第23講拋物線及其標準方程5種常見考法歸類-新高二數(shù)學暑假銜接試題（人教版）-試卷下載-教習網

2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程.
知識點1 拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經過點F”，點的軌跡還是拋物線嗎？
不一定是，若點F在直線l上，點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線．
②定義的實質可歸納為“一動三定”
一個動點M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準線)；一個定值(點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．
知識點2 拋物線標準方程的幾種形式
注：1、拋物線方程的推導：
我們取經過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立平面直角坐標系Oxy.設|KF|＝p(p>0)，那么焦點F的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，準線l的方程為x＝－eq \f(p,2).
設M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到準線l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線是點的集合P＝{M||MF|＝d}．
則M到F的距離為|MF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直線l的距離為eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
所以eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
將上式兩邊平方并化簡，得y2＝2px(p>0)．
2、p的幾何意義是焦點到準線的距離．標準方程的結構特征：頂點在坐標原點、焦點在坐標軸上．
拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于一次項變量(x或y)的取值范圍．
3、四個標準方程的區(qū)分
焦點在一次項變量對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數(shù)的符號確定．當系數(shù)為正時，開口向坐標軸的正方向；當系數(shù)為負時，開口向坐標軸的負方向．
4、（1）通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點最短的弦.
（2）拋物線（）上一點到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.
1、求拋物線的標準方程的方法
注：當拋物線的焦點位置不確定時，應分類討論，也可以設y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡化討論過程．
2、用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟
3、拋物線定義的兩種應用
(1)實現(xiàn)距離轉化．根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距離與點線距離的相互轉化，從而簡化某些問題．
(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題．
4、求拋物線實際應用的五個步驟
考點一：拋物線的標準方程
例1．（2022秋·高二課時練習）根據下列條件寫出拋物線的標準方程：
(1)準線方程是；
(2)過點；
(3)焦點到準線的距離為.
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）（2）（3）利用拋物線的定義及其性質即可得出．
【詳解】（1）由準線方程為知拋物線的焦點在軸負半軸上，且，
則，故所求拋物線的標準方程為．
（2）點在第二象限，
設所求拋物線的標準方程為或，
將點代入，得，解得，
所以拋物線方程為；
將點代入，得，解得，
所以拋物線方程為．
綜上所求拋物線的標準方程為或．
（3）由焦點到準線的距離為，所以，
故所求拋物線的標準方程為或或或．
變式1．（2023秋·高二課時練習）若拋物線的頂點是原點，準線為直線，則此拋物線的方程為 .
【答案】
【分析】設出拋物線解析式，通過準線求出的值，即可求出此拋物線的方程.
【詳解】由題意，
拋物線的頂點是原點，準線為直線，
∴設拋物線的方程為，
∴，解得：，
∴此拋物線的方程為：，
故答案為：.

變式2．（2023·全國·高三專題練習）若拋物線的焦點到準線的距離為，且的開口朝上，則的標準方程為．
【答案】
【分析】根據焦點到準線的距離為，所以，再結合條件，可得的標準方程.
【詳解】依題意的開口朝上,可設的標準方程為，
因為的焦點到準線的距離為，所以，
所以的標準方程為．
故答案為: .
變式3．（2023春·河南洛陽·高二?？茧A段練習）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【分析】由拋物線的準線方程,分類討論求參數(shù)的值.
【詳解】當時，拋物線開口向上，準線方程，
點到準線的距離為，解得，
所以拋物線方程為；
當時，拋物線開口向下，準線方程，
點到準線的距離為，解得或（舍去），
所以拋物線方程為．
所以拋物線的方程為或．
故選：C
變式4．（2022秋·福建莆田·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C與雙曲線有相同的焦點，且頂點在原點，求拋物線C的方程.
【答案】
【分析】求出雙曲線的焦點坐標，即拋物線的焦點坐標，即可得解.
【詳解】因為雙曲線的焦點為.
