?通州區(qū)2022—2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)期末質(zhì)量檢測(cè)
數(shù)學(xué)試卷
2023年7月
本試看共4頁，共150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1. 二項(xiàng)式的展開式的第3項(xiàng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式定理求出第3項(xiàng)作答.
【詳解】二項(xiàng)式的展開式的第3項(xiàng)為.
故選：C
2. 4名學(xué)生與1名老師站成一排照相，學(xué)生請(qǐng)老師站在正中間，則不同的站法種數(shù)為（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】在老師左右兩邊的各兩個(gè)位置讓4名學(xué)生站即可作答.
【詳解】依題意，4名學(xué)生站在老師的左右兩邊的各兩個(gè)位置，
所以不同的站法種數(shù)為.
故選：C
3. 已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可得到答案.
【詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得，
故選：A.
4. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求導(dǎo)求單調(diào)性即可求解.
【詳解】，令，解得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
故選：C
5. 已知離散型隨機(jī)變量的分布列為，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的定義即可得到答案.
【詳解】由題意得，則，
故選：B.
6. 將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲4次，恰好出現(xiàn)3次正面朝上的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】由題意，將一枚均勻硬幣隨機(jī)擲4次，每次正面向上的概率均為，且相互獨(dú)立，
由次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次概率計(jì)算公式得：
恰好出現(xiàn)3次正面向上的概率為．
故選：D．
7. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求得其圖象的對(duì)稱軸，再根據(jù)曲線的對(duì)稱性，即可求解答案．
【詳解】由題意，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，即圖象的對(duì)稱軸為，
又由，則，則，
則，
故選：A．
8. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球得分的規(guī)則是：命中得1分，不命中得0分．已知某籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，設(shè)其罰球一次的得分為，則（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，列出分布列，再利用期望、方差定義計(jì)算作答.
【詳解】依題意，的分布列為：

0
1

0.2
0.8
因此.
故選：D
9. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在區(qū)間上單調(diào)遞增
②在區(qū)間上單調(diào)遞減
③在處取得最大值
④在處取得極小值
其中結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定的圖象求出大于0或小于0的x取值范圍，再逐一判斷各個(gè)命題作答.
詳解】觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，①錯(cuò)誤，②正確；
函數(shù)在處取得極大值，由于函數(shù)的值情況未給出，不一定是最大值，③錯(cuò)誤；
在處取得極小值，④正確，
所以結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)是2.
故選：B
10. 已知函數(shù)為其定義城上的單調(diào)函數(shù)．則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)給定的單調(diào)性建立不等式，分離參數(shù)求出最值作答.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，恒成立，
而函數(shù)在上的值域?yàn)?，因此不存在滿足條件；
若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，恒成立，
而當(dāng)時(shí)，，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11. 在2道代數(shù)題和3道幾何題中．每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回．設(shè)“第一次抽到代數(shù)題”，“第二次抽到幾何題”．則________；________．
【答案】 ①. ##0.3 ②. ##0.75
【解析】
【分析】利用古典概率求出，再利用條件概率公式計(jì)算作答.
【詳解】依題意，，，所以.
故答案為：；
12. 二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________．
【答案】70
【解析】
【分析】根據(jù)給定的條件，利用二項(xiàng)式定理求解作答.
【詳解】二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：70
13. 函數(shù)的零點(diǎn)是_________，極值點(diǎn)是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】令即可求得零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)定義可得結(jié)果.
【詳解】令，解得：，的零點(diǎn)是；
由題意知：定義域?yàn)椋?br /> ，令，解得：；
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
的極值點(diǎn)為.
故答案為：；.
14. 已知一個(gè)三位數(shù)，如果滿足個(gè)位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都大于十位上的數(shù)字，那么我們稱該三位數(shù)為“凹數(shù)”，則沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為________．（用數(shù)字作答）
【答案】240
【解析】
【分析】按照十位上的數(shù)字情況分類，結(jié)合排列問題列式計(jì)算作答.
【詳解】依題意，無重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”，十位數(shù)字只能為之一，
個(gè)位和百位上的數(shù)字為從比對(duì)應(yīng)十位數(shù)字大的數(shù)字中任取兩個(gè)進(jìn)行排列，
所以沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為：
.
故答案為：240
15. 已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)存在4個(gè)極值點(diǎn)；
②；
③若點(diǎn)，為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則；
④若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并判斷其單調(diào)性，判斷極值點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷①；比較導(dǎo)數(shù)值大小判斷②；求出兩段的函數(shù)值集合判斷③；由方程根的情況，數(shù)形結(jié)合求出a的范圍判斷④作答.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，共4個(gè)，①正確；
因?yàn)椋矗阱e(cuò)誤；
函數(shù)在處取得極大值，而，當(dāng)時(shí)，恒有，則當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)處取得極小值，因此當(dāng)時(shí)，，
于是，③正確；
由，得或，由解得，
因此關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)方程有一個(gè)非0實(shí)根，
即直線與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與的圖象，如圖，

觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，
解得或，于是所求實(shí)數(shù)的取值范圍是，④正確，
所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.
故答案為：①③④
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.
三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16. 已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，極大值，極小值；
（2）最大值為，最小值為1.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值作答.
（2）結(jié)合（1）中單調(diào)性，求出給定區(qū)間上最大值作答.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，極大值，極小值.
【小問2詳解】
由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，
因此，，
所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為1.
17. 袋中有4個(gè)白球.2個(gè)黑球．從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．
（1）若每次抽取后不放回，求連續(xù)抽取3次至少取到1個(gè)黑球的概率；
（2）若每次抽取后放回，求連續(xù)抽取3次恰好取到1個(gè)黑球的概率．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用超幾何分布、結(jié)合古典概率列式計(jì)算作答.
（2）求出一次抽取抽到黑球的概率，再利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式計(jì)算作答.
【小問1詳解】
設(shè)抽取3次，取到黑球的個(gè)數(shù)為，因?yàn)槊看纬槿『蟛环呕?，結(jié)果不獨(dú)立，則服從超幾何分布，
所以連續(xù)抽取3次至少取到1個(gè)黑球的概率為：
.
【小問2詳解】
設(shè)抽取3次，取到黑球的個(gè)數(shù)為，因?yàn)槊看纬槿『蠓呕?，結(jié)果獨(dú)立，則服從二項(xiàng)分布，
而袋中有4個(gè)白球、 2個(gè)黑球，因此每次抽取后放回，連續(xù)抽取3次，每次取到黑球的概率為，
所以連續(xù)抽取3次恰好取到1個(gè)黑球的概率為.
18. 某學(xué)校為了解高一新生的體質(zhì)健康狀況．對(duì)學(xué)生的體質(zhì)進(jìn)行了測(cè)試，現(xiàn)從男、女生中各隨機(jī)抽取20人作為樣本，把他們的測(cè)試數(shù)據(jù)整理如下表，規(guī)定：數(shù)據(jù)≥60，體質(zhì)健康為合格．
等級(jí)
數(shù)據(jù)范圍
男生人數(shù)
女生人數(shù)
優(yōu)秀

4
6
良好

6
6
及格

7
6
不及格
60以下
3
2

（1）估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生體質(zhì)健康等級(jí)為合格的概率；
（2）從樣本等級(jí)為優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行再測(cè)試，設(shè)抽到的女生數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，期望為
（3）
【解析】
【分析】（1）利用頻率估計(jì)概率即可；
（2）的可能取值為0，1，2，3，分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)的概率即可，最后利用期望公式即可；
（3）根據(jù)概率乘法公式和加法公式即可得到答案.
【小問1詳解】
由表可知，樣本中合格的學(xué)生數(shù)為:，
樣本總數(shù)為:，所以估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生體質(zhì)健康等級(jí)為合格的概率.
【小問2詳解】
依題意的可能取值為0，1，2，3.
所以，，
，，
所以的分布列為：

