第04講利用幾何法解決空間角和距離19種常見(jiàn)考法歸類(lèi)-新高二數(shù)學(xué)暑假銜接試題（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

學(xué)會(huì)利用幾何法求空間角及空間距離．
1、異面直線(xiàn)所成的角
(1)定義：已知a，b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)．
(2)范圍：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
注：兩異面直線(xiàn)所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線(xiàn)所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．
2、直線(xiàn)和平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角，一條直線(xiàn)垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線(xiàn)和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.
(2)范圍：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3、二面角
(1)定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB．
(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.
4、點(diǎn)到平面的距離
已知點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則唯一，則是點(diǎn)到平面的距離。即：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離）
結(jié)論：連結(jié)平面外一點(diǎn)與內(nèi)一點(diǎn)所得的線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短.
1、求異面直線(xiàn)所成的角的方法和步驟
(1)求異面直線(xiàn)所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類(lèi)型：利用圖中已有的平行線(xiàn)平移；利用特殊點(diǎn)(線(xiàn)段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線(xiàn)平移；補(bǔ)形平移．
(2)求異面直線(xiàn)所成角一般步驟：一作、二證、三求
①平移：經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過(guò)作三角形的中位線(xiàn)，平行四邊形等進(jìn)行平移，平移異面直線(xiàn)中的一條或兩條成為相交直線(xiàn)，作出異面直線(xiàn)所成的角．
②證明：證明所作的角是異面直線(xiàn)所成的角．
③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．
④取舍：因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線(xiàn)所成的角．
2、求直線(xiàn)與平面所成的角的方法和步驟
（1）垂線(xiàn)法求線(xiàn)面角：
①先確定斜線(xiàn)與平面，找到線(xiàn)面的交點(diǎn)B為斜足；找線(xiàn)在面外的一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A向平面做垂線(xiàn)，確定垂足O；
②連結(jié)斜足與垂足為斜線(xiàn)AB在面上的投影；投影BO與斜線(xiàn)AB之間的夾角為線(xiàn)面角；
③把投影BO與斜線(xiàn)AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.
（2）平移法求線(xiàn)面角
是指利用圖形平移變換的性質(zhì)，構(gòu)造滿(mǎn)足求解的條件，進(jìn)而得出結(jié)論的方法.在運(yùn)用平移法求解線(xiàn)面角問(wèn)題時(shí)，我們可以利用圖象平移的性質(zhì)：圖形移動(dòng)位置后其大小、形狀、面積等都不改變，將分散的條件關(guān)聯(lián)起來(lái)，以便將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)求解.
（3）等體積法求線(xiàn)面角
通過(guò)換底求體積求出斜線(xiàn)上一點(diǎn)到平面的距離，再求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值，如圖,已知平面α與斜線(xiàn)AP,PO⊥α,則P0線(xiàn)面角為∠PAO,，要求線(xiàn)面角，關(guān)鍵是求垂線(xiàn)段PO的長(zhǎng)度，而垂線(xiàn)段PO的長(zhǎng)度可看作點(diǎn)P到平面α的距離，在平面α內(nèi)找一個(gè)三角形(點(diǎn)A是其中一個(gè)頂點(diǎn))與點(diǎn)P構(gòu)成三棱錐，在三棱錐中借助等體積法就可以求PO的長(zhǎng)度，從而達(dá)到簡(jiǎn)便求解線(xiàn)面角的目的.
3、求二面角的平面角的方法和步驟
（1）求二面角大小的步驟是：
①作：找出這個(gè)平面角；
②證：證明這個(gè)角是二面角的平面角；
③求：將作出的角放在三角形中，解這個(gè)三角形，計(jì)算出平面角的大?。?br>（2）確定二面角的平面角的方法
①定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線(xiàn)法）：提供了添輔助線(xiàn)的一種規(guī)律
在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于棱的射線(xiàn)．
如：“三線(xiàn)合一型”、“全等型”
②三垂線(xiàn)法（面上一點(diǎn)雙垂線(xiàn)法）----最常用
自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線(xiàn)，再由垂足向棱作垂線(xiàn)得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線(xiàn)與斜足和垂足的連線(xiàn)所夾的角，即為二面角的平面角
③等體積法
利用三棱錐等體積法求出點(diǎn)A到平面PBC的距離d，如圖，點(diǎn)A到二面角A-PB-C的棱 PB 的距離為h（即△PAB中PB邊上的高），則二面角 A-PB-C的正弦值為.
③垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）
過(guò)空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角就是二面角的平面角。
④射影面積法
已知平面內(nèi)的平面圖形的面積為，它在平面內(nèi)的射影的面積為，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.
4、求解點(diǎn)面距的方法和步驟
（1）定義法（直接法）：找到或者作出過(guò)這一點(diǎn)且與平面垂直的直線(xiàn)，求出垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度；
（2）等體積法：通過(guò)點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線(xiàn)距離；
（3）轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見(jiàn)轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線(xiàn)上的點(diǎn)到面的距離．
考點(diǎn)一：直接平移法求異面直線(xiàn)所成的角
例1．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第六十五中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中,分別為的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)與所成角的大小為（）
A．B．C．D．
變式1．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，且為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成角的大小為（）

