第09講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示10種常見(jiàn)考法歸類(lèi)-新高二數(shù)學(xué)暑假銜接試題（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義，會(huì)用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運(yùn)算.會(huì)求空間向量的夾角、長(zhǎng)度以及有關(guān)平行、垂直的證明.
知識(shí)點(diǎn)1 空間直角坐標(biāo)系
1．空間直角坐標(biāo)系
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
(2)相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．
注意點(diǎn)：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.
(2)畫(huà)空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠x(chóng)Oy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐標(biāo)系均為右手直角坐標(biāo)系．在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)
（1）空間點(diǎn)的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq \(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq \(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．
注：空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)
（2）空間點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題
①空間點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題可類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題，要掌握對(duì)稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．
②對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題常常采用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱，誰(shuí)保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論．
（3）空間向量的坐標(biāo)
向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡(jiǎn)記作a＝(x，y，z)．
知識(shí)點(diǎn)2 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則
設(shè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
注意點(diǎn)：
(1)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致．
(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．
(3)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，用坐標(biāo)表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．
2．空間向量相關(guān)結(jié)論的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
(1)平行關(guān)系：當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
(2)垂直關(guān)系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(3)|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)).
(4)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
注意點(diǎn)：
(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0)．
(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，則eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2)成立的條件是x2y2z2≠0.
3．空間兩點(diǎn)間的距離公式
在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)eq \(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2).
(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
注：空間兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)過(guò)程
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，
設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，eq \(P1P2,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(→))－eq \(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq \r(\(P1P2,\s\up6(—→))·\(P1P2,\s\up6(—→)))＝
所以P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(—→))|＝，
因此，空間中已知兩點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝.
1．建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要考慮如何建系才能使點(diǎn)的坐標(biāo)簡(jiǎn)單、便于計(jì)算，一般是要使盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．充分利用幾何圖形的對(duì)稱性．
2.求某點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點(diǎn)在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為M點(diǎn)的豎坐標(biāo)z，于是得到M點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)．
3.空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律及注意點(diǎn)
(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定．
已知空間點(diǎn)的坐標(biāo)、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq \(AB,\s\up7(―→))的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)．即eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)直接計(jì)算問(wèn)題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入公式計(jì)算．
(3)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，通過(guò)解方程(組)，求出其坐標(biāo)．
4.解決空間向量垂直、平行問(wèn)題的有關(guān)思路
(1)若有關(guān)向量已知時(shí)，通常需要設(shè)出向量的坐標(biāo)．例如，設(shè)向量a＝(x，y，z)．
(2)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件，在有關(guān)平行的問(wèn)題中，通常需要引入?yún)?shù)．例如，已知a∥b，則引入?yún)?shù)λ，有a＝λb，再轉(zhuǎn)化為方程組求解；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解．
(3)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明．
5．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟
(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
(2)利用已知條件寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；
(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．
6．利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長(zhǎng)度的一般步驟
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng)．
考點(diǎn)一：空間中點(diǎn)的坐標(biāo)表示
例1．（2023秋·北京西城·高二北師大二附中?？计谥校┮阎c(diǎn) ，，點(diǎn) 滿足，則點(diǎn) 的坐標(biāo)是______．
【答案】
【分析】直接代入空間向量的坐標(biāo)公式列方程計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)，
則，
由題可得
，解得
即點(diǎn) 的坐標(biāo)是.
故答案為：.
變式1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若△頂點(diǎn)，且，，則點(diǎn)C坐標(biāo)是___________.
【答案】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示有、，即可求C坐標(biāo).
【詳解】由，，可得：，
又，同理可得：.
故答案為：
變式2．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示，即得.
【詳解】設(shè)，
∵，又，
∴，
解得，即.
故選：B.
變式3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】/
【分析】先求出向量的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，得出的坐標(biāo)，根據(jù)條件得出方程組可得答案.
【詳解】點(diǎn)，，則
設(shè)點(diǎn)，則
由，則，即x=0y=12z=1，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
故答案為：
變式4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若?，點(diǎn)C在線段AB上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________.
