1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的相關(guān)運(yùn)算及空間距離的求解.
2．利用空間向量的相關(guān)定理及推論進(jìn)行空間向量共線、共面的判斷.
知識(shí)點(diǎn)1 空間向量的有關(guān)概念
1．在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模．
注：數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。
2. 表示法：
（1）幾何表示法：空間向量用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示空間向量的模
（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則a也可記作eq \(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
3．幾類特殊的空間向量
注意點(diǎn)：
(1)平面向量是一種特殊的空間向量．
(2)兩個(gè)向量相等的充要條件為長(zhǎng)度相等，方向相同．
(3)向量不能比較大?。?br>(4)共線向量不一定具備傳遞性，比如0．
易錯(cuò)辨析：
（1）空間向量就是空間中的一條有向線段？答：有向線段是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來(lái)．
（2）單位向量都相等？答：?jiǎn)挝幌蛄块L(zhǎng)度相等，方向不確定
（3）共線的單位向量都相等? 答：共線的單位向量是相等向量或相反向量
（4）若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓？答：將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)球
（5）任一向量與它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的．
（6）若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反？答：|a|＝|b|只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等而方向不確定
（7）若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))滿足|eq \(AB,\s\up6(→))|>|eq \(CD,\s\up6(→))|，則eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→))？答：向量不能比較大小
（8）空間中，a∥b，b∥c，則a∥c？答：平行向量不一定具有傳遞性，當(dāng)b＝0時(shí)，a與c不一定平行
（9）若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p？答：向量的相等滿足傳遞性
（10）若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同？答：當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等；但當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，不一定起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同
知識(shí)點(diǎn)2 空間向量的線性運(yùn)算
（一）空間向量的加減運(yùn)算
注意點(diǎn)：
（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；
（2）求向量和時(shí)，可以首尾相接，也可共起點(diǎn)；求向量差時(shí)，可以共起點(diǎn)．
（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，
即：
因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，
即：；
（二）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
注意點(diǎn)：
(1)當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0．
(2)λ的正負(fù)影響著向量λa的方向，λ的絕對(duì)值的大小影響著λa的長(zhǎng)度．
(3)向量λa與向量a一定是共線向量．非零向量a與λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．
(4)由于向量a，b可平移到同一個(gè)平面內(nèi)，而平面向量滿足數(shù)乘運(yùn)算的分配律，所以空間向量也滿足數(shù)乘運(yùn)算的分配律．
(5)根據(jù)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算的定義，結(jié)合律顯然也成立．
(6)實(shí)數(shù)與空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±a無(wú)法運(yùn)算．
知識(shí)點(diǎn)3 共線向量與共面向量
1．共線向量與共面向量的區(qū)別
2.直線l的方向向量
如圖O∈l，在直線l上取非零向量a，設(shè)P為l上的任意一點(diǎn)，則?λ∈R使得eq \(OP,\s\up7(―→))＝λa.
定義：把與a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．
3.與空間向量的線性運(yùn)算相關(guān)的結(jié)論
(1)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)).
(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，有eq \(AC1,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→)).
(3)若O為空間中任意一點(diǎn)，則
①點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)的充要條件是eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))；
②若G為△ABC的重心，則eq \(OG,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))．
易錯(cuò)辨析：
（1）若兩個(gè)空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量?