A．B．C．D．
變式2．（2023春·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱的底面直徑與母線(xiàn)相等，是弧的中點(diǎn)，則與所成的角為（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)二：中位線(xiàn)平移法求異面直線(xiàn)所成的角
例2．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐中，平面，，底面是菱形，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）
A．B．
C．D．
變式1．（2023春·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點(diǎn)，則和所成的角等于__________.
變式2．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，所有側(cè)棱長(zhǎng)都為，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)OP與BM所成角為_(kāi)__________
變式3．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)校考期中）如圖，矩形ABCD中，，正方形ADEF的邊長(zhǎng)為1，且平面平面ADEF，則異面直線(xiàn)BD與FC所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．
變式4．（2023春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是正方形，底面，是側(cè)棱的中點(diǎn).

(1)證明平面.
(2)求異面直線(xiàn)與所成的角；
變式5．（2023春·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．
考點(diǎn)三：平行四邊形平移法求異面直線(xiàn)所成的角
例3．（2023春·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，M、N分別是、AC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)DN和CM所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．
變式1．（2023春·江西南昌·高一南昌十中校考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，在棱上，且，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
變式2．（2023春·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，E是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值是（）

A．B．C．D．
考點(diǎn)四：補(bǔ)形法求異面直線(xiàn)所成的角
例4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的正弦值為（）
A．B．C．D．
變式1．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，且.

(1)證明：；
(2)求異面直線(xiàn)、所成角的余弦值.
變式2．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在正方體中，E為的中點(diǎn)，平面與平面的交線(xiàn)為l，則l與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)五：通過(guò)證線(xiàn)面垂直證異面直線(xiàn)所成的角為90°
例5．（2023春·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在正四面體中，是的中點(diǎn)，P是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)和所成角的大?。? ）
A．一定為B．一定為C．一定為 D．與P的位置有關(guān)
變式1．（2023秋·河南鶴壁·高一鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）三棱錐中，，是斜邊的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：
①異面直線(xiàn)與所成的角為90°；②直線(xiàn)平面；
③平面平面；④點(diǎn)到平面的距離是.
其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則異面直線(xiàn)與所成角的大小為
A．B．C．D．
變式3．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）
A．直線(xiàn)與直線(xiàn)相交
B．與共面
C．與是異面直線(xiàn)但不垂直
D．平面垂直于平面
考點(diǎn)六：由異面直線(xiàn)所成的角求其他量
例6．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，與和所成的角均為，則下面說(shuō)法正確的是（）
A．B．
C．D．
變式1．（2023·高一單元測(cè)試）在空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．若，且與所成的角為，則的長(zhǎng)為（）
A．1B．C．1或D．或
變式2．（2023春·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）在空間四邊形中，，，分別為，的中點(diǎn)，若與所成的角為40°，則與所成角的大小為（）
A．20°B．70°
C．20°或70°D．40°或140°
變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，且直線(xiàn)AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)七：垂線(xiàn)法求直線(xiàn)與平面所成的角
例7．（2023春·海南·高一海南華僑中學(xué)校考期末）如圖所示，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（）
A．
B．平面SCD
C．直線(xiàn)SA與平面SBD所成的角等于
D．直線(xiàn)SA與平面SBD所成的角等于直線(xiàn)SC與平面SBD所成的角.
變式1．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2，高為4，AB為底面圓O的直徑，C為上更靠近A的三等分點(diǎn)，則直線(xiàn)PC與平面PAB所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．
變式2．（2023·高一單元測(cè)試）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長(zhǎng)的比滿(mǎn)足黃金比例，即比值約為，則它的側(cè)棱與底面所成角的正切值約為（）
A．B．C．D．
變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與對(duì)角面所成角的大小是（）
A．B．C．D．
變式4．（2023春·江蘇宿遷·高一泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）直三棱柱中，，，則與平面所成的角為（）
A．B．C．D．
變式5．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)設(shè)直線(xiàn)與底面所成角的正切值為，，，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
變式6．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長(zhǎng)為的菱形，，，是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．
變式7．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，.