設拋物線方程為，則，所以，
所以拋物線方程為x.
變式5．（2021秋·高二課時練習）拋物線上有一點M，它的橫坐標是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出拋物線的準線方程，利用幾何性質求出參數(shù)的值，即可求出拋物線的方程.
【詳解】由題意，
在拋物線中，
準線方程，
∵到準線的距離等于它到焦點的距離，
∴，解得：，
∴拋物線方程為：，
故選：A.
變式6．（2022秋·高二單元測試）已知拋物線（）上一點M的縱坐標為，該點到準線的距離為6，則該拋物線的標準方程為（）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】根據已知條件可得點M坐標，代入拋物線方程求解即可.
【詳解】因為拋物線的準線方程是，而點M到準線的距離為6，
所以點M的橫坐標是.
所以點M的坐標為，
又因為點M在拋物線上，
所以32=2p，解得p=8或p=4，
故該拋物線的標準方程為或.
故選：D.
考點二：根據拋物線方程求焦點或準線
例2．【多選】（2022秋·高二課時練習）對拋物線，下列描述正確的是（）
A．開口向上，焦點為
B．開口向右，準線方程為-
C．開口向右，焦點為
D．開口向上，準線方程為
【答案】AD
【分析】把拋物線化為標準形式，結合拋物線的幾何性質，即可求解.
【詳解】由題意，把拋物線化為標準形式，
則拋物線的開口向上，且，所以焦點為，直線方程為.
故選：AD.
變式1．（2023秋·高二課時練習）拋物線的焦點關于直線的對稱點的坐標是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出拋物線焦點坐標為，設關于直線的對稱點的坐標是，列出關于的方程組求解即可.
【詳解】拋物線即，其焦點坐標為，
設關于直線的對稱點的坐標是，
則，解得，則，
故選：A．
變式2．（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線：的焦點，點在上且，則的坐標為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由結合拋物線的定義可求出的值，進而可求的坐標.
【詳解】因為是拋物線：的焦點，所以，
又，由拋物線的定義可知，解得，所以.
故選：A
變式3．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，直線與拋物線C交于A，B兩點，若，則拋物線C的準線方程為（）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根據題意，由條件可得，然后結合拋物線的定義，列出方程，即可求得結果.
【詳解】設直線與軸交點為，
由拋物線的對稱性，易知為直角三角形，且，
，即，去絕對值，解得或，
所以拋物線的準線方程為或.
故選：C.
變式4．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）拋物線繞其頂點逆時針旋轉之后，得到的圖象正好對應拋物線，則（）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】采用逆向思考：即將拋物線將其繞頂點順時針方向旋轉，得到拋物線，進而即可求得的值.
【詳解】拋物線即的開口向上，將其繞頂點順時針方向旋轉，得到的拋物線，開口向右，其方程為，則，
故選：B.
變式5．（2023秋·高二課時練習）拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，其上有一點，其到準線的距離為6，則．
【答案】
【分析】由題意設拋物線的方程為，由條件得，進而可得拋物線的方程，把點坐標代入，可求得.
【詳解】由題意焦點在x軸正半軸上，設拋物線的方程為，
∵準線方程為，點到準線的距離為6，
∴，∴，∴拋物線的方程為，
∵點在拋物線上，∴，∴.
故答案為：.
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的的準線與軸交于點，，是的焦點，是上一點，，則 .
【答案】
【分析】設，利用向量的關系式，求得點的坐標，代入拋物線方程即可．
【詳解】拋物線的準線為，
由題意，，
設，則，，
因為，所以，
所以，，
代入得，解得（負值舍），
所以.
故答案為：
考點三：拋物線定義的應用
利用拋物線的定義解決軌跡問題
例3．（2019春·安徽蕪湖·高二校聯(lián)考期中）若動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據拋物線的定義求得正確答案.
【詳解】依題意，動點到點的距離等于它到直線的距離，
所以的軌跡為拋物線，，
所以點的軌跡方程為.
