一、選擇題（本大題有16個小題，共42分，1-10小題各3分：11-16小題各2分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．圍棋起于中國，古代稱之為“弈”，至今已有多年的歷史．以下是在棋譜中截取的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．下列選項中，屬于最簡二次根式的是( )
A． B． C． D．
4．如圖，把矩形紙片紙沿對角線折疊，設(shè)重疊部分為，那么下列說法錯誤的是（ ）
A．是等腰三角形，B．折疊后和一定相等
C．折疊后得到的圖形是軸對稱圖形D．和一定是全等三角形
5．若，則（ ）
A．2B．4C．D．
6．已知中，，，的對邊分別是，，．下列條件不能判斷是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，，，垂足為F，點E在BC上，且，，則的度數(shù)為（ ）
A．34°B．52°C．56°D．62°
8．下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如圖，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形，其作法錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
10．若，，則M，N的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．無法比較
11．如圖，長方形的邊在數(shù)軸上，若點A與數(shù)軸上表示數(shù)的點重合，點D與數(shù)軸上表示數(shù)的點重合，，以點A為圓心，對角線的長為半徑作弧與數(shù)軸負半軸交于一點E，則點E表示的數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
12．如圖，點為內(nèi)一點，分別作點關(guān)于、的對稱點，，連接交于，交于，，則的周長為（ ）
A．16B．15C．14D．13
13．小明學習了角的平分線后，發(fā)現(xiàn)角平分線分得的和的面積比與兩邊長有關(guān)．如圖，若，，你能幫小明算出下面的比值嗎________；（ ）
A．B．C．D．4
14．如圖，是一個兒童滑梯，，，是滑梯的三根加固支架，且和都垂直地面，是滑道的中點，小周測得米，米，米，通過計算，他知道了滑道長為（ ）米．
A．B．2C．3D．無法計算
15．如圖，已知，是的兩條高線，，，則（ ）度．
A．B．C．D．
16．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點是邊的中點，點是上任意一點，連接，，若，，當周長取到最小值時，，之間的數(shù)量關(guān)系是（ ）．
A．B．C．D．無法計算
二、填空題（本大題有3個小題，每小題3分，共9分）
17．的倒數(shù)是 .
18．如圖，中，點在上，將點分別以、為對稱軸，畫出對稱點、，并連接、．根據(jù)圖中標示的角度，則的度數(shù)為 ．
19．如圖，在中，，是的平分線，是邊上的中線．用反證法說明點與點不重合 ．
三、解答題（共69分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
20．計算：
(1)
(2)
21．如圖，在方格中，水平方向的數(shù)軸我們叫軸，豎直方向的數(shù)軸我們叫軸，的三個頂點我們可以分別表示為，，．并稱之為它們的坐標
(1)畫出與關(guān)于軸對稱的（點，，的對應(yīng)點分別為點，，，），并仿照上面表示方法寫出點，，三點的坐標；
(2)點在軸上，使得，尺規(guī)作出點；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(3)點在軸上，使得的周長最小，作出點．（不寫作法，保留作圖痕跡）
22．如圖，在四邊形中，，平分，，交的延長線于點．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)連接，與相交于點，求證：垂直平分．
23．在學習“分式方程應(yīng)用”時，張老師板書了如下的問題，小明和小亮兩名同學都列出了對應(yīng)的方程．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)小明同學所列方程中表示______；
列方程所依據(jù)的等量關(guān)系是______．
小亮同學所列方程中表示______；