(1)求證：平面；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
考點(diǎn)八：等體積法求直線(xiàn)與平面所成的角
例8．（2023春·北京朝陽(yáng)·高一清華附中朝陽(yáng)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面．若，則直線(xiàn)與平面所成的角的大小為（）
A．B．C．D．
變式1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；
(2)求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值．
變式2．（2023春·浙江杭州·高一?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．
(1)求證：平面PCD；
(2)求直線(xiàn)AC與平面APD所成的角的正弦值；
考點(diǎn)九：平移法求直線(xiàn)與平面所成的角
例9．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)是6的等邊三角形和矩形.現(xiàn)以為軸將面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使之形成四棱錐，是等邊三角形的中心，，分別是，的中點(diǎn)，且，面，交于.
(1)求證面
(2)求和面所成角的正弦值.
變式1．（2023春·天津和平·高一天津一中?？计谥校┤鐖D，已知平面ABC，，，，，，點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的大小.
考點(diǎn)十：由線(xiàn)面角求其他量
例10．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，平面.

(1)證明：為的中點(diǎn)；
(2)若直線(xiàn)與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積.
變式1．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，三棱臺(tái)中，底面，．
(1)證明：是直角三角形；
(2)若，問(wèn)為何值時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為？
變式2．（2023春·高一單元測(cè)試）如圖，在中，O是的中點(diǎn)，.將沿折起，使B點(diǎn)移至圖中點(diǎn)位置．
(1)求證：平面；
(2)當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，求二面角的余弦值；
(3)在（2）的條件下，試問(wèn)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)P，使與平面所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論，并求的長(zhǎng)．
變式3．（2023春·吉林延邊·高一延邊第一中學(xué)校考期中）如圖，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的一動(dòng)點(diǎn).
(1)證明：是直角三角形；
(2)若，且直線(xiàn)與平面所成角的正切值為，
①求的長(zhǎng)；
②求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
考點(diǎn)十一：定義法求二面角的平面角
例11．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，，．

(1)求證：平面；
(2)求二面角平面角的大小.
變式1．（2023春·吉林·高一校聯(lián)考期中）如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：直線(xiàn)平面；
(2)求二面角的余弦值.
變式2．（2023春·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．將分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)P．
(1)求證：；
(2)求三棱錐的體積；
(3)求二面角的余弦值．
變式3．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在多面體中，平面平面，平面平面是菱形，．

(1)證明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
考點(diǎn)十二：三垂線(xiàn)法求二面角的平面角
例12．（2023春·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面是菱形．

(1)若點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．
變式1．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正三棱柱中，，D為AC邊的中點(diǎn)，

(1)求側(cè)棱長(zhǎng)；
(2)求三棱錐D-的體積；
(3)求二面角的大小.
變式2．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是正方形，側(cè)面底面是正三角形，是底面的中心，是線(xiàn)段上的點(diǎn)．

(1)當(dāng)//平面時(shí)，求證：平面；
(2)求二面角的余弦值．
變式3．（2023春·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值；
(3)求二面角的正弦值．
考點(diǎn)十三：等體積法求二面角的平面角
例13．（2023春·江蘇常州·高一常州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，平面.

(1)證明：平面；
(2)若點(diǎn)到平面的距離為，求二面角的正切值.
變式1．（2023·高一單元測(cè)試）已知四邊形ABCD中，，，O是AC的中點(diǎn)，將沿AC翻折至．
(1)若，證明：平面ACD；
(2)若D到平面PAC的距離為，求平面PAC與平面ACD夾角的大小．
考點(diǎn)十四：垂面法求二面角
例14．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是______．
變式1．（2023秋·山東日照·高二?？茧A段練習(xí)）若二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則這個(gè)二面角的大小是______．
變式2．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知是二面角內(nèi)的一點(diǎn)，垂直于于垂直于于，則二面角的大小為_(kāi)_．
變式3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面，，且，，，，為垂足.
（1）試判斷直線(xiàn)與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)直線(xiàn)與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)，若二面角的大小為，且，求平面與平面所成的銳二面角的大小.
考點(diǎn)十五：射影面積法求二面角
例15．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_(kāi)______.
變式1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
(1)證明：AB⊥平面PAD；
(2)求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值．
變式2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，正方形平鋪在水平面上，先將矩形沿折起，使二面角為30°，再將正方形沿折起，使二面角為30°，則平面與平面所成的銳二面角的正切值是（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)十六：由二面角大小求其他量
例16．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，如圖2．

(1)證明：平面平面PAD；
(2)當(dāng)二面角的平面角的正切值為時(shí)，求直線(xiàn)BD與平面PBC夾角的正弦值．
變式1．（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，二面角的大小為.
變式2．（2023春·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)DE翻折為，若F為線(xiàn)段的中點(diǎn)．在翻折過(guò)程中，
(1)求證：平面；
(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.
變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，且，分別為，的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，，為的中點(diǎn)，連接．
(1)證明：平面；
(2)若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．
考點(diǎn)十七：直接法求點(diǎn)面距
例17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，，，則點(diǎn)到上底面的距離為（）
A．4B．2C．D．3
變式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┤鐖D，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，，，，，，則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為（）
A．B．C．2D．
變式2．（2023春·山西晉中·高一?？茧A段練習(xí)）已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上，若球的體積為，則到平面的距離為（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)十八：轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)面距
例18．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱柱中，是棱長(zhǎng)為的正四面體，則點(diǎn)到平面的距離為（）
A．B．C．D．
變式1．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎睦忮F的底面是正方形，，是棱上任一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
考點(diǎn)十九：等體積法求點(diǎn)面距
例19．（2023春·貴州貴陽(yáng)·高一貴陽(yáng)市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖在棱長(zhǎng)為的正方體中，是上一點(diǎn)，且平面.