故選：D
變式1．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知，點到直線的距離比到點的距離大2，記的軌跡為，求的方程；
【答案】
【分析】
根據題意轉化為到直線的距離等于到的距離，結合拋物線的定義，即可求解.
【詳解】
解：由點到直線的距離比到點的距離大2
可轉化為到直線的距離等于到的距離
所以的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，
可得，所以，所以曲線的方程為.
變式2．（2023春·廣東韶關·高二?？茧A段練習）動點滿足方程，則點M的軌跡是（）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
【答案】D
【分析】根據軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.
【詳解】由得，
等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離，整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.
故選：D.
變式3．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）設圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據題意分別求得，的坐標與切線，再根據拋物線的定義即可求得動點的軌跡方程．
【詳解】因為圓與軸交于，兩點（在的上方），
所以，，
又因為過作圓的切線，
所以切線的方程為，
因為動點到的距離等于到的距離，
所以動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準線為，
所以的軌跡方程為．
故選：A.
利用拋物線的定義求距離或點的坐標
例4．（2023秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，則點到原點的距離為（）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】設，由拋物線定義列式求得，即可依次求，即點到原點的距離.
【詳解】由題得焦點坐標為，則準線方程為
設，根據拋物線定義有有，∴，
∴點到原點的距離為.
故選：D.
變式1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習）已知點到點的距離與到直線相等，且點的縱坐標為12，則的值為（）
A．6B．9C．12D．15
【答案】D
【分析】直接根據拋物線定義得的軌跡為拋物線，再設其拋物線方程，根據焦點坐標求出其方程，再根據拋物線性質即可求出的長.
【詳解】由題意得點的軌跡為焦點為，準線方程為的拋物線，
設拋物線的方程為，，則，解得，
故拋物線方程為，當時，，則，
故選：D.
變式2．（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知M是拋物線上的一點且在x軸上方，F(xiàn)是拋物線的焦點，以為始邊，F(xiàn)M為終邊的角，則等于（）
A．16B．20C．4D．8
【答案】A
【分析】作出拋出線與焦半徑及輔助線，利用直角三角形角所對的邊等于斜邊的一半及拋物線的定義，得到關于的方程，從而求得的值.
【詳解】如圖所示，拋物線的準線與軸相交于點，作于，過作于，
因為，所以，設，
在中，，
顯然，又由拋物線的定義得，
所以，解得：，即.
故選：A.
變式3．（2022秋·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學?？计谥校┮阎獟佄锞€：，，為上一點，則取最小值時點的坐標為．
【答案】
【分析】設點P的坐標，代入求距離，消去y，求距離取最小值時點的坐標.
【詳解】設點，則，
當時，，此時點.
故答案為：.
與拋物線定義有關的最大(小)值問題
例5．（2023春·廣東江門·高二?？茧A段練習）已知點P到直線與到點的距離相等，點Q在圓上，則的最小值為 .
【答案】3
【分析】設，根據拋物線定義得到其軌跡方程為，計算得，則得到的最小值.
【詳解】設，因為點P到直線與到點的距離相等，
所以P點軌跡是以為焦點的拋物線，即；
設圓的圓心為M，則，
，
當且僅當時等號成立，所以，
即，
故答案為：3.
變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知F為拋物線的焦點，P為該拋物線上的動點，點，則的最大值為（）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】設點，由點與點距離公式計算以及的長，代入所求結合二次函數(shù)的性質可求出最大值.
【詳解】設，則，又，所以，則.令，則，，即時，取得最大值，此時.
故選：D
變式2．（2023春·廣東汕頭·高二?？计谥校┮阎狹為拋物線上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點，則的最小值為．
【答案】2
【分析】根據拋物線的定義，利用三點共線即可求解.