【答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，即可得到方程組，解得即可求得的坐標(biāo)．
【詳解】解：點(diǎn)?，為線段上一點(diǎn)，且，
所以，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
則，即，
解得，即；
故答案為：．
變式5．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若ABCD為平行四邊形，且已知點(diǎn)、、，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】設(shè)，然后利用求解即可.
【詳解】設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?br>所以，所以，
所以，所以，即.
故答案為：.
考點(diǎn)二：空間點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題
例2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征即可求解.
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：C.
變式1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，分別與點(diǎn)關(guān)于軸和軸對(duì)稱，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，求出點(diǎn)關(guān)于軸和軸對(duì)稱的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】依題意，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，
所以.
故選：A
變式2．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，而點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）
A．B．C．D．8
【答案】B
【分析】由對(duì)稱性分別求出B、C，則有，即可求得
【詳解】由題意，則，
故，.
故選：B
變式3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，P是坐標(biāo)平面xOy內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，，當(dāng)最小時(shí)P的坐標(biāo)為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】先利用對(duì)稱找出的位置，再結(jié)合三角形相似以及空間向量的運(yùn)算即可求解
【詳解】過(guò)點(diǎn)作平面xOy垂線，垂足為，延長(zhǎng)到，使得，
過(guò)點(diǎn)作平面xOy垂線，垂足為，
則，，，
因?yàn)榕c關(guān)于平面xOy對(duì)稱，
所以，
所以當(dāng)最小時(shí)點(diǎn)P是連接與平面xOy的交點(diǎn)，
連接，易知共面，且與相似，
所以，
所以，
設(shè)，則，
所以，解得，
所以P的坐標(biāo)為，
故答案為：
考點(diǎn)三：空間向量的坐標(biāo)表示
例3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】．
故答案為：
變式1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量用坐標(biāo)形式可表示為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)表示直接寫(xiě)出作答.
【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，則有.
所以向量用坐標(biāo)形式表示為.
故答案為：
變式2．（2022秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件求得.
【詳解】依題意，，所以，
所以.
故選：D
變式3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若，與同向，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】求出坐標(biāo)，根據(jù)給條件表示出坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.
【詳解】因，，則，
因與同向，則設(shè)，因此，，
于是得，解得，則，
所以向量的坐標(biāo)為.
故答案為：
變式4．【多選】（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶二中?？茧A段練習(xí)）已知四邊形的頂點(diǎn)分別是，，，，那么以下說(shuō)話中正確的是（）
A．B．
C．的中點(diǎn)坐標(biāo)為D．四邊形是一個(gè)梯形
【答案】AD
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A，B，C，通過(guò)判斷，的關(guān)系，判斷四邊形的形狀，由此判斷D.
【詳解】設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?，，，?br>所以，，，，
所以，A正確；
所以，B錯(cuò)誤；
設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，所以，所以，，所以四邊形是一個(gè)梯形，D正確；
故選：AD.
考點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例4．（2022秋·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知，(2，1，1)，則________．
【答案】
【分析】以向量的代數(shù)運(yùn)算律解之即可.
【詳解】由，(2，1，1)
可得
故答案為：
變式1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）向量，，，中，共面的三個(gè)向量是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量共面滿足的坐標(biāo)關(guān)系，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】A：若共面，則，即，
即，顯然不存在滿足題意，故不共面；
同理，B，C中的三個(gè)向量也不共面；
D：若共面，則，即，
即，故存在滿足題意，則共面.
故選：D.
變式2．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，，若向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．
【答案】1
【分析】依題意可得存在實(shí)數(shù)，使得，從得到方程組，解得即可.
【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，共面，所以存在?shí)數(shù)，使得，
即，所以，解得．
故答案為：
變式3．（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，若點(diǎn)C在平面內(nèi)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可能是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算可得，，由，不共線，結(jié)合向量基本定理可得，求得C點(diǎn)坐標(biāo)為，代入驗(yàn)算即可得解.
【詳解】由，，
顯然，不共線，
根據(jù)向量基本定理可得，
故C點(diǎn)坐標(biāo)為，
經(jīng)驗(yàn)算只有B選項(xiàng)符合條件，
此時(shí)，
故選：B
變式4．【多選】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知在空間直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
【答案】BD
【分析】由條件求，根據(jù)向量的模的個(gè)數(shù)，數(shù)量積運(yùn)算公式，數(shù)量積的性質(zhì)，向量共面定理依次判斷各選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，A錯(cuò)誤；
，B正確；
，所以不垂直，C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，即，
所以共面，
所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，D正確；
故選：BD.
