（本試卷共6頁，25題，全卷滿分：120分，考試用時：120分鐘）
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，將答題卡上交.
一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1.下列圖形中，不是中心對稱圖形的是（ ）
A.等邊三角形B.平行四邊形C.正方形D.圓
2.在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（ ）
A.B.C.D.
3.下列說法正確的是（ ）
A.三點確定一個圓
B.平分弦的直徑垂直于弦，并平分弦所對的弧
C.三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等
D.相等的圓心角所對的弧也相等
4.對于的性質(zhì)，下列敘述正確的是（ ）
A.頂點坐標(biāo)為B.對稱軸為直線
C.當(dāng)時，有最大值2D.當(dāng)時，隨增大而減小
5.若，是一元二次方程的兩根，則的值是（ ）
A.13B.C.14D.
6.若二次函數(shù)（）中，函數(shù)與自變量的部分對應(yīng)值如表，則方程的一個解的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
7.關(guān)于的一元二次方程的根的情況為（ ）
A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根
C.無實數(shù)根D.無法確定根的情況
8.如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線；分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線.直線與相交于點，若以點為圓心，為半徑作圓，則下列說法錯誤的是（ ）
A.點在上B.是的外心
C.是的弦D.是的切線
9.反比例函數(shù)與二次函數(shù)（）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）
A. B.
C. D.
10.如圖，在正方形中，是上一動點，是的中點，繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得，連接，，.下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤若正方形的邊長為4，則點在射線上運動時，有最小值.其中正確的結(jié)論有（ ）
A.2個B.3個C.4個D.5個
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11.一個正多邊形的中心角為36°，則這個正多邊形的邊數(shù)是______.
12.如圖，中，，，，于點，以點為圓心，5為半徑作，則點在______.（填“外”“內(nèi)”或“上”）.
13.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)是氣球體積的反比例函數(shù)，且當(dāng)時，.當(dāng)氣球內(nèi)的氣體壓強(qiáng)大于時，氣球?qū)⒈?，為確保氣球不爆炸，氣球的體積應(yīng)不小于______.
14.如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是______..
15.如圖，是的直徑，點是外一點，過點的兩條直線分別與圓相切于點，，點是圓周上任意一點，連接，，若，則______.
16.如圖，已知為四邊形的外接圓，為圓心，若，，則的半徑長為______.
三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17.（6分）計算：.
18.（6分）解方程.
（1）
（2）
19.（6分）如圖，在中，為上一點，且，，.
（1）求證：；
（2）若的面積為18，求的面積.
20.（8分）湘江是湖南最大的河流，湖南的簡稱“湘”因此而來，她流經(jīng)永州、衡陽、株洲、湘潭、長沙等市，至岳陽注入洞庭湖，干流全長844公里，流域面積94660平方公里.在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測量湘江某段的寬度（假設(shè)兩岸是平行的），如圖，某學(xué)生在河?xùn)|岸點處觀測河對岸的點，測得在北偏西30°的方向上，沿河岸向北前行500米到達(dá)處，測得在北偏西60°的方向上.
（1）求的長；
（2）求此段湘江的寬度.（參考數(shù)據(jù)：，）
21.（8分）某學(xué)校準(zhǔn)備開設(shè)籃球、足球、排球、游泳等4項體育特色課程，為了解學(xué)生的參與情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的報名情況（每人選報一個項目），小穎根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）請將圖形補(bǔ)充完整；
（2）若該學(xué)校共有學(xué)生1000名，請估計參加“游泳”的有多少人？
（3）有4名優(yōu)秀同學(xué)（兩男兩女）通過初選順利進(jìn)入了游泳選拔賽，學(xué)校將推薦2名同學(xué)參加市級新一輪比賽.請用畫樹狀圖或列表法求出參加市級比賽的兩人恰為一男一女的概率.
22.（9分）如圖，為的直徑，點，都在上，，交于點，點在的延長線上，且.
（1）若的半徑為4，求的長；
（2）求證：為的切線；
（3）若且，求的半徑.
23.（9分）興農(nóng)農(nóng)場準(zhǔn)備利用如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用長的籬笆圍成一個矩形家禽養(yǎng)殖場（籬笆只圍，兩邊），并在，兩邊上各開一個寬的門，設(shè)，養(yǎng)殖場的面積為.
（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求的最大值；
（3）若在直角墻角內(nèi)點處有一水池，且與墻，的距離分別是，，要將這個水池圍在矩形養(yǎng)殖場內(nèi)（含邊界，不考慮水池的尺寸），則養(yǎng)殖場的面積能否為？若能，求出的值；若不能，請說明理由.
24.（10分）如圖，拋物線交軸負(fù)、正半軸于，兩點，交軸于點，連接，，的外接圓的圓心為.
備用圖
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）在段的拋物線上是否存在一點，使，若存在請求出點坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（3）圓上是否存在點，使與相似？若存在，直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
25.（10分）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，我們把經(jīng)過拋物線（）與軸的交點且平行于軸的直線稱為這條拋物線的平割線.
