1. 下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心．
【詳解】解：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心．
由定義可判定A、C、D選項(xiàng)的圖形不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B選項(xiàng)的圖形是中心對稱圖形，符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形，熟知中心對稱圖形定義是解題的關(guān)鍵．
2. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式即可求解．
【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，關(guān)鍵是熟記：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
3. 如圖，點(diǎn)A，B，C在上，連接．若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓周角定理解答即可.
【詳解】解：∵，
∴；
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半是解題關(guān)鍵.
4. 一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 沒有實(shí)數(shù)根D. 無法確定
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)進(jìn)行計(jì)算判斷即可得到答案．
【詳解】解：，
，
一元二次方程的根的情況是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒有實(shí)數(shù)根．
5. 如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)同圓中等弧所對的圓心角相等得到，再根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧與圓心角的關(guān)系，熟知同圓中等弧所對的圓心角相等是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，則∠AOB＇的度數(shù)是（ ）
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
【答案】B
【解析】
【詳解】解：∵將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，
故選B．
7. 已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，則為（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接求解即可得到答案．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．
8. △ABC與⊙O交于D、E、C、B，∠A＝40°，∠C＝60°，則∠AED的度數(shù)（ ）
A. 60°B. 40°C. 80°D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BDE的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠AED的度數(shù)．
【詳解】解：∵△ABC與⊙O交于D、E、C、B，
∴四邊形BCED是圓內(nèi)接四邊形．
∴∠C+∠BDE＝180°．
∵∠C=60°，
∴∠BDE＝180°﹣60°＝120°．
∵∠A=40°，
∴∠AED＝∠BDE-∠A=120°﹣40°＝80°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
9. 如圖，與相切于點(diǎn)與相交于點(diǎn)，若，則的半徑為（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)切線性質(zhì)，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【詳解】解：∵與相切于點(diǎn)，
∴，
∴，
設(shè)的半徑長為，
由勾股定理得，解得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，涉及勾股定理，熟練掌握圓的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合列方程是解決問題的關(guān)鍵．
10. 如圖，點(diǎn)A是上一定點(diǎn)，點(diǎn)B是上一動點(diǎn)、連接、、、分別將線段、繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，連接，，，，下列結(jié)論正確的有（ ）
①點(diǎn)在上；②；③；④當(dāng)時(shí)，與相切．
A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】可證得和是等邊三角形，可推出，從而得出①正確；根據(jù)“邊角邊”可證得②；根據(jù)②可推出，進(jìn)一步得出③正確；作，可推出，進(jìn)而得出，結(jié)合可推出點(diǎn)C和點(diǎn)B重合，進(jìn)而得出④正確，從而得出結(jié)果．
【詳解】解：，，
是等邊三角形，
同理可得，
是等邊三角形，
①是等邊三角形，
，
∴點(diǎn)在上，故①正確，
，
，
在和中，
，故②正確，
③由②知，，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，故③正確，
④如圖，
過點(diǎn)O作于C，
是等邊三角形，
，
，，
垂直平分，
∴，
，
，
和重合，
，
是的切線，故④正確，
綜上所述：①②③④均正確，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．
二、填空題
11. 一元二次方程的解為________．
【答案】
【解析】
分析】利用直接開方法解該方程即可．
【詳解】解：，
，
∴
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法和步驟是解題關(guān)鍵．
12. 設(shè)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求解即可．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查拋物線上的點(diǎn)的特征求未知數(shù)，理解題意是解題關(guān)鍵．
13. 如圖所示的圖案由三個(gè)葉片組成，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°后可以和自身重合，若每個(gè)葉片的面積為4cm2，∠AOB=120°，則圖中陰影部分的面積為__________．
【答案】4 cm2
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圖形的特點(diǎn)解答．
【詳解】每個(gè)葉片的面積為4cm2，因而圖形的面積是12cm2．
∵圖案繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°后可以和自身重合，∠AOB為120°，∴圖形中陰影部分的面積是圖形的面積的，因而圖中陰影部分的面積之和為4cm2．
故答案為4cm2．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與重合，理解旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義是解決本題的關(guān)鍵．注：旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．
14. 在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場，共比賽28場，設(shè)共有個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】每一隊(duì)需要與其余的個(gè)隊(duì)比賽一場，且參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間只比賽一場，因此有個(gè)隊(duì)參賽，比賽場數(shù)為場，據(jù)此列方程即可.
詳解】解：設(shè)共有個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，抓住比賽場數(shù)問題的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
15. 《九章算術(shù)》是東方數(shù)學(xué)思想之源，該書中記載：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何．”其意思為：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，問該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少步．”該問題的答案是________步．
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．
【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為=17，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由面積法
r= 3（步），即直徑為6步，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．
16. 如圖，已知為⊙的直徑，直線與⊙相切于點(diǎn)，于點(diǎn)，交⊙于點(diǎn)．若，，則__________．