變式5．（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┫铝袔捉M空間向量中，不能作為空間向量基底的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，無(wú)解，即不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)，無(wú)解，即不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，無(wú)解，即不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，解得，所以共面，故不可以作為空間向量一個(gè)基底，故D正確.
故選：D
變式6．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在中，若，，則是（）
A．頂角為銳角的等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等邊三角形D．頂角為鈍角的等腰三角形
【答案】A
【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算的坐標(biāo)，由模長(zhǎng)公式分別計(jì)算，，的值，可得，再計(jì)算可判斷為銳角，進(jìn)而可得正確答案.
【詳解】，
，，，
所以，
因?yàn)?，?br>因?yàn)椋?br>所以為銳角，
所以是頂角為銳角的等腰三角形，
故選：A.
考點(diǎn)五：空間向量的平行問(wèn)題
例5．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若，且與共線，求x，y的值．
【答案】
【分析】先判斷，然后根據(jù)題意可得到比例式，求得答案.
【詳解】，且與共線，
當(dāng)時(shí)，顯然不共線，
故，則由題意得：，
即 .
變式1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)k的值為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線條件列式計(jì)算作答.
【詳解】向量，，則，
因?yàn)?，則，解得，
所以實(shí)數(shù)k的值為.
故選：C
變式2．【多選】（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┡c向量共線的單位向量是（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)單位向量的概念，求出與向量共線的單位向量即可
【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以?br>所以與向量共線的單位向量為
，
即和，
故選：AC
變式3．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間兩點(diǎn)，1，，，2，，下列選項(xiàng)中的與共線的是（）
A．，0，B．，1，C．，，D．，2，
【答案】D
【分析】由題得，1，，再利用空間向量共線定理判斷得解.
【詳解】解：由點(diǎn)，1，，，2，，
所以，1，，
對(duì)于A，，0，，不滿足，所以與不共線；
對(duì)于B，，1，，不滿足，所以與不共線；
對(duì)于C，，，，不滿足，所以與不共線；
對(duì)于D，，2，，滿足，所以與共線．
故選：D
變式4．（2022秋·廣東江門(mén)·高二江門(mén)市第二中學(xué)?？计谥校┮阎臻g直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若，且與反向共線，則_____．
【答案】
【分析】根據(jù)向量與反向共線，設(shè)，利用列方程求得，即得答案.
【詳解】由，，可得，
由于與反向共線，設(shè)，
由可得，解得，（舍去），
故，
故答案為：
變式5．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中學(xué)校考期末）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，，若四邊形為平行四邊形，則________.
【答案】1
【分析】由四邊形為平行四邊形，可得，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】解：，，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?br>所以，
所以，，
則.
故答案為：1.
考點(diǎn)六：利用坐標(biāo)運(yùn)算解決數(shù)量積問(wèn)題
例6．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若，，，則（）
A．-11B．3C．4D．15
【答案】C
【分析】先求出的坐標(biāo)表示，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可
【詳解】由已知，，
，
∴.
故選：C．
變式1．（2022·高二單元測(cè)試）若向量，，則______．
【答案】19
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得答案.
【詳解】∵，，∴，
∴,
故答案為：19
變式2．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，
由，得，
解得.
故選：B.
變式3．（2022秋·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）在中，．
(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求．
【答案】(1),
(2)
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求出的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得.
【詳解】（1）設(shè),,
,.
設(shè),,
,.
（2），
.
考點(diǎn)七：空間向量的垂直問(wèn)題
例7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，單位向量滿足，則_________．
【答案】或
【分析】設(shè)向量，其中，由，得到方程組，進(jìn)而求得的值，即可求解.
【詳解】設(shè)向量，其中，
因?yàn)榍遥傻?，即?br>將代入，
可得或，
所以向量的坐標(biāo)為或.
故答案為：或.
變式1．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，若，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題中條件，求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
又，所以，解得.
故選：D.
