一、單選題
1．圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史.以下是在棋譜中截取的四個(gè)部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對(duì)稱圖形的是( )
A.B.C.D.
2．若，則x的取值范圍是( )
A.B.C.D.
3．下列選項(xiàng)中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是( )
A.B.C.D.
4．如圖，把矩形紙片紙沿對(duì)角線折疊，設(shè)重疊部分為，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.是等腰三角形，B.折疊后和一定相等
C.折疊后得到的圖形是軸對(duì)稱圖形D.和一定是全等三角形
5．若，，則( )
A.2B.4C.D.
6．已知中，，，的對(duì)邊分別是a，b，c.下列條件不能判斷是直角三角形的是( )
A.B.
C.D.
7．如圖，，，垂足為F，點(diǎn)E在BC上，且，，則的度數(shù)為( )
A.34°B.52°C.56°D.62°
8．下列等式成立的是( )
A.B.C.D.
9．如圖，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形，其作法錯(cuò)誤的是( )
A.B.C.D.
10．若，，則M，N的大小關(guān)系是( )
A.B.C.D.無(wú)法比較
11．如圖，長(zhǎng)方形的邊在數(shù)軸上，若點(diǎn)A與數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)重合，點(diǎn)D與數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)重合，，以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑作弧與數(shù)軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為( )
A.B.C.D.
12．如圖，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交于M，交于N，，則的周長(zhǎng)為( )
A.16B.15C.14D.13
13．小明學(xué)習(xí)了角的平分線后，發(fā)現(xiàn)角平分線分得的和的面積比與兩邊長(zhǎng)有關(guān).如圖，若，，你能幫小明算出下面的比值嗎( )
A.B.C.D.4
14．如圖，是一個(gè)兒童滑梯，，，是滑梯的三根加固支架，且和都垂直地面，N是滑道的中點(diǎn)，小周測(cè)得米，米，米，通過(guò)計(jì)算，他知道了滑道長(zhǎng)為( )米.
A.B.2C.3D.無(wú)法計(jì)算
15．如圖，已知，是的兩條高線，，，則( )度.
A.40B.45C.30D.50
16．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)M，N，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上任意一點(diǎn)，連接，，若，，當(dāng)周長(zhǎng)取到最小值時(shí)，，之間的數(shù)量關(guān)系是( ).
A.B.C.D.無(wú)法計(jì)算
二、填空題
17．的倒數(shù)是_____.
18．如圖，中，D點(diǎn)在上，將D點(diǎn)分別以、為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E、F，并連接、.根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，則的度數(shù)為_____.
19．如圖，在中，，是的平分線，是邊上的中線.用反證法說(shuō)明點(diǎn)M與點(diǎn)D不重合_____.
三、解答題
20．計(jì)算：
（1）；
（2）.
21．如圖，在方格中，水平方向的數(shù)軸我們叫x軸，豎直方向的數(shù)軸我們叫y軸，的三個(gè)頂點(diǎn)我們可以分別表示為，，.并稱之為它們的坐標(biāo)
（1）畫出與關(guān)于y軸對(duì)稱的（點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，），并仿照上面表示方法寫出點(diǎn)，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D在x軸上，使得，尺規(guī)作出點(diǎn)D；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（3）點(diǎn)P在y軸上，使得的周長(zhǎng)最小，作出點(diǎn)P.（不寫作法，保留作圖痕跡）
22．如圖，在四邊形中，，平分，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
（1）求證：是等腰三角形；
（2）連接，與相交于點(diǎn)F，求證：垂直平分.
23．在學(xué)習(xí)“分式方程應(yīng)用”時(shí)，張老師板書了如下的問(wèn)題，小明和小亮兩名同學(xué)都列出了對(duì)應(yīng)的方程.
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）小明同學(xué)所列方程中x表示______；列方程所依據(jù)的等量關(guān)系是______.
小亮同學(xué)所列方程中y表示______；列方程所依據(jù)的等量關(guān)系是______.
（2）請(qǐng)你在兩個(gè)方程中任選一個(gè)，解答老師的例題.
