2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-函數(shù)的奇偶性與周期性【含解析】

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1.(5分)下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( )
A.y=sin xB.y=2xC.y=lg2xD.y=x3
2.(5分)如果f(x)是定義在R上的奇函數(shù),那么下列函數(shù)中,一定為偶函數(shù)的是( )
A.y=x+f(x)B.y=xf(x)C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)
3.(5分)(2023·河南名校聯(lián)盟模擬)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)01-ln x,整理得ln x>12,
解得x>e,故不等式的解集為(e,+∞).
答案:(e,+∞)
10.(10分)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).
又4-π∈(0,1),
所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=π-4.
(2)當(dāng)-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.
【解析】(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x),
得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),
即f(1+x)=f(1-x),
故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
又當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則f(x)在[-4,4]上的圖象如圖所示.
當(dāng)-4≤x≤4時,設(shè)f(x)的圖象與x軸圍成圖形的面積為S,
則S=4S△OAB=4×(12×2×1)=4.
11.(10分)已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立,且f(3)=2 024.
(1)分別求f(0)和f(-3)的值;
【解析】(1)令x=y=0,可得f(0)=-1;
令x=-3,y=3,可得f(0)=f(-3)+f(3)+1,
所以-1=f(-3)+2 024+1,
即f(-3)=-2 026.
(2)判斷并證明函數(shù)F(x)=f(x)+1的奇偶性.
【解析】(2)令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)+1,
所以f(x)+f(-x)=-2,
所以f(x)+1+f(-x)+1=0,
即F(-x)+F(x)=0,F(-x)=-F(x),
所以函數(shù)F(x)=f(x)+1是奇函數(shù).
【能力提升練】
12.(5分)(多選題)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),其周期為4,當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x-2,則( )
A.f(2 023)=0
B.f(x)的值域?yàn)閇-1,2]
C.f(x)在[4,6]上單調(diào)遞減
D.f(x)在[-6,6]上有8個零點(diǎn)
【解析】選AB.f(2 023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正確;
當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x-2單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x∈[0,2]時,函數(shù)的值域?yàn)閇-1,2],
由于函數(shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)的值域?yàn)閇-1,2],所以B正確;
當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x-2單調(diào)遞增,
又函數(shù)的周期是4,
所以f(x)在[4,6]上單調(diào)遞增,所以C錯誤;
令f(x)=2x-2=0,所以x=1,
所以f(1)=f(-1)=0,
由于函數(shù)的周期為4,
所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,
所以f(x)在[-6,6]上有6個零點(diǎn),所以D錯誤.
13.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a= .
【解析】方法一(定義法) 因?yàn)閒(x)=x3(a·2x-2-x)的定義域?yàn)镽,且是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)對任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)對任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0對任意的x∈R恒成立,所以a=1.
方法二(取特殊值檢驗(yàn)法) 因?yàn)閒(x)=x3(a·2x-2-x)的定義域?yàn)镽,且是偶函數(shù),
所以f(-1)=f(1),所以-(a2-2)=2a-12,
解得a=1,經(jīng)檢驗(yàn),f(x)=x3(2x-2-x)為偶函數(shù),所以a=1.
方法三(轉(zhuǎn)化法) 由題意知f(x)=x3(a·2x-2-x)的定義域?yàn)镽,且是偶函數(shù).
設(shè)g(x)=x3,h(x)=a·2x-2-x,
因?yàn)間(x)=x3為奇函數(shù),所以h(x)=a·2x-2-x為奇函數(shù),
所以h(0)=a·20-2-0=0,
解得a=1,經(jīng)檢驗(yàn),f(x)=x3(2x-2-x)為偶函數(shù),所以a=1.
答案:1
14.(10分)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2.
(1)求證:f(x)是周期函數(shù);
【解析】(1)因?yàn)閒(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).
(2)當(dāng)x∈[2,4]時,求f(x)的解析式;
【解析】(2)x∈[2,4],則4-x∈[0,2],
f(x)=f(x-4)=-f[-(x-4)]
=-f(4-x)=-[2(4-x)-(4-x)2]
=x2-6x+8,
所以x∈[2,4]時,f(x)=x2-6x+8.
(3)計(jì)算:f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023).
【解析】(3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
又f(x)是周期為4的周期函數(shù),
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=0,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)=0.