變式2．（2022秋·廣東陽(yáng)江·高二陽(yáng)江市陽(yáng)東區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?，若與垂直，則＝_____.
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直關(guān)系求出x，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模的運(yùn)算計(jì)算作答.
【詳解】向量與垂直，則有，解得，
于是，
所以.
故答案為：
變式3．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間有三點(diǎn)，，，若直線上存在一點(diǎn)M，滿足，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，可得數(shù)量積為0，從而可求出，即可得解.
【詳解】解：設(shè)，
由，得，
故，則，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以.
故答案為：.
變式4．（2022秋·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，.
(1)求向量與向量的坐標(biāo)；
(2)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)，；
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1），；
（2）∵，，
且與互相垂直，
∴
解得或.
變式5．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)，，滿足，則實(shí)數(shù)a的值為（）．
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】先求出的坐標(biāo)，再由，得，解方程可求出實(shí)數(shù)a的值
【詳解】因?yàn)椋?，?br>所以，，，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得，
故選：C
變式6．（2023秋·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，，，，若則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.
【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，?br>，，，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，解得.
故選：C.
考點(diǎn)八：利用坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角問(wèn)題
例8．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知向量，若，則_________．
【答案】
【分析】設(shè)，依題意可得，再根據(jù)向量夾角公式即可求解.
【詳解】設(shè)向量，
，，設(shè)與的夾角為，，
，.
故答案為：.
變式1．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則與的夾角為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量的平行、垂直關(guān)系求，再根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角.
【詳解】∵，∴，解得，即.
又∵，注意到，則，使得，
∴，解得，故.
∴，
∴，又，
∴.
故選：B.
變式2．（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（）
A．B．C．或D．2
【答案】A
【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?
所以，，
又與夾角的余弦值為，，
所以，解得，
注意到，即，所以.
故選：A.
例9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】根據(jù)空間向量與的夾角是銳角可得且與不同向共線，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)榕c的夾角是銳角，所以，
即，解得，
若與的夾角為，則存在，使，
即，所以，解得.
故t的取值范圍是.
故答案為：.
變式1．（2023秋·福建泉州·高二福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校c(diǎn)，，，若，的夾角為銳角，則的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意可求出和，因?yàn)?，的夾角為銳角，可得，且不能是同向共線，列出不等式求解即可.
【詳解】根據(jù)題意有，，
若，則，解得
若，則，即同向
∵，的夾角為銳角，則，且不能同向
即，解得，且，
則的取值范圍為.
故答案為：.
變式2．（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍______.
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件及向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，再利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，
所以，解得，
而當(dāng)時(shí)，，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
變式3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間中的三點(diǎn)，，.
(1)求的面積；
(2)當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，求k的范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）應(yīng)用向量坐標(biāo)表示有，，由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再求其正弦值，應(yīng)用三角形面積公式求面積；
（2）向量坐標(biāo)表示得，，它們的夾角為鈍角，即，即可求參數(shù)范圍，注意排除向量反向共線的情況.
【詳解】（1）由題設(shè)，，則，
所以，故在中，
故的面積為.
（2）由（1）知：，，且它們夾角為鈍角，
所以，即，
所以，可得，
當(dāng)它們反向共線，即且時(shí)，有，無(wú)解，
綜上，.
變式4．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知，則的面積為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，求得，的坐標(biāo)及其夾角的余弦值和正弦值，利用三角形面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，故可得?br>不妨設(shè)，的夾角為，故可得，
因?yàn)椋裕?br>則.
故答案為：.
變式5．（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）長(zhǎng)方體，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出異面直線與所成角的余弦值.
【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
可得，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則.
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：D.
變式6．（2023·河南洛陽(yáng)·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長(zhǎng)均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接與交于點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得向量和的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可得解.
【詳解】連接與交于點(diǎn)，連接，
由題意得，，且平面，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)四棱錐各棱長(zhǎng)均為2，則，，
可得，
則，
設(shè)異面直線與所成角為，
則．
故選：A．
考點(diǎn)九：利用坐標(biāo)運(yùn)算解決距離問(wèn)題
例10．（2023春·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則______
【答案】
【分析】寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的向量，利用向量模求解.
【詳解】由題意，可得，
故.