列方程所依據(jù)的等量關(guān)系是______．
(2)請你在兩個方程中任選一個，解答老師的例題．
24．【綜合與實踐】
建筑工地上工人師傅經(jīng)常需畫直角或判定一個角是否是直角，現(xiàn)僅有一根繩子，請幫助工人師傅完成此項工作．數(shù)學活動課上，小歌、小智兩名同學經(jīng)過討論，在繩子上打13個等距的繩結(jié)，做成如圖①所示的“工具繩”．他們利用此“工具繩”分別設(shè)計了以下方案：
小歌的方案：如圖②，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將繩結(jié)點C、D固定，拉直、分別繞繩結(jié)點C、D旋轉(zhuǎn)，使繩結(jié)點A、B在點E處重合，畫出，則．

小智的方案：如圖③，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將中點O固定，拉直繞點O旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）到的位置，畫出，則．
問題解決：
(1)填空：在小歌的方案中，依據(jù)的一個數(shù)學定理是 ；
(2)根據(jù)小智的方案，證明：；
(3)工地上有一扇如圖④所示的窗戶，利用“工具繩”設(shè)計一個與小歌、小智不一樣的方案，檢驗窗戶橫檔與豎檔是否垂直．畫出簡圖，并說明理由．
25．（1）閱讀下題及證明過程
已知：如圖，是的邊上一點，是上一點，，．
求證：．
證明：在和中，
因為，，，
所以………………第一步
所以………………第二步
上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認為正確的證明過程．
（2）如果兩個銳角三角形的兩組邊分別相等，且其中一組等邊的對角相等，那么這兩個三角形全等嗎？請說明理由．

參考答案與解析
1．C
解析：A.不符合中心對稱圖形的定義，故此項不符合題意；
B.不符合中心對稱圖形的定義，故此項不符合題意；
C.符合中心對稱圖形的定義，故此項不符合題意；
D.不符合中心對稱圖形的定義，故此項不符合題意；
故選：C．
2．B
解析：解：∵，
即
解得．
故選：B．
3．C
解析：中被開方數(shù)含分母，不屬于最簡二次根式，A錯誤；
=2，不屬于最簡二次根式，B錯誤；
屬于最簡二次根式，C正確；
不屬于最簡二次根式，D錯誤.
故選C．
4．B
解析：解：∵四邊形是矩形，且沿對角線折疊，
∴，，，，
∴，
∴，
∴A，C，D正確，
故選B，
．
5．A
解析：解：∵，
∴，
故選：A．
6．C
解析：解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故選：．
7．D
解析：解：∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∵∠A=34°，
∴∠B=56°，
∵∠C=∠B，
∴∠C=56°，
∵CD=CE，
∴∠D=∠CED==62°，
故選：D．
8．D
解析：解：A、，等式不成立，不符合題意；
B、，等式不成立，不符合題意；
C、，等式不成立，不符合題意；
D、，等式成立，符合題意；
故選D．
9．C
解析：A、由圖可知，以點A為圓心，為半徑畫弧，交于點D，
∴，
∴是等腰三角形，不合題意；
B、由圖可知，分別以點B，點A為圓心，大于為半徑畫圓弧，連接弧線，交于點D，
∴，
∴是等腰三角形，不合題意；
C、由圖可知，分別以點B，點C為圓心，大于為半徑畫圓弧，連接弧線，交于點D，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴不是等腰三角形．
∵，
∴，
∴不是等腰三角形，符合題意；
D、由圖可知為的角平分線，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，不合題意；
故選C．
10．C
解析：解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選C．
11．D
解析：解：在長方形中，，
∴，
則點A到該交點的距離為，
∵點A表示的數(shù)為，
∴該點表示的數(shù)為：，
故選：D．
12．B
解析：解：∵點關(guān)于、的對稱點，，
∴，，
∴△PMN的周長，
∵
∴△PMN的周長為．
故選：．
13．A
解析：過點D作于點E，于點F，
平分，
，
．
故選：A．
14．A
解析：解：如圖，連接，過作于，
∵米，米，
∴(米)，
∵，
∴，
∵是滑道的中點，
∴，
∵，
∴(米)，
∴(米)，