【詳解】設點在準線上的射影為，根據拋物線的定義可知,
所以,要使最小，只需要最小即可，
由于在拋物線內，故當三點共線時，此時最小，故最小值為，
故答案為：2
變式3．（2023春·四川內江·高二威遠中學校校考期中）已知拋物線的焦點為F，定點，點P是拋物線上一個動點，則的最小值為 .
【答案】5
【分析】根據拋物線的定義求得正確答案.
【詳解】拋物線的準線方程為，
根據拋物線的定義可知，的最小值是到準線的距離，
即的最小值為.
故答案為：
變式4．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）點為拋物線上任意一點，點為圓上任意一點，為直線的定點，則的最小值為（）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】畫圖，找出拋物線焦點，化簡圓的普通方程為標準方程，結合拋物線定義以及共線性質分析得出最值.
【詳解】如圖所示：
由知，拋物線焦點，
由，化為，
即為以為圓心，1為半徑的圓，
又，得，恒過定點，
過點作垂直于拋物線的準線：交于點，連接，
則，
當三點共線時，最小,此時為3，
所以的最小值為：，
故選：A.
變式5．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學校考三模）為拋物線上一點，其中，F(xiàn)為拋物線焦點，直線l方程為，，H為垂足，則．
【答案】5
【分析】利用拋物線定義將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離即可.
【詳解】因為拋物線，所以其焦點，準線方程為，
根據拋物線定義可知，又因為直線l方程為，
所以
故答案為：5.

變式6．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知直線和直線，拋物線上一動點到直線直線的距離之和的最小值是（）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】根據拋物線的定義可得，結合圖象分析求解.
【詳解】由題意可得：拋物線的焦點，準線，
設動點直線的距離分別為，
點到直線的距離分別為，
則，可得，
當且僅當點在點到直線的垂線上且在與之間時，等號成立，
動點到直線直線的距離之和的最小值是3.
故選：B.
變式7．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為 .
【答案】3
【分析】設出點的坐標，結合圓的切線的性質求出，再借助式子幾何意義作答.
【詳解】依題意，設，有，圓的圓心，半徑，
于是，

因此，表示拋物線上的點到y(tǒng)軸距離與到定點的距離的和，
而點在拋物線內，當且僅當是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，
所以的最小值為3.
故答案為：3.
變式8．（2022·全國·高三專題練習）已知為拋物線上一個動點，為圓上一個動點，那么點到點的距離與點到軸距離之和的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，即可求出到軸距離就是到焦點的距離減去，接著利用兩點之間直線最短而得到答案.
【詳解】由于為拋物線上一個動點，焦點坐標為，準線為，為圓上一個動點，，圓心為，半徑，那么點到點的距離與點到軸距離之和最小值可結合拋物線的定義，到軸距離為到焦點距離減去，則最小值為拋物線的焦點到圓心的距離減去半徑和，故最小值為=.
故選：B.
變式9．（2023春·四川成都·高二期末）已知為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，點，則周長的最小值為 .
【答案】7
【分析】設拋物線的準線為，過作于，過作于，由拋物線的性質可將的周長轉化為，由圖可知當三點共線時，取得最小值，從而可求得答案.
【詳解】當時，，所以點在拋物線內，
由，得焦點為，準線為，
過作于，過作于，則，
所以的周長為，
由圖可知當三點共線時，取得最小值，
此時的最小值為，
因為，
所以的最小值為7，即的周長的最小值為7，
故答案為：7

變式10．（2022·高二課時練習）已知拋物線，點為拋物線上任意一點，過點向圓作切線，切點分別為，則四邊形的面積的最小值為（）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】由，當最小時求解.