故答案為：.
變式1．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若，，則（）
A．B．C．5D．10
【答案】A
【分析】先求出,再利用向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式即可
【詳解】因?yàn)?br>所以
故選:A
變式2．（2022秋·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M、N滿足，，則______.
【答案】
【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求兩點(diǎn)間的距離.
【詳解】
如圖,將正四面體ABCD放在正方體中,則正方體的邊長(zhǎng)為,
因?yàn)椋?
所以,
所以,所以.
故答案為：.
變式3．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則的最小值是________.
【答案】
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，以及向量模的計(jì)算公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由題意，向量，，可得，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
變式4．（2022·高二單元測(cè)試）若A，B，當(dāng)取最小值時(shí)，x的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo)，再利用向量模的坐標(biāo)公式求解.
【詳解】因?yàn)锳，B，
所以，
則，
，
當(dāng) 時(shí)，取最小值，
故選：C
變式5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)分別在軸，軸上，且，那么的最小值是______.
【答案】
【解析】設(shè)，0，，，，，則，，由，知．所以，由此能求出其最小值．
【詳解】設(shè)，0，，，，，
，0，，，1，-，
，，
，
，
即．
，
．（當(dāng)時(shí)取最小值）
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求最值常用的方法有：（1）函數(shù)法；（2）數(shù)形結(jié)合法；（3）導(dǎo)數(shù)法；（4）基本不等式法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
變式6．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.
【答案】4
【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量線性運(yùn)算，不等式思想即可求解．
【詳解】是空間相互垂直的單位向量，
設(shè)，，設(shè)，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
的最小值是4．
故答案為：4．
考點(diǎn)十：利用坐標(biāo)運(yùn)算求投影或投影向量
例11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)投影向量的定義即可得出正確的答案.
【詳解】根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法知，
空間中點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，
橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)不變．
所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是：
故選：B.
變式1．（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則向量在向量上的投影向量（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的定義求解作答.
【詳解】向量，，，
所以向量在向量上的投影向量.
故選：B
變式2．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解即可.
【詳解】向量在向量上的投影向量為.
故選:C.
變式3．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，則在上的投影向量的長(zhǎng)度為_(kāi)_______.
【答案】
【分析】計(jì)算，，根據(jù)投影公式得到答案.
【詳解】由已知得，
∴，又，
所以在上的投影向量的長(zhǎng)度為.
故答案為：.
1．已知向量，則下列向量中與成的是
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：對(duì)于A選項(xiàng)中的向量，，則；
對(duì)于B選項(xiàng)中的向量，，則；
對(duì)于C選項(xiàng)中的向量，，則；
對(duì)于D選項(xiàng)中的向量，此時(shí)，兩向量的夾角為.故選B.
【考點(diǎn)定位】本題考查空間向量數(shù)量積與空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中等題.
2．已知向量，且，則____________．
【答案】3
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
可得，
因?yàn)?，解得，故答案?.
3．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝________．
【答案】
【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積表示求解.
【詳解】解：
，解得
故答案為：
4．記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上一點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍．
【答案】
【詳解】建構(gòu)如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：???，則.
由，得，
而；
又.
由，
化簡(jiǎn)得，解得.
5．如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，設(shè)二面角的大小為．
（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）（2）
【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸正半軸，DC為y軸正半軸，DD1為z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，計(jì)算出平面的法向量．
（1）計(jì)算出平面的法向量，將二面角為直二面角轉(zhuǎn)化為，求出的值，再利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求出；
（2）由已知條件得出，計(jì)算的值，則利用空間兩點(diǎn)見(jiàn)的距離公式可得出的值．
【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸正半軸，DC為y軸正半軸，DD1為z軸正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，設(shè)M(0，1,z),
面MDN的法向量，
設(shè)面A1DN的法向量為，則，即，
取，則，，則．
（1）由題意：，則，
取，
；
（2）由題意：，即，
取，則，，，.
【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直、空間中兩點(diǎn)間的距離以及二面角的求法，對(duì)于二面角的求解，關(guān)鍵是要找到合適的位置建立空間直角坐標(biāo)系，并求出相應(yīng)的法向量，考查空間想象能力與運(yùn)算能力，屬于中等題．
一、單選題
1．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，則（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】.