（1）拋物線的平割線與這條拋物線的交點坐標(biāo)為______；
（2）經(jīng)過點和（）的拋物線與軸交于點，它的平割線與該拋物線另一個交點為，請用含的代數(shù)式表示點的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點為，直線垂直平分，垂足為，交該拋物線的對稱軸于點.
①當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；
②若直線與直線關(guān)于平割線對稱，是否存在使點到直線的距離與點到直線的距離相等的的值？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由.
2023—2024學(xué)年九年級上學(xué)期12月份質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. A 2. D 3. C 4. B 5. A 6. C 7. A 8. D 9. C 10. B
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11. 10 12.內(nèi) 13. 0.5 14. 71 15. 36 16.
三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17.【答案】原式………………（4分）（每計算對一個計1分）
………………（6分）
18.【答案】
（1）………………（1分）
或………………（2分）
，………………（3分）（少或錯一個，扣1分）
（2）………………（4分）
或………………（5分）
，………………（6分）（少或錯一個，扣1分）
19.【答案】（1）解：，，
，，………………（1分）
又，；………………（3分）
（2），，………………（4分）
，，………………（5分）
.………………（6分）
20.【答案】（1）過點作，交的延長線于點，
由題意得，，，（米），
，………………（2分）
，（米）
即的長為500米. ………………（4分）
（2）由（1）得，（米），
在中，，………………（6分）
解得：（米）.
此段湘江的寬度約為433米. ………………（8分）（不作答扣1分）
21.【答案】（1）本次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人）.
參加排球項目的學(xué)生人數(shù)為（人）.
條形統(tǒng)計圖如圖所示：
………………（2分）
（2）（人）
參加“游泳”的人數(shù)大約為350人. ………………（4分）
（3）將兩名男生分別記為，，兩名女生分別記為，，畫樹狀圖如下：
………………（6分）
共有12種等可能的結(jié)果，其中參加市級比賽的兩人恰為一男一女的結(jié)果有：
，，，，，，，，共8種，
參加市級比賽的兩人恰為一男一女的概率為.………………（8分）
22.【答案】（1）解：，為的直徑，
，，………………（1分）
的長為，………………（3分）
（2）證明：如圖，連接，
，，
，，
，，
，即，
，
是半徑，為的切線；………………（6分）
（3）設(shè)的半徑，則，
，
在中，由勾股定理得，，
，………………（8分）
解得，或（舍去），
的半徑為6. ………………（9分）
23.【答案】（1）依題意得，，………………（1分）
，
關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為；………………（3分）
（2），………………（4分）
，.………………（6分）
（3）若養(yǎng)殖場的面積為，則，
解得，或，………………（8分）
根據(jù)題意，，且，
，
當(dāng)時，養(yǎng)殖場的面積為.………………（9分）（未舍去，扣1分）
24.【答案】（1）拋物線交軸于點，，………………（1分）
，
，，，………………（2分）
代入解析式得，，解得，
該二次函數(shù)的解析式為；………………（3分）
（2）存在；二次函數(shù)的解析式為，，
，設(shè)，
點在段的拋物線上，，
如圖，過作軸于，
則：
，………………（5分）
，解得，或（舍去），
點坐標(biāo)為；………………（6分）
（3）存在；如圖，
拋物線，，
，，
的垂直平分線是拋物線的對稱軸，
是直角三角形，與相似，
是直角三角形，
不是直徑，點是的直徑的一個端點，
①當(dāng)是直角，則是直徑，，
，，
，，，
設(shè)點，，解得，或（舍去），，
，直線的式為，
設(shè)點，
，解得，或（舍去），；
②當(dāng)時，同①的方法即可得出；
綜上，滿足條件的，.………………（10分）（每個結(jié)果2分）
25.【答案】（1）和；………………（2分）（每個結(jié)果1分）
拋物線的對稱軸為直線，與軸交點為，
平割線為；
平割線與這條拋物線的一個交點坐標(biāo)為，則另一個交點坐標(biāo)為.
（2）拋物線經(jīng)過點，
，，
，
對稱軸為直線，點的坐標(biāo)為.………………（4分）
（3）①設(shè)與對稱軸交于點，若，則，
，或，
當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，
點的坐標(biāo)為，
點的坐標(biāo)為或；………………（7分）（對1個且無錯得2分）
②存在，的值為0，或.………………（10分）（每個結(jié)果1分）
如圖，設(shè)與對稱軸的交點為，
由（2）知，，，
，
拋物線的平割線：，
直線垂直平分，直線：，
點到直線的距離為，
直線與直線關(guān)于平割線對稱，
直線：，
，
點到直線的距離為，
點到直線的距離與點到直線的距離相等，
，
或.
…
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
…
…
1.49
0.91
0.41
…

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