【詳解】解：如圖所示：
設，，
連接，圓為：，
則，
則，
當點時，的最小值為，
所以，
故選：C
考點四：拋物線的軌跡問題
例6．【多選】（2023秋·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知，，直線AP，BP相交于P，直線AP，BP的斜率分別為，則（）
A．當時，點的軌跡為除去A，B兩點的橢圓
B．當時，點的軌跡為除去A，B兩點的雙曲線
C．當時，點的軌跡為拋物線
D．當時，點的軌跡為一條直線
【答案】AB
【分析】設出，直接法求出軌跡方程，注意去掉不合題意的點，從而判斷軌跡為哪種曲線，判斷ABC選項，D選項，結合，得到軌跡為去掉一個點的直線，故D錯誤.
【詳解】設，
A選項，，故，變形為，且，
故點的軌跡為除去A，B兩點的橢圓，A正確；
B選項，，故，變形為，且，
故點的軌跡為除去A，B兩點的雙曲線，B正確；
C選項，，故，變形為，且，
故點的軌跡為除去A，B兩點的拋物線，C錯誤；
D選項，，即，變形為，且，
故點的軌跡為除去點的直線，D錯誤；
故選：AB
變式1．（2023·高二課時練習）已知點P是曲線上任意一點，，連接PA并延長至Q，使得，求動點Q的軌跡方程．
【答案】
【分析】設動點Q的坐標，點P坐標，利用，求出、代入曲線方程可得答案.
【詳解】設動點Q的坐標，點P坐標，，
因為，所以，，
可得，，
代入得，整理得，
所以動點Q的軌跡方程為．
變式2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一學校校考期中）設O為坐標原點，，點A是直線上一個動點，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點A作y軸的垂線交l于點P，則點P的軌跡方程為．
【答案】
【分析】由題意作等價轉換，結合拋物線第一定義可直接寫出方程.
【詳解】如圖，由垂直平分線的性質可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點坐標為，故，點P的軌跡方程為.
故答案為：
變式3．（2022秋·福建寧德·高三校考期末）已知圓：與定直線：，動圓與圓外切且與直線相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為 .
【答案】
【分析】設，由點線距離及兩點距離公式列式化簡即可.
【詳解】設，動圓與圓外切且與直線相切，則有，化簡得.
故曲線的方程為.
故答案為：
變式4．（2022秋·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）已知點到點的距離比點到直線的距離小1.
(1)求點的軌跡方程；
(2)求線段中點的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1：根據已知條件，設點，列出方程，化簡；
解法2：定義法求拋物線的方程.
（2）軌跡法求點的軌跡方程.
【詳解】（1）解法1：設M(x,y)，由題意知
當時，可化為，
整理得，（舍去）
當x< 3時，可化為
整理得，
故點M的軌跡方程為
解法2：由題可知，點M到點F（－2，0）的距離與到直線的距離相等，
所以動點M的軌跡是以F（－2，0）為焦點，為準線的拋物線，
點M的軌跡方程為；
（2）設Q（x，y），
則， ∴
又，故
即為所求.
變式5．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知，直線相交于點，且與的斜率之差為2，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】設，依題意表示出，，即可得到動點的軌跡方程，再根據距離公式及二次函數(shù)的性質計算可得.
【詳解】解：設，則，，
所以，即，
即動點的軌跡方程為，，
所以，
所以當時.
故答案為：
考點五：拋物線的實際應用
例7．（2023·全國·高二專題練習）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖建立平面直角坐標系，設碗體的拋物線方程為（），將點代入求出，即可得到拋物線方程，設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點為，代入方程計算可得.
【詳解】以碗體的最低點為原點，向上方向為軸，建立直角坐標系，如圖所示．

設碗體的拋物線方程為（），將點代入，得，
解得，則，
設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為，
則兩拋物線在第一象限的交點為，代入到，解得，解得．
故選：C
變式1．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀﹫D中是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】以拱頂為坐標原點，建立直角坐標系，設拱橋所在拋物線的方程為，根據拋物線過點，求出的值，即可得到拋物線方程，再令，求出的值，即可得解.
【詳解】以拱頂為坐標原點，建立直角坐標系，
可設拱橋所在拋物線的方程為，
又拋物線過點，則，解得，
則拋物線的方程為，當時，，
故當水面寬度為米時，拱頂與水面之間的距離為米.
