，所以③正確.
故選：A.
第二部分（非選擇題 共60分）
二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．
11. 函數(shù)的定義域為_____________.
【答案】
【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，
故答案為： .
12. 已知函數(shù)定義域為，為其導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，且，，則不等式的解集為________．
【答案】
【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
因為，，當(dāng)時，，
即不等式的解集為；
故答案：
13. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則_____________.
【答案】
【解析】由是等比數(shù)列，知.
所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則__________，過點且與曲線相切的直線方程為_______________.
【答案】①4 ②
【解析】的導(dǎo)數(shù)為，
，解得，故，即；
設(shè)過點且與曲線相切，切點為，且，
故切線斜率為，即切線方程為，
切線方程過點，代入方程可得，解得或，
當(dāng)時，直線方程為；
當(dāng)時，直線方程為.
故答案為：4，.
15. 已知，函數(shù)有兩個極值點，給出下列四個結(jié)論：
①可能是負(fù)數(shù)；
②；
③為定值；
④若存在，使得，則.
其中所有正確結(jié)論的序號是___________．
【答案】②③④
【解析】對于①，，
因為函數(shù)有兩個極值點，
所以有兩個相異實根，這意味著，
否則時，，即單調(diào)遞增，這與已知矛盾，
若，則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在的條件下，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有兩個極值點，故①錯誤；
對于②，是方程的兩根，從而，故②正確；
對于③，，
故③正確；
對于④，若存在，使，
即關(guān)于的不等式有解，
而沒有最大值，
故原命題等價于關(guān)于的不等式有解，
令,
而函數(shù)的最小值為1，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，即滿足題意，
即若存在，使得，則，故④正確.
故答案為：②③④.
三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若對都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）由，所以.
得或.
當(dāng)變化時，在各區(qū)間上的正負(fù)，以及的單調(diào)性如下表所示.
所以當(dāng)時取極大值；當(dāng)時取極小值.
（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則在上的最小值.
對都有恒成立，所以.
17. 已知等差數(shù)列的前n項和為， 從條件①、條件②和條件③中選擇兩個作為已知，并完成解答.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，證明數(shù)列的前n項和．
條件①，條件②，條件③.
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
解：（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
當(dāng)選①②時：，
解得，
所以的通項公式，．
選①③時，
解得，
所以的通項公式，．
選②③時，
解得，
所以的通項公式，．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
因為，所以.
18. 某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.

（1）求的值；
（2）若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）以頻率估計概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的概率.
解：（1）依題意可得，解得；
（2）由（1）可得高度在和的頻率分別為和，
所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，
所以可取0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列為：
所以；
（3）從所有花卉中隨機(jī)抽取3株，
記至少有2株高度在為事件，
則.
19. 已知函數(shù).
（1）求證：當(dāng)時，；
（2）當(dāng)時，若曲線在曲線的上方，求實數(shù)a的取值范圍.
解：（1）令，
.
由得，于是，故函數(shù)是上的增函數(shù).
所以當(dāng)時，，即；
（2）當(dāng)時，由（1）知，滿足題意.
令，則.
當(dāng)時，若，，
則在上是減函數(shù).
所以時，，不合題意.
當(dāng)時，，則在上是減函數(shù)，
所以，不合題意.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍.
20. 若數(shù)列對任意的，均滿足，則稱為“速增數(shù)列”.
（1）已知數(shù)列是首項為1公比為3 的等比數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說明理由；
（2）若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，，，，求正整數(shù)k的最大值.
解：（1）數(shù)列是“速增數(shù)列”，理由如下：
由，則，
，
因為，故，
所以數(shù)列是“速增數(shù)列”；
（2）數(shù)列為“速增數(shù)列”，，，，
任意項，
時，
，
即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故正整數(shù)k的最大值為63.
＋
0
－
0
＋
↗
極大
↘
極小
↗
0
1
2

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