(1)求證：為的中點(diǎn)；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
變式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學(xué)校校考期中）如圖，，，，點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，繞OB所在的邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周.設(shè)OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OD時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為，.

(1)求旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S；
(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)O到平面ABD的距離.
變式2．（2023春·廣東江門(mén)·高一江門(mén)市第一中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面平面；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；
(3)若，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值．
變式3．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①，在梯形中，，，，將沿邊翻折至，使得，如圖②，過(guò)點(diǎn)作一平面與垂直，分別交于點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
1．【多選】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）

A．B．
C．D．
3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線(xiàn)CD與平面ABC所成角的正切值為（）
A．B．C．D．
4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
一、單選題
1．（2023秋·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考階段練習(xí)）點(diǎn)為平面外的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），記異面直線(xiàn)與所成角為，直線(xiàn)PM與平面所成角為，則（）
A．B．C．D．
2．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，并且異面直線(xiàn)AC與BD所成的角為90°，則MN＝（）
A．3B．4
C．5D．6
3．（2023秋·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以基，其形露矣．”文中“陽(yáng)馬”是底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，，則點(diǎn)到平面的距離為（）
A．B．C．D．
4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）平面的一條斜線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角的范圍是（）
A．B．C．D．
5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則D1A與平面ABCD所成的角為（）
A．45°B．60°C．90°D．135°
6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，、為線(xiàn)段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿(mǎn)足，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）
（1）；
（2）平面；
（3）二面角的大小為定值；
（4）四面體的體積為定值.
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
7．（2019秋·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué)?？计谥校┮阎襟w棱長(zhǎng)為，則點(diǎn)到平面的距離為（）
A．B．C．D．
8．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐中，平面，四邊形ABCD為矩形，，PC與平面所成的角為，則該四棱錐外接球的體積為（）
A．B．C．D．
9．（2023·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面與平面所成二面角的平面角為，球與平面相切于點(diǎn)，則過(guò)球心與平面均成的直線(xiàn)有（）
A．2 條B．3 條C．4 條D．5 條
二、多選題
10．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，E是棱的中點(diǎn)，則（）
A．B．
C．平面截四棱錐的外接球所得截面的面積為D．平面截四棱錐的外接球所得截面的面積為
11．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，，為線(xiàn)段上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（）

A．B．平面
C．二面角的大小為定值D．的最小值為
12．（2023春·河北石家莊·高一河北趙縣中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直B．直線(xiàn)與平面平行
C．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等D．平面截正方體所得的截面面積為
13．（2023春·貴州貴陽(yáng)·高一貴陽(yáng)市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖與分別為圓臺(tái)上下底面直徑，，若，，，則（）

A．圓臺(tái)的母線(xiàn)與底面所成的角的正切值為
B．圓臺(tái)的全面積為
C．圓臺(tái)的外接球（上下底面圓周都在球面上）的半徑為
D．從點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓臺(tái)的表面到點(diǎn)的最短距離為
三、填空題
14．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中劉徽注解“邪解立方得二塹堵”.如圖，在正方體中“邪解”得到一塹堵，為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角為_(kāi)_____.
15．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)為O，P是菱形所在平面外一點(diǎn)，平面ABCD，則異面直線(xiàn)AC與PD所成角大小為_(kāi)_____．
16．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在正四面體中，直線(xiàn)與所成角的大小為_(kāi)_______．
四、解答題
17．（2023春·河南洛陽(yáng)·高一洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，為的中點(diǎn)，將沿著翻折，使與點(diǎn)重合，且.

(1)證明：平面.
(2)作出二面角的平面角，并求其大小.
18．（2023春·湖南邵陽(yáng)·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與交于點(diǎn)，面，且.

(1)求證平面.；
(2)求與平面所成角的大?。?br>19．（2023春·河南南陽(yáng)·高一南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面PAD；
(2)若PB中點(diǎn)為Q，求證：平面平面PAD．
(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直線(xiàn)PB與面PAD所成的角．
20．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，.

(1)求證：；
(2)求與平面所成的角的大小.
21．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直線(xiàn)AM與直線(xiàn)PC所成的角為60°.

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求異面直線(xiàn)PA與MB所成角的余弦值.

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