故選：D
變式2．（2023·全國·高三專題練習）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點到準線的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，設出拋物線的標準方程，代入點的坐標求出即可得解.
【詳解】以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
依題意可得的坐標為．
設拋物線的標準方程為，則，解得．
故該拋物線的焦點到準線的距離為．
故選：C
變式3．（2023·全國·高三專題練習）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據已知條件及設出拋物線的標準方程，結合點在拋物線上即可求解.
【詳解】在縱斷面內，以反射鏡的頂點（即拋物線的頂點）為坐標原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標系，如圖所示，
由題意可得.
設拋物線的標準方程為，于是，解得.
所以拋物線的焦點到頂點的距離為，即光源到反射鏡頂點的距離為.
故選：B.
1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】利用拋物線的定義求解即可.
【詳解】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，
所以到準線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故.
故選：D.
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，
不妨設點在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為 .
【答案】
【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為，最后利用點的坐標和準線方程計算點到的準線的距離即可.
【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準線方程為，點到的準線的距離為.
故答案為：.
4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標，分析可得，由此可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.
【詳解】拋物線的準線方程為，則，則、，
不妨設點為第二象限內的點，聯(lián)立，可得，即點，
因為且，則為等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.
故選：C.
一、單選題
1．（2023春·湖南·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上一點到軸的距離是6，則點到該拋物線焦點的距離是（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根據拋物線定義求解.
【詳解】由題可得，，
點到該拋物線的準線的距離為，
根據拋物線的定義可知，點到該拋物線焦點的距離是8，
故選:C.
2．（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點到其焦點的距離為，則點的橫坐標是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用拋物線的定義可求得點的橫坐標.
【詳解】設點的橫坐標為，拋物線的標準方程為，該拋物線的準線方程為，
因為拋物線上的點到其焦點的距離為，則，解得.
故選：C.
3．（2023春·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學校聯(lián)考期末）已知O為坐標原點，為一個動點．條件p：O，A，三點共線；條件q：動點A在拋物線上，則p是q的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由列式整理可知p是q的充分條件，取原點驗證可知p是q的不必要條件，然后可得答案.
【詳解】當動點A滿足p時，直線OB的斜率存在，且不為0，有，即，化簡得，p是q的充分條件；
反之，拋物線的頂點并不滿足p，p是q的不必要條件．
故選：A．
4．（2023秋·云南麗江·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的中心在原點，離心率為且它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出拋物線的焦點坐標，從而可求出橢圓中的，再由離心率求出，然后由可求出，從而可求出橢圓的方程.
【詳解】由題意可知橢圓的焦點在上，所以設橢圓方程為，
由可得其焦點坐標為，
因為橢圓與拋物線的焦點重合，
所以，
因為橢圓的離心率，所以，得，
所以，
所以橢圓方程為，
故選：C
5．（2023春·四川涼山·高二寧南中學校聯(lián)考期末）已知拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離為2，焦點為F，則（）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】求出拋物線的準線方程，再利用拋物線的定義得解.
【詳解】由題得拋物線的準線方程為，
所以點P到準線的距離為，
由拋物線的定義得3.
故選：B

6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上一點，過點P作PQ垂直于拋物線的準線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】設點P的坐標為，由題意△PFQ為等邊三角形，求得點P的坐標及，從而可得．
【詳解】拋物線的準線方程為y＝－1，焦點為，
設點P的坐標為，則點Q的坐標為，，
由拋物線的定義知，因為，
所以△PFQ為等邊三角形，所以，又，
所以，n＝3，所以點P的坐標為，
所以，所以．
故選：C．

7．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點為F，點P是C上異于原點O的任意一點，線段PF的中點為M，則以F為圓心且與直線OM相切的圓的面積最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據題意作圖，設出動點的坐標，利用中點坐標公式，表示中點，進而寫出直線方程，結合圓與直線相切的性質，利用點到直線距離公式，根據基本不等式，可得答案.