24．【綜合與實(shí)踐】
建筑工地上工人師傅經(jīng)常需畫直角或判定一個(gè)角是否是直角，現(xiàn)僅有一根繩子，請(qǐng)幫助工人師傅完成此項(xiàng)工作.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小歌、小智兩名同學(xué)經(jīng)過(guò)討論，在繩子上打13個(gè)等距的繩結(jié)，做成如圖①所示的“工具繩”.他們利用此“工具繩”分別設(shè)計(jì)了以下方案：
小歌的方案：如圖②，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將繩結(jié)點(diǎn)C、D固定，拉直、分別繞繩結(jié)點(diǎn)C、D旋轉(zhuǎn)，使繩結(jié)點(diǎn)A、B在點(diǎn)E處重合，畫出，則.
小智的方案：如圖③，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將中點(diǎn)O固定，拉直繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）到的位置，畫出，則.
問(wèn)題解決：
（1）填空：在小歌的方案中，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是 ；
（2）根據(jù)小智的方案，證明：；
（3）工地上有一扇如圖④所示的窗戶，利用“工具繩”設(shè)計(jì)一個(gè)與小歌、小智不一樣的方案，檢驗(yàn)窗戶橫檔與豎檔是否垂直.畫出簡(jiǎn)圖，并說(shuō)明理由.
25．（1）閱讀下題及證明過(guò)程
已知：如圖，D是的邊上一點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，，.
求證：.
證明：在和中，
因?yàn)?，，?br>所以………………第一步
所以………………第二步
上面的證明過(guò)程是否正確？若正確，請(qǐng)寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過(guò)程.
（2）如果兩個(gè)銳角三角形的兩組邊分別相等，且其中一組等邊的對(duì)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案
1．答案：C
解析：A.不符合中心對(duì)稱圖形的定義，故此項(xiàng)不符合題意；
B.不符合中心對(duì)稱圖形的定義，故此項(xiàng)不符合題意；
C.符合中心對(duì)稱圖形的定義，故此項(xiàng)不符合題意；
D.不符合中心對(duì)稱圖形的定義，故此項(xiàng)不符合題意；
故選：C.
2．答案：B
解析：，
即
解得.
故選：B.
3．答案：C
解析：中被開方數(shù)含分母，不屬于最簡(jiǎn)二次根式，A錯(cuò)誤；
，不屬于最簡(jiǎn)二次根式，B錯(cuò)誤；
屬于最簡(jiǎn)二次根式，C正確；
不屬于最簡(jiǎn)二次根式，D錯(cuò)誤.
故選C.
4．答案：B
解析：四邊形是矩形，且沿對(duì)角線折疊，
，，，，
，
，
A，C，D正確，
故選B.
5．答案：A
解析：，，
，
故選：A.
6．答案：C
解析：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形.
故選：C.
7．答案：D
解析：，
，
，
，
，
，
，
，
故選：D.
8．答案：D
解析：A、，等式不成立，不符合題意；
B、，等式不成立，不符合題意；
C、，等式不成立，不符合題意；
D、，等式成立，符合題意；
故選D.
9．答案：C
解析：A、由圖可知，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，
，
是等腰三角形，不合題意；
B、由圖可知，分別以點(diǎn)B，點(diǎn)A為圓心，大于為半徑畫圓弧，連接弧線，交于點(diǎn)D，
，
是等腰三角形，不合題意；
C、由圖可知，分別以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，大于為半徑畫圓弧，連接弧線，交于點(diǎn)D，
，
，，
.
，
，
不是等腰三角形.
，
，
不是等腰三角形，符合題意；
D、由圖可知為的角平分線，
，，
，
，
，
是等腰三角形，不合題意；
故選C.
10．答案：C
解析：，，
，
，
，
.
故選C.
11．答案：D
解析：在長(zhǎng)方形中，，，
，
則點(diǎn)A到該交點(diǎn)的距離為，
點(diǎn)A表示的數(shù)為，
該點(diǎn)表示的數(shù)為：，
故選：D.
12．答案：B
解析：點(diǎn)P關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，，
，，
的周長(zhǎng)，

的周長(zhǎng)為.
故選：B.
13．答案：A
解析：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
平分，
，
.
故選：A.
14．答案：A
解析：如圖，連接，過(guò)N作于G，
米，米，
(米)，
，
，
N是滑道的中點(diǎn)，
，
，
(米)，
(米)，
在中，由勾股定理得：(米)，
在中，由勾股定理得：(米)，
故選：A.