在中，由勾股定理得：(米)，
在中，由勾股定理得：(米)，
故選：A．
15．A
解析：解：∵，
∴
∴
∵
∴
故選：A
16．C
解析：解：∵的垂直平分線分別交，于點，M，N，
∴A，C關(guān)于對稱，
連接與交于點P，則此時周長取到最小值時周長取到最小值，
∵，點D是的中點，
∴，
∵垂直平分，點P是上的點，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C
17．##
解析：解：的倒數(shù)為；
故答案為．
18．##度
解析：解∶連接，
點分別以、為對稱軸，畫出對稱點、，
，，
，，
，
，
故答案為：
19．假設(shè)點M與點D重合，延長到N，使，連接，可證得，則有和，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，可得到得出矛盾，假設(shè)不成立．
解析：證明：假設(shè)點M與點D重合．延長到N，使，連接．
在和中，
∵是邊上的中線．
∴，
∵，，
∴；
∴，；
∵（）是的平分線，
∴，
∴，
則，
即，與相矛盾．
因而M與點D重合是錯誤的．
所以點M與點D不重合．
20．(1)
(2)
解析：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
21．(1)詳見解析，，，
(2)詳見解析
(3)詳見解析
解析：（1）如圖，即為所求；
∴，，；
（2）解：如圖所示，作線段的垂直平分線，其與x軸交于點D，點D即為所求；
（3）解：如圖，連接交y軸于P，點P即為所求．
22．(1)見詳解
(2)見詳解
解析：（1）證明：∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）證明：∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
，
，
點、點在線段的垂直平分線上，
垂直平分．
23．(1)購進的第一批醫(yī)用口罩有x包；第二次進價第一次進價；第一批口罩的單價為元；第二批口罩數(shù)量第一批口罩數(shù)量；
(2)購進的第一批醫(yī)用口罩有包．
解析：（1）解：由可得，
小明同學選擇的是以單價為等式，
∴x代表：購進的第一批醫(yī)用口罩有x包，
等量關(guān)系式為：第二次進價第一次進價，
由可得，
小亮同學以數(shù)量為等量關(guān)系式，
∴表示：第一批口罩的單價為元，
等量關(guān)系式為：第二批口罩數(shù)量第一批口罩數(shù)量，
故答案為：購進的第一批醫(yī)用口罩有x包；第二次進價第一次進價；第一批口罩的單價為元；第二批口罩數(shù)量第一批口罩數(shù)量；
（2）解：設(shè)購進的第一批醫(yī)用口罩有x包，由題意可得，
，
解得：
答：購進的第一批醫(yī)用口罩有包．
24．(1)勾股定理的逆定理
(2)見解析
(3)見解析，理由：到一條線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
解析：（1）∵，
∴是直角三角形，且，
依據(jù)的一個數(shù)學定理是：勾股定理的逆定理，
故答案為：勾股定理的逆定理；
（2）∵為的中點，
∴，
由旋轉(zhuǎn)得，
∴,
∴和為等腰三角形，
∴，
又，
∴
∴
∴；
（3）如圖，

將工具繩置于處，
1.先以P點為圓心，為半徑畫一個圓 ，
2.再以Q點為圓心，為半徑畫一個圓 ，
3.兩圓會有兩個交點，用直尺連接，
4.觀察連線與是否重合
理由：到一條線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
25．（1）不正確；錯在第一步，詳見解析；（2）全等，詳見解析
解析：（1）不正確；錯在第一步．
證明：在△BEC中，∵，
∴，
∵，
，
，
在和中，
，
；
（2）全等．理由如下：
已知：如圖，在銳角三角形和銳角三角形中，
，，．
求證：．
證明：過點A作于點D，過點作于點，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
．12．3分式方程例：疫情防控形勢下，人們在外出時都應(yīng)戴上口罩以免受新型冠狀病毒的感染．某藥店用4000元購進了一批一次性醫(yī)用口罩，很快售完，該店又用7500元錢購進第二批這種口罩，所進的數(shù)量比第一批多50%，每包口罩的進價比第一批多0．5元，求購進的第一批醫(yī)用口罩有多少包?
小明： 小亮：

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