答：空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.所以，任意兩個(gè)空間向量總是共面，而三個(gè)向量可能共面也可能不共面
在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線？
答：在平面內(nèi)共線的向量在空間一定共線
在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線？
答：在空間共線的向量，平移到同一平面內(nèi)一定共線
1、空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的解題策略
(1)兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件．
(2)空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念．熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類問(wèn)題的關(guān)鍵．
2、解決空間向量線性運(yùn)算問(wèn)題的方法
進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是在正確運(yùn)用向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行向量求和，即通過(guò)作出向量，運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則求和．運(yùn)算的關(guān)鍵是將相應(yīng)的向量放到同一個(gè)三角形或平行四邊形中．
注：(1)向量減法是加法的逆運(yùn)算，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．
首尾相連的若干向量構(gòu)成封閉圖形時(shí)，它們的和向量為零向量．
3、空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．
4、利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧
(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．
(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．
5、空間向量線性運(yùn)算中的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
6、判定空間圖形中的兩向量共線技巧
要判定空間圖形中的兩向量共線，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊形，并利用向量運(yùn)算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使其中一個(gè)向量表示為另一個(gè)向量的倍數(shù)關(guān)系，即可證得這兩向量共線．
7、證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法
(1)eq \(PA,\s\up7(―→))＝λeq \(PB,\s\up7(―→)) (λ∈R)．
(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋teq \(AB,\s\up7(―→)) (t∈R)．
(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→)) (x＋y＝1)．
8、解決向量共面的策略
(1)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有eq \(AP,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))或eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→)) (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．
(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來(lái)表示．
9、證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的等價(jià)結(jié)論
(1) eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OM,\s\up7(―→)) (x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up7(―→))∥eq \(AB,\s\up7(―→)) (或eq \(PA,\s\up7(―→))∥eq \(MB,\s\up7(―→))或eq \(PB,\s\up7(―→))∥eq \(AM,\s\up7(―→)))．
10、證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較
考點(diǎn)一：空間向量的概念辨析
例1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）.
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
變式1．【多選】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．空間向量與的長(zhǎng)度相等
B．平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量
C．若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓
D．空間任意三個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底
變式2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中是假命題的是（ ）
A．任意向量與它的相反向量不相等
B．和平面向量類似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小
C．如果，則
D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同
變式3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（ ）
A．若兩個(gè)空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量
B．若，則?的長(zhǎng)度相等且方向相同
C．若向量?滿足，且與同向，則
D．若兩個(gè)非零向量與滿足，則.
變式4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）．
A．B．C．D．
例2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，
(1)試寫出與相等的所有向量；
(2)試寫出的相反向量；
(3)若，求向量的模．
變式1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知為平行六面體，若以此平行六面體的頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)，求：
（1）與相等的向量；
（2）與相反的向量；
（3）與平行的向量．
變式2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平行六面體中，下列四對(duì)向量：①與；②與；③與；④與.其中互為相反向量的有n對(duì)，則n等于( )
A．1B．2C．3D．4
變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中
①+與1+1是一對(duì)相反向量；
②-1與-1是一對(duì)相反向量；
③1+1+1+1與+++是一對(duì)相反向量；
④-與1-1是一對(duì)相反向量．
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
考點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算
例3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是三個(gè)不共面向量，已知向量則_________.
例4．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，等于（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量的是（ ）.
①；②；③；④.
A．①②B．②③C．③④D．①④
變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)如圖的平行六面體，化簡(jiǎn)下列各式：
(1)；
(2).
變式3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知平行六面體，則下列四式中：
①；
②；
③；
④．
正確的是__________．
例5．（2023春·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）在斜三棱柱中，的中點(diǎn)為，，則 可用表示為_______________．
變式1．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，．點(diǎn)M在OA上，且滿足，N為BC的中點(diǎn)，則（ ）

A．B．C．D．
變式2．（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）四面體中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
變式3．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在上，且，設(shè)，，．則（ ）

A．B．
C．D．
例6．（2023秋·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末）在四面體中，是棱的中點(diǎn)，且，則的值為__________.
變式1．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（ ）
A．B．1C．D．2
變式2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體 中，點(diǎn)E是上底面 的中心，若，求 的值．
考點(diǎn)三：空間向量共線問(wèn)題
空間向量共線的判斷
例7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）下列向量中，真命題是______．（填序號(hào)）
①若A、B、C、D在一條直線上，則與是共線向量；
②若A、B、C、D不在一條直線上，則與不是共線向量；
③向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一條直線上；
④向量與是共線向量，則A、B、C三點(diǎn)必在一條直線上．
變式1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，O為上一點(diǎn)，且，BD與AC交于點(diǎn)M.求證：三點(diǎn)共線．
變式2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知、、、、、、、、為空間的個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：．
例8．（2023春·福建莆田·高二?？茧A段練習(xí)）已知不共線向量，，，，，，則一定共線的三個(gè)點(diǎn)是（ ）
A．B．
C．D．
變式1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知M，N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點(diǎn)，且.求證：B，G，N三點(diǎn)共線.