故選：A
2．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則的形狀為（）
A．鈍角三角形B．銳角三角形
C．正三角形D．直角三角形
【答案】D
【分析】利用空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示求出的邊長(zhǎng)即可求解.
【詳解】由題得，
則，，，
因?yàn)?，所以為直角三角形?br>故選：D
3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，則線段EF長(zhǎng)的最小值為（）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.
【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
設(shè)，則，設(shè)，有，
線段EF長(zhǎng)最短，必滿足，則有，解得，即，
因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以線段EF長(zhǎng)的最小值為.
故選：B
4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）．
A．（－1，3，－3）B．（9，1，1）
C．（1，－3，3）D．（－9，－1，－1）
【答案】B
【分析】由，設(shè)結(jié)合空間向量的坐標(biāo)，得(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，即可求B的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)，由得：(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，
∴,可得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，1，1）.
故選：B
5．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則BC邊上的高等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量運(yùn)算以及向量的夾角公式進(jìn)行求解.
【詳解】由題意，，，
可得，，
，即角B為銳角，所以，
所以邊上的高.
故選：B
6．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，列出方程組即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，，且，，三向量共面?br>設(shè)，則，
即，解得.
故選：D
7．（2023春·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組空間向量不能構(gòu)成空間的一組基底的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，無(wú)解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)，所以三個(gè)向量共面，故不可以作為空間向量一個(gè)基底，故B正確.
對(duì)于C，設(shè)，無(wú)解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，無(wú)解, 即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
8．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中學(xué)?？计谀┮阎?，，則等于（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算即可.
【詳解】.
故選：B.
9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，則（）
A．B．40C．6D．36
【答案】C
【分析】利用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算求，再利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式求模長(zhǎng).
【詳解】由題意，
∵，，
∴，
∴.
故選：C.
10．（2023春·寧夏固原·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
故選：B
11．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令與共線，求出的值，依題意且與不反向共線，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到不等式組求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>令與共線，則，即，即，解得，
此時(shí)，，即，與反向，
又與的夾角為鈍角，
所以且與不反向共線，
即且，
解得且，
故選：C
12．（2023春·寧夏中衛(wèi)·高二中衛(wèi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，若，則的值為（）
A．B．2C．D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)題中條件，求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
又，所以，解得.
故選：A.
二、多選題
13．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．記與的夾角為，則D．若，則
【答案】ABD
【分析】根據(jù)空間向量線性坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及垂直的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
選項(xiàng)A：，正確；
選項(xiàng)B：，正確；
選項(xiàng)C：，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：因?yàn)?，?br>所以，由得，
所以，
所以，正確；
故選：ABD
14．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，則（）
A．B．是共面向量
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，求向量的模長(zhǎng)，判斷關(guān)系.
【詳解】，A項(xiàng)正確；
設(shè)，即，解得，，
即，所以，，共面，B項(xiàng)正確；
，所以，C項(xiàng)正確；
，D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
15．（2023春·安徽合肥·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知向量，則（）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平行、垂直的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】對(duì)于A,，
，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,，
則，
則，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確.
故選:CD.
16．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知，，則（）
A．B．
C．D．∥
【答案】AD
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)模長(zhǎng)公式、線性運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、共線向量定理逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)B，，故B不正確；
對(duì)C，，所以不垂直，故C不正確；
對(duì)D，，所以∥，故D正確.
故選：AD.
17．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．的最小值為2D．的最大值為4
【答案】ABC
【分析】根據(jù)空間向量共線定理即可判斷A；根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，若，且，，
則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，
則，解得，故A正確；
對(duì)于B，若，則，
即，解得，故B正確；
，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
18．（2023春·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．在上的投影向量的長(zhǎng)度為
【答案】BD
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，驗(yàn)證向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的長(zhǎng)度即可解決.
【詳解】對(duì)于A，由題得，而，故A不正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄康拈L(zhǎng)度為，故D正確；
故選：BD.
三、填空題
19．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習(xí)），若，則_____________．
【答案】-4
【分析】由空間向量共線定理求解.