【詳解】由題意，作圖如下：

設（不妨令），由已知可得，則，所以直線OM的方程為，
設，則（當且僅當時取“=”），所以點F到直線OM的距離為，
即圓F的半徑最大值為，面積最大值為．
故選：B.
8．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，為上一點，為上一點，則的最小值為（）
A．5B．C．2D．3
【答案】B
【分析】先利用配方法求得到圓心的最小距離，從而求得到的最小距離.
【詳解】由題意知，，設，則，
所以，

故當時，，
所以.
故選：B.
二、多選題
9．（2023春·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：焦點為，動直線與曲線交于兩點，下列說法正確的是（）
A．拋物線的準線方程為
B．若點為，則周長的最小值為11
C．若點為，則的最小值為
D．設為坐標原點，作于點，則點到的準線的距離的最大值為2
【答案】BC
【分析】對于選項A，將拋物線方程轉化成標準方程即可判斷出結果的正誤；對于選項B，利用拋物線的定義，將周長轉化成，從而判斷出結果的正誤；對于選項C，直接求出，進而可求出的最小值，從而判斷出結果正確；對于選項D，直接求出的坐標，從而求出點到的準線的距離，從而判斷出結果的正誤.
【詳解】選項A，因為拋物線，即，
所以準線方程為，故選項A錯誤；
選項B，如圖，過作準線的垂線，交準線于點，
則周長，
易知，當在處時取到等號，又，，
所以周長的最小值為11，故選項B正確；
選項C，設，則，
當時取等號，故選項C正確；
選項D，易知，設過且與動直線垂直的直線方程為，
由，解得，
所以點到的準線的距離，故選項D錯誤.

故選：BC.
10．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學校考模擬預測）設為拋物線：（）的焦點，為坐標原點，為上一點，且，則（）
A．
B．
C．直線的斜率為
D．的面積為
【答案】ABD
【分析】根據拋物線的標準方程確定的值，得拋物線方程與焦點坐標，再由拋物線定義求得的坐標，確定直線的斜率與的面積，逐項判斷即可得答案.
【詳解】由題意得，又，故解得，所以拋物線的方程為，焦點，故A，B正確；

由拋物線定義及，所以代入拋物線方程可得得，
所以，故C不正確；
則的面積，故D正確.
故選：ABD.
11．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若為坐標原點，則（）
A．點的坐標為B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先求出拋物線的焦點坐標，再利用拋物線的定義結合已知可求出點的坐標，從而可得答案.
【詳解】由題可知，
因為點在拋物線上，且，
所以，
解得，
所以，
故選：BD.
12．（2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，則下列條件能得到拋物線C的方程為的是（）
A．焦點為B．準線為
C．與直線相交所得弦長為1D．
【答案】BCD
【分析】根據拋物線的標準方程、焦點、準線、弦長、拋物線的定義、根與系數(shù)的關系等知識對選項進行判斷，從而確定正確答案.
【詳解】拋物線C的方程可化為，所以拋物線焦點應在y軸上，故A錯誤；
由準線為，知，解得，所以拋物線C的方程為，故B正確；
將直線代入，解得，
所以直線與拋物線C相交所得弦長為，解得，
所以拋物線C的方程為，故C正確；
設，，直線AB的方程為，
代入，可得，，
所以，故，
所以
，所以，
故拋物線C的方程為，故D正確.
故選：BCD
三、填空題
13．（2023秋·高二單元測試）已知拋物線的焦點為F，點M（3，6），點Q在拋物線上，則的最小值為．
【答案】
【分析】根據拋物線的定義可求出結果.
【詳解】拋物線的準線方程為，
過作準線的垂線，垂足為，則，
所以.當且僅當與準線垂直時，取等號.
所以的最小值為.