由空間向量共線求參數(shù)值
例9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量，，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
變式1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為________．
變式2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且A， B， D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值．
變式3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若，，，且A，C，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為______.
空間共線向量定理的推論及其應(yīng)用
例10．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知、、共線，為空間任意一點(diǎn)（、、不共線），且存在實(shí)數(shù)、，使，求的值．
變式1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，且，點(diǎn)F在棱上，若A、E、F三點(diǎn)共線，則________．
變式2．【多選】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，P為空間一點(diǎn)，且滿足，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在棱上
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上
考點(diǎn)四：空間向量共面問(wèn)題
空間向量共面的判斷
例11．【多選】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．空間的任意三個(gè)向量都不共面
B．空間的任意兩個(gè)向量都共面
C．三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面
D．若三向量?jī)蓛晒裁?，則這三個(gè)向量一定也共面
變式1．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）下列命題中是真命題的為（ ）
A．若與共面，則存在實(shí)數(shù)，使
B．若存在實(shí)數(shù)，使向量，則與共面
C．若點(diǎn)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使
D．若存在實(shí)數(shù)，使，則點(diǎn)四點(diǎn)共面
變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)，且不共線時(shí)，與的關(guān)系是（ ）
A．共面B．不共面C．共線D．無(wú)法確定
變式3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．
例12．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是不共面向量，，證明這三個(gè)向量共面.
變式1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量分別在兩條異面直線上，分別為線段的中點(diǎn)，求證：向量共面．
變式2．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，不共線，，，，則（ ）
A．與共線B．與共線
C．，，，四點(diǎn)不共面D．，，，四點(diǎn)共面
變式3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若點(diǎn)滿足向量關(guān)系（其中），試問(wèn)：，，，四點(diǎn)是否共面？
空間向量共面求參數(shù)
例13．（2023秋·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，是空間向量的一組基底，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為__________．
變式1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是不共面向量，，若三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)______.
變式2．（2023春·上海奉賢·高二校考階段練習(xí)）已知A，B，C，D四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，平面外一點(diǎn)O，滿足，則_____________．
變式3．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
變式4．（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，M是平面ABC上一點(diǎn)，且，則（ ）
A．1B．C．D．
變式5．（2023春·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線．如果，則的值為（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
變式6．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖,平面內(nèi)的小方格均為正方形,點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn),為平面外一點(diǎn),設(shè),則的值為（ ）
A．1B．C．2D．
變式7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．2
變式8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)不共線，是空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則（ ）
A．有最小值B．有最大值C．有最小值1D．有最大值1
變式9．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體中，E為中點(diǎn)，，使得，則（ ）
A．B．C．1D．
變式10．（2023秋·浙江溫州·高二?？计谀┰谡拿骟w中，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過(guò)的平面分別與，，交于，，三點(diǎn).
(1)若，求的值；
(2)設(shè)，，，求的值.