【詳解】解：因?yàn)椋遥?br>所以，解得，
故答案為：-4
20．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)空間向量，，若，則＝______．
【答案】3
【分析】根據(jù)空間向量共線得，再利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的定義即可得到答案.
【詳解】，則顯然，，解得，
則，，
故答案為：3.
21．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)M，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】運(yùn)用空間向量求解.
【詳解】設(shè)，，，，
則，，又，
即，解得，故M點(diǎn)的坐標(biāo)為；
故答案為：.
22．（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚遗c互相垂直，則實(shí)數(shù)__________.
【答案】/
【分析】求出，根據(jù)向量模長(zhǎng)公式列出方程，求出.再分與兩種情況，根據(jù)向量垂直列出方程，求出實(shí)數(shù)k的值.
【詳解】，
所以，解得.
當(dāng)時(shí)，
，
，
因?yàn)榕c互相垂直，
所以，解得.
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榕c互相垂直，
所以，解得，
綜上：.
故答案為：
23．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知空間向量，，，若，則______．
【答案】
【詳解】，
，，，
解得，
故答案為：.
24．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，則_________，_________，_________，_________，_________．
【答案】
【分析】由空間向量的模長(zhǎng)公式，數(shù)量積的運(yùn)算法則，夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】已知，則，
，，
，
.
故答案為：；；；；.
四、解答題
25．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn).

(1)求線段的長(zhǎng)度；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出即可；
（2）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，故，
所以，
即線段的長(zhǎng)度為；
（2），
則，
所以.

26．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，.
(1)求與的夾角余弦值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量坐標(biāo)夾角公式計(jì)算可得答案；
（2）利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，
，，
所以；
（2），
因?yàn)?，所以?br>解得.
27．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．
(1)設(shè)，，求；
(2)求與的夾角；
(3)若與互相垂直，求k．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）由空間向量平行，得出，設(shè)，再利用列方程，進(jìn)而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值，根據(jù)反三角函數(shù)即可求得向量夾角；
（3）利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值．
【詳解】（1）由題可知，，
由，得，設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以或．
（2）因?yàn)椤?、，，?br>所以，，
則，
所以與的夾角為．
（3）因?yàn)?，?br>又與垂直，
所以，
解得或．
28．（2023春·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn)．
(1)求的距離；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以點(diǎn)C作為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
（2）利用向量夾角運(yùn)算公式計(jì)算的值；
【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，，．
，∴
∴．
所以的距離為.
（2）依題意得，，，，
∴，，
，，，
∴．
29．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知空間向量，，．
(1)若，求；
(2)若與相互垂直，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)空間向量共線公式列式求參即可；
（2）根據(jù)空間向量垂直數(shù)量積為0列式求參即可.
【詳解】（1），
，，
即，且，，解得；
（2），，
又，解得．
30．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量．
(1)求；
(2)當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)和的值；
(3)若向量與向量共面向量，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)公式求解即可.
（2）根據(jù)空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算，可得坐標(biāo)表示，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)計(jì)算公式，求解即可.
（3）根據(jù)向量共面定理，建立向量與向量之間的表示，可得方程組，求解即可.
【詳解】（1），，
，
．
（2）因?yàn)椋?br>所以，解得，
因?yàn)?，且向量與垂直，
所以，
即，
．
所以實(shí)數(shù)和的值分別為和；
（3）解：設(shè)，
則
解得，
即，
所以向量與向量，共面．
31．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若與垂直，求．
【答案】(1)或；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用空間向量平行充要條件設(shè)出，再利用列方程，進(jìn)而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；
（3）利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值．
【詳解】（1）、，，，且，
設(shè)，且，
解得，或；
（2）、、，，，
，，
；
（3），，
又與垂直，
，
解得或．
點(diǎn)的位置
x軸上
y軸上
z軸上
坐標(biāo)的形式
(x,0,0)
(0，y,0)
(0,0，z)
點(diǎn)的位置
Oxy平面內(nèi)
Oyz平面內(nèi)
Ozx平面內(nèi)
坐標(biāo)的形式
(x，y,0)
(0，y，z)
(x,0，z)
向量運(yùn)算
向量表示
坐標(biāo)表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘
λa
(λa1，λa2，λa3)
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3

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