【答案】
【解析】
【分析】連接，，根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)證明，，繼而證明，得到，代入已知線段，求出，再利用勾股定理即可得到結(jié)果．
【詳解】解：如圖，連接，．
則，
又，
∴，
∵為直徑，
∴，
∵直線與⊙相切于點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍），即，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
三、解答題
17. 計(jì)算：．
【答案】4
【解析】
【分析】先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡絕對值和乘法，再計(jì)算加減即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、化簡絕對值、二次根式的乘法運(yùn)算．掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，﹣1）、B（1，﹣3）、C（4，﹣4），
（1）作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A1B1C1；
（2）寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)．
【答案】（1）詳見解析；（2）A1（﹣2，1）、B1（﹣1，3）、C1（﹣4，4）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中心對稱的定義作出三頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，再順次連接可得；
（2）由所作圖形可得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）由圖知點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣2，1）、B1的坐標(biāo)為（﹣1，3）、C1的坐標(biāo)為（﹣4，4）．
【點(diǎn)睛】此題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
19. 已知二次函數(shù)．
（1）求證：無論為何值，該二次函數(shù)的圖象與軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若該二次函數(shù)圖象的對稱軸為軸，求它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）見解析 （2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可求出二次函數(shù)相關(guān)一元二次方程的根的判別式，即證明無論為何值，該二次函數(shù)的圖象與軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式可求出k的值為0，即得出該二次函數(shù)為，令，解出x的值，即得出它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：令，則，
∴，
∴一元二次方程，無論為何值，都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴二次函數(shù)，無論為何值，其圖象與軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；
【小問2詳解】
解：∵該二次函數(shù)圖象的對稱軸為軸，
∴，
解得：，
∴該二次函數(shù)為．
令，則，
解得：，，
∴它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的對稱軸公式．掌握二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為時(shí)，一元二次方程有實(shí)根問題，理解二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵，是一個(gè)比較典型的題目．
20. 如圖，△中，點(diǎn)在邊上，，將線段繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接，與交于點(diǎn)．
（1）若，求的長；
（2）若，，求的度數(shù)．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，再由，可得，可證明，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解．
【小問1詳解】
證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接．

（1）求證：直線是的切線；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）由等邊對等角得出，由角平分線的定義得出，即得出，可證，結(jié)合題意即可證，得出直線是的切線；
（2）結(jié)合題意可求出，即得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得出，，從而得出．由直徑所對圓周角為直角得出，即可求出，進(jìn)而可求出．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴直線是的切線；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵為直徑，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴（舍去負(fù)值），
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識．本題的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．
22. 近年來，在物聯(lián)網(wǎng)場景下，工業(yè)“數(shù)字孿生”技術(shù)成為一個(gè)研究熱點(diǎn)，其利用數(shù)字技術(shù)對物體、系統(tǒng)、流程的信息進(jìn)行實(shí)時(shí)映射，完成虛擬仿真過程，從而顯著減輕工業(yè)領(lǐng)域技術(shù)創(chuàng)新和決策優(yōu)化研究中面臨的重資產(chǎn)和高成本負(fù)擔(dān)，某企業(yè)準(zhǔn)備借助“數(shù)字孿生”技術(shù)對，兩個(gè)生產(chǎn)性項(xiàng)目進(jìn)行投資，根據(jù)其生產(chǎn)成本、銷售情況等因素進(jìn)行分析得知：投資項(xiàng)目一年后的收益（萬元）與投入資金（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：，投資項(xiàng)目一年后的收益（萬元）與投入資金（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：．
（1）若將10萬元資金投入項(xiàng)目，一年后獲得的收益是多少？
（2）若對，兩個(gè)項(xiàng)目投入相同的資金萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則的值是多少？
（3）2023年，我國對小微企業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策．該企業(yè)將根據(jù)此政策獲得減免稅款及其他結(jié)余資金共計(jì)32萬元，全部投入到，兩個(gè)項(xiàng)目中，當(dāng)，兩個(gè)項(xiàng)目分別投入多少萬元時(shí)，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？
【答案】22. 一年后獲得的收益是20萬元
23.
24. 當(dāng)項(xiàng)目投入28萬元，B項(xiàng)目投入4萬元，一年后獲得的收益之和最大，最大值是80萬元．
【解析】
【分析】（1）將代入求解即可；
（2）聯(lián)立，，解出x的值即得出答案；
（3）設(shè)一年后獲得的收益之和為w，投入B項(xiàng)目萬元，則投入A項(xiàng)目萬元，根據(jù)題意可求出w與的關(guān)系式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
解：將代入，得：，
答：一年后獲得的收益是20萬元；
【小問2詳解】
解：由題意可知，即，
解得：（舍），，
∴，兩個(gè)項(xiàng)目投入相同的資金為8萬元，即；
【小問3詳解】
解：設(shè)一年后獲得的收益之和為w，投入B項(xiàng)目萬元，則投入A項(xiàng)目萬元，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為80．
．
答：當(dāng)項(xiàng)目投入28萬元，B項(xiàng)目投入4萬元，一年后獲得的收益之和最大，最大值是80萬元．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．理解題意，掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
23. 新定義：同一個(gè)圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦．