空間共面向量定理的推論及其應(yīng)用
例14．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）對(duì)于空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，有如下關(guān)系：，則（ ）
A．四點(diǎn)必共面B．四點(diǎn)必共面
C．四點(diǎn)必共面D．五點(diǎn)必共面
變式1．（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校?duì)于空間一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，且有，則（ ）
A．O，A，B，C四點(diǎn)共面B．P，A，B，C四點(diǎn)共面
C．O，P，B，C四點(diǎn)共面D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面
變式2．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知是空間中不共線的三個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的一項(xiàng)是（ ）
A．點(diǎn)是唯一的，且一定與共面
B．點(diǎn)不唯一，但一定與共面
C．點(diǎn)是唯一的，但不一定與共面
D．點(diǎn)不唯一，也不一定與共面
變式3．【多選】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
變式4．【多選】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）以下能判定空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的條件是（ ）
A．B．
C．D．
1．在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
2．已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
一、單選題
1．（2022秋·廣西欽州·高二校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．空間任意兩個(gè)向量共面
B．向量、、共面即它們所在直線共面
C．若，，則與所在直線平行
D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使
2．（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┫铝兴膫€(gè)命題中為真命題的是（ ）
A．已知，，，，是空間任意五點(diǎn)，則
B．若兩個(gè)非零向量與滿足，則四邊形是菱形
C．若分別表示兩個(gè)空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量可以是共面向量
D．對(duì)于空間的任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若，則，，，四點(diǎn)共面
3．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn) 分別是棱 的中點(diǎn)，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）在四面體中，，Q是的中點(diǎn)，且M為PQ的中點(diǎn)，若，，，則（ ）．
A．B．
C．D．
5．（2022秋·高二單元測(cè)試）在平行六面體中，設(shè)，，，則以為基底表示（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）如圖，設(shè)為平行四邊形所在平面外任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的值是（ ）
A．B．0C．D．
7．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）平面α內(nèi)有五點(diǎn)A，B，C，D，E，其中無(wú)三點(diǎn)共線，O為空間一點(diǎn)，滿足，，則x＋3y等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知為三條不共面的線段，若，那么（ ）
A．1B．C．D．
9．（2023·上?！とA師大二附中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A、B、C、D為空間中的四個(gè)點(diǎn)，則“”是“A、B、C、D四點(diǎn)共圓”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
10．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在下列條件中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
11．（2021秋·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）在平行六面體中，與向量相等的向量有（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列命題中不正確的是（ ）
A．若與共線，與共線，則與共線
B．向量，， 共面，即它們所在的直線共面
C．若兩個(gè)非零空間向量，，滿足，則∥
D．若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使=λ
13．（2022秋·浙江臺(tái)州·高二?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．向量與的長(zhǎng)度相等
B．在空間四邊形ABCD中，與是相反向量
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量
14．（2022秋·江西·高二南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（ ）
A．若空間中的，，，滿足，則，，三點(diǎn)共線
B．空間中三個(gè)向量，，，若，則，，共面
C．對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若，則，，，四點(diǎn)共面
D．設(shè)是空間的一組基底，若，，則不能為空間的一組基底
三、填空題
15．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）有下列四個(gè)命題：
①已知A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則；
②若兩個(gè)非零向量與滿足，則；
③分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量；
④對(duì)于空間的任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若（x，y，z∈R），則P，A，B，C四點(diǎn)共面．
其中正確命題有_____．
16．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）一種糖果的包裝紙由一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形和2個(gè)等腰直角三角形組成（如圖1），沿AD，BC將2個(gè)三角形折起到與平面ABCD垂直（如圖2），連接EF，AE，CF，AC，若點(diǎn)P滿足且，則的最小值為 ___________ .
四、解答題
17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，已知為空間的個(gè)點(diǎn)，且，，，，，，．
(1)求證：四點(diǎn)共面，四點(diǎn)共面；
(2)求證：平面平面；
18．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，求證：.
名稱
定義
表示法
零向量
規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量
記為0
單位向量
模為1的向量叫做單位向量
|a|＝1或|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1
相反向量
與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量
記為－a
共線向量
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)于任意向量a，都有0∥a
a∥b或eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→))
相等向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量
a＝b或 eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))
加法運(yùn)算
三角形
法則
語(yǔ)言敘述
首尾順次相接，首指向尾為和
圖形敘述
平行四邊形法則
語(yǔ)言敘述
共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線為和
圖形敘述
減法運(yùn)算
三角形
法則
語(yǔ)言敘述
共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量
圖形敘述
加法運(yùn)算
交換律
a＋b＝b＋a
結(jié)合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
定義
與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘
幾何意義
λ>0
λa與向量a的方向相同
λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍
λ

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