15．答案：A
解析：，，，
，
，
，
.
故選：A.
16．答案：C
解析：的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，M，N，
A，C關(guān)于對(duì)稱，
連接與交于點(diǎn)P，則此時(shí)周長(zhǎng)取到最小值時(shí)周長(zhǎng)取到最小值，
，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
，
垂直平分，點(diǎn)P是上的點(diǎn)，
，
，
，
，
故選：C.
17．答案：
解析：的倒數(shù)為；
故答案為.
18．答案：
解析：連接，
D點(diǎn)分別以、為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E、F，
，，
，，
，
，
故答案為：
19．答案：假設(shè)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，延長(zhǎng)到N，使，連接，可證得，則有和，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，可得到得出矛盾，假設(shè)不成立.
解析：證明：假設(shè)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合.延長(zhǎng)到N，使，連接.
在和中，
是邊上的中線.
，
，，
；
，；
（）是的平分線，
，
，
則，
即，與相矛盾.
因而M與點(diǎn)D重合是錯(cuò)誤的.
所以點(diǎn)M與點(diǎn)D不重合.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式
；
（2）原式
.
21．答案：（1）詳見解析，，，
（2）詳見解析
（3）詳見解析
解析：（1）如圖，即為所求；
，，；
（2）如圖所示，作線段的垂直平分線，其與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求；
（3）如圖，連接交y軸于P，點(diǎn)P即為所求.
22．答案：（1）見詳解
（2）見詳解
解析：（1）證明：，平分，
，，
，
，
是等腰三角形；
（2）證明：平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
點(diǎn)A、點(diǎn)C在線段的垂直平分線上，
垂直平分.
23．答案：（1）購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有x包；第二次進(jìn)價(jià)=第一次進(jìn)價(jià)；第一批口罩的單價(jià)為y元；第二批口罩?jǐn)?shù)量=第一批口罩?jǐn)?shù)量
（2）購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有2000包
解析：（1）由可得，
小明同學(xué)選擇的是以單價(jià)為等式，
x代表：購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有x包，
等量關(guān)系式為：第二次進(jìn)價(jià)=第一次進(jìn)價(jià)，
由可得，
小亮同學(xué)以數(shù)量為等量關(guān)系式，
y表示：第一批口罩的單價(jià)為y元，
等量關(guān)系式為：第二批口罩?jǐn)?shù)量=第一批口罩?jǐn)?shù)量，
故答案為：購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有x包；第二次進(jìn)價(jià)=第一次進(jìn)價(jià)；第一批口罩的單價(jià)為y元；第二批口罩?jǐn)?shù)量=第一批口罩?jǐn)?shù)量；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有x包，由題意可得，
，
解得：
答：購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有2000包.
24．答案：（1）勾股定理的逆定理
（2）見解析
（3）見解析，理由：到一條線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
解析：（1），
是直角三角形，且，
依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是：勾股定理的逆定理，
故答案為：勾股定理的逆定理；
（2）O為的中點(diǎn)，
，
由旋轉(zhuǎn)得，，
，
和為等腰三角形，
，，
又，
，
；
（3）如圖，
將工具繩置于處，
①.先以P點(diǎn)為圓心，為半徑畫一個(gè)圓，
②.再以Q點(diǎn)為圓心，為半徑畫一個(gè)圓，
③.兩圓會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，用直尺連接，
④.觀察連線與是否重合.
理由：到一條線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
25．答案：（1）不正確；錯(cuò)在第一步，詳見解析
（2）全等，詳見解析
解析：（1）不正確；錯(cuò)在第一步.
證明：在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）全等.理由如下：
已知：如圖，在銳角三角形和銳角三角形中，
，，.
求證：.
證明：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
.
12.3分式方程例：疫情防控形勢(shì)下，人們?cè)谕獬鰰r(shí)都應(yīng)戴上口罩以免受新型冠狀病毒的感染.某藥店用4000元購(gòu)進(jìn)了一批一次性醫(yī)用口罩，很快售完，該店又用7500元錢購(gòu)進(jìn)第二批這種口罩，所進(jìn)的數(shù)量比第一批多50%，每包口罩的進(jìn)價(jià)比第一批多0.5元，求購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有多少包？
小明：
小亮：

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