故答案為：.
14．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線的一條漸近線為，且右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的標準方程為．
【答案】
【分析】由已知可得雙曲線的右焦點為，根據條件可得，進而即得.
【詳解】拋物線的焦點為，
雙曲線的右焦點為，可設雙曲線方程為，
又雙曲線的一條漸近線方程為，
，
所以，
雙曲線的方程是.
故答案為：.
15．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點到軸的距離為，則點到拋物線的焦點的距離為．
【答案】4
【分析】根據拋物線的定義計算焦半徑即可.
【詳解】由題意可得，，P縱坐標為，由其解析式可得P橫坐標為，
由拋物線定義知.
故答案為：4
16．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習）已知拋物線的焦點為F，是拋物線C上一點，若，則．
【答案】9
【分析】根據拋物線的焦半徑公式即可求解.
【詳解】由題可知，，解得．
故答案為：9
17．（2023·上海虹口·華東師范大學第一附屬中學校考三模）已知是拋物線的焦點，P是拋物線C上一動點，Q是曲線上一動點，則的最小值為．
【答案】
【分析】根據題意，過點作，垂足為，過點，垂足為，根據拋物線的定義，轉化為，結合圖象，得到，當且僅當在一條直線上時，的最小值，即可求解.
【詳解】由拋物線，可得焦點坐標為，準線方程為，
又由曲線，可化為，
可得圓心坐標為，半徑，
過點作，垂足為，過點作，垂足為，交拋物線于，如圖所示，
根據拋物線的定義，可得，
要使得取得最小值，只需使得點與重合，此時與重合，
即，當且僅當在一條直線上時，
所以的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
18．（2023秋·高二課時練習）根據下列條件寫出拋物線的標準方程：
（1）焦點是；
（2）準線方程是；
（3）焦點到準線的距離是．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）根據拋物線的焦點坐標可寫出拋物線的標準方程；
（2）根據拋物線的準線方程可寫出拋物線的標準方程；
（3）根據拋物線的焦點到準線的距離可寫出拋物線的標準方程.
【詳解】（1）由題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸上，設拋物線的標準方程為，
則，可得，所以，拋物線的標準方程為；
（2）由題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸上，設拋物線的標準方程為，
則，可得，因此，拋物線的標準方程為；
（3）拋物線的焦點到準線的距離為，
所以，拋物線的標準方程為或.
19．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線上一點到焦點的距離．求拋物線的方程；
【答案】
【分析】由題知，進而解方程即可得答案；
【詳解】因為拋物線上一點到焦點的距離，
所以拋物線的定義得，
所以，解得．
所以拋物線的方程為；
20．（2023·全國·高三專題練習）已知點，過點且與y軸垂直的直線為，軸，交于點N，直線l垂直平分FN，交于點M. 求點M的軌跡方程；
【答案】
【分析】由拋物線的定義求解即可.
【詳解】
由題意得，即動點M到點的距離和到直線的距離相等，
所以點M的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，
根據拋物線定義可知點M的軌跡方程為；
21．（2023秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知動點與點的距離與其到直線的距離相等.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)求點與點的距離的最小值，并指出此時的坐標.
【答案】(1)；
(2)，或
【分析】（1）利用拋物線的定義得解；
（2）設，求出即得解.
【詳解】（1）解：由題意知動點到的距離與它到直線的距離相等，
所以動點的軌跡為以為焦點、以直線為準線的拋物線，
因此動點的軌跡方程為.
（2）解：設，
由兩點間的距離公式得：，
當，即時，，
即當或時，點與點的距離最小，最小值為.
圖形
標準方程
焦點坐標
準線方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
定義法
根據定義求p，最后寫標準方程
待定系數(shù)法
設標準方程，列有關的方程組求系數(shù)
直接法
建立恰當?shù)淖鴺讼担脪佄锞€的定義列出動點滿足的條件，列出對應方程，化簡方程

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