（1）如圖1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分別為，．求證：四邊形是正方形；
（2）如圖2，弦與弦交于點(diǎn)，，．
①求證：，是⊙的等垂弦；
②連接，若，，求的長度．
【答案】（1）見解析 （2）①見解析；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂直的定義及等垂弦定義推出四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理得出，即可判定矩形是正方形；
（2）①連接，由圓心角、弦的關(guān)系及全等三角形的判定和性質(zhì)可得，由圓周角定理可得，，可得結(jié)論；
②連接并雙向延長交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，根據(jù)題意得出為等腰直角三角形，再由垂直平分線的判定和性質(zhì)得出，利用平行線的判定和性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵，是的等垂弦，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，是的等垂弦，
∴，
∵，，
∴，
∴矩形是正方形；
【小問2詳解】
①證明：連接，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴、是的等垂弦．
②連接并雙向延長交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，如圖所示：

由①得，，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
24. 對于一個(gè)函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)函數(shù)的自變量為時(shí)，函數(shù)值也是，我們稱該函數(shù)為智能函數(shù)，點(diǎn)為智能函數(shù)上的智能點(diǎn)．
（1）判斷函數(shù)是否為智能函數(shù)；
（2）二次函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，且，若無論為何值，該函數(shù)都是智能函數(shù)，求的取值范圍；
（3）在第（）問的前提下，若、為函數(shù)上的智能點(diǎn)，且、關(guān)于直線對稱，求的最小值．
【答案】（1）函數(shù)為智能函數(shù)；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）根據(jù)題意，找出智能點(diǎn)即可求解；
（）把二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系即可；
（）根據(jù)求函數(shù)的最值即可．
【小問1詳解】
是智能函數(shù)，理由：
設(shè)智能點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴當(dāng)函數(shù)的自變量為時(shí)，函數(shù)值也是，即智能點(diǎn)，
∴函數(shù)為智能函數(shù)；
【小問2詳解】
令時(shí)，，
∵二次函數(shù)與軸交于，兩點(diǎn)，
∴，，
∴，則有，
∴二次函數(shù)為，
∵恒有智能點(diǎn)，
∴方程有解，
即，恒成立，
設(shè)，
∴，
，
，
∵，無論為何值，該函數(shù)都是智能函數(shù)，
∴，
∵，
∴的取值范圍為；
【小問3詳解】
設(shè)方程的兩個(gè)根為，，
整理得：
則，
∵、為函數(shù)上的智能點(diǎn)，
∴由題意可得、兩點(diǎn)的直線為，
∵、關(guān)于直線對稱，，
∴，且中點(diǎn)在該直線上，
∴設(shè)中點(diǎn)，代入可得：，
則，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)和一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)和一元二次方程及其應(yīng)用．
25. 二次函數(shù)（、、是常數(shù)）與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，圖象頂點(diǎn)為點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)、、三點(diǎn)，且．
（1）求證：為等邊三角形；
（2）若，求的面積；
（3）若直線與相切，求值．
【答案】（1）見詳解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）不妨設(shè)（時(shí)情況類似），由拋物線的對稱性知，且平分，則，由，得，即，從而問題得證；
（2）求出拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離及頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則可分別求得，由可求得，則可得，即可求得的面積；
（3）設(shè)直線切于點(diǎn)N，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)F，連接，設(shè)圓的半徑為r；則可得，另一方面可得，即有；由題意得都是等腰直角三角形，則易得，，，即，消去r，即可得與的關(guān)系，而，由此可求得結(jié)果．
【小問1詳解】
證明：不妨設(shè)，連接，如圖所示，（時(shí)情況類似），

依題意，得，且平分，
∴，
，
，
∴，
為等邊三角形；
【小問2詳解】
解：時(shí)，二次函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
由求根公式得：，，
則，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，，
故頂點(diǎn)，
如（1）中圖，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，

為等邊三角形，，
，
，，
∴，
，
，
，，
，
，
，
故；
【小問3詳解】
解：設(shè)直線切于點(diǎn)N，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)F，連接，設(shè)圓的半徑為r，如圖；

由（2）知，，則，
∴，
設(shè)的兩個(gè)解為，
由求根公式得：，，
則，
∴；
∵直線是二、四象限的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
即，
∵，且，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，圓的切線性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．同時(shí)本題有較大的運(yùn)算量，對學(xué)生的運(yùn)算能力提出了更高的要求．

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