0
1
2
3





所以.
【小問3詳解】
設(shè)“該校高一年級(jí)男生體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀”為事件，“該校高一年級(jí)女生體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀”為事件，
所以.
所以隨機(jī)抽取的3人中，2人健康等級(jí)是優(yōu)秀的為男生的概率為；
隨機(jī)抽取的3人中，2人健康等級(jí)是優(yōu)秀的為1個(gè)男生1個(gè)女生的概率為

所以估計(jì)這3人中恰有2人健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率為.
19. 已知函數(shù)，
（1）若在區(qū)間上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）若，求證：對(duì)于任意，恒有．
【答案】（1）；
（2）1； （3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)作答.
（2）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷作答.
（3）把代入，對(duì)所證不等式作等價(jià)變形，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推理作答.
【小問1詳解】
函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此是的極小值點(diǎn)，依題意，，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
由得，由得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而當(dāng)時(shí)，，即有，因此上沒有零點(diǎn)，
顯然，即函數(shù)在上存在1個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，，，
于是要證，即證，只需證，
令函數(shù)，求導(dǎo)得，
由，得，由，得，即在上遞減，在上遞增，
因此，則，，即，
所以對(duì)于任意，恒有.
20. 已知函數(shù)，R．
（1）當(dāng)，時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)，時(shí)，求在區(qū)間上的最大值：
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)．判斷在上是否存在極值．若存在．指出是極大值還是極小值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）答案見詳解 （3）答案見詳解
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；
（2）在的范圍內(nèi)對(duì)分類討論求出的最大值即可；
（3）利用二次求導(dǎo)方法研究在區(qū)間上單調(diào)性即可求解.
【小問1詳解】
由已知得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br /> 則曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率為，切點(diǎn)為，
所以切線方程為，即；
【小問2詳解】
由已知得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，令，解得，
令，即，令，即，
①當(dāng)時(shí)，即，在區(qū)間單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上的最大值為；
②當(dāng)時(shí)，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上的最大值為；
③當(dāng)，即，在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上的最大值為；
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，，，
則，
令，則，
因?yàn)?，所以?br /> 所以在區(qū)間單調(diào)遞減，
當(dāng)無限趨近于時(shí)，無限趨近于正無窮，且，
①當(dāng)，即時(shí)，，
在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上無極值；
②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上有一個(gè)極大值，無極小值，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極大值，無極小值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：注意分類討論思想在研究含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題中的應(yīng)用，在處理隱零點(diǎn)問題時(shí)一般采用虛設(shè)零點(diǎn)的方法求解.
21. 為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競(jìng)賽，每位參賽學(xué)生可答題若干次，答題賦分方法如下：第一次答題，答對(duì)得2分，答錯(cuò)得1分；從第二次答題開始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得1分．學(xué)生甲參加這次答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率為，且每次答題結(jié)果互不影響．
（1）求學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分的概率；
（2）設(shè)學(xué)生甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為．
（?。┣?，，；
（ⅱ）寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）；
（ⅲ）若，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）（?。?，，；（ⅱ）；（ⅲ）5.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算作答.
（2）（?。┓謩e求出得分的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，再利用期望的定義計(jì)算即可；（ⅱ）根據(jù)（?。┑慕Y(jié)果寫出等量關(guān)系作答；（ⅲ）利用（ⅱ）的結(jié)論，借助構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)方法求出，再解不等式作答.
【小問1詳解】
學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分的概率，即為學(xué)生甲前三次答題中僅只答對(duì)一次的概率，
設(shè)“學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分”為事件，
所以.
【小問2詳解】
（i）學(xué)生甲第1次答題得2分、1分的概率分別為，所以，
甲第2次答題得4分、2分、1分的概率分別為，
所以，
甲第3次答題得8分、4分、2分、1分的概率分別為，
所以.
（ii）由（i）知，，，
當(dāng)時(shí)，甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的期望為，則第次答對(duì)題所得分?jǐn)?shù)，答錯(cuò)題所得分?jǐn)?shù)為1，
其概率分別為，于是甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的期望為，
因此與滿足的等量關(guān)系式是：.
（iii）由（i）知，由（ii）知，
因此，即數(shù)列以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，即，由，得，
整理得，而，數(shù)列是遞增數(shù)列，因此，
所以的最小值是5.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問題.

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