課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六） 函數(shù)的奇偶性及周期性一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2019·南通中學(xué)高三測(cè)試)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，且f(－1)＝2，那么f(0)＋f(1)＝________.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，f(1)＝－f(－1)＝－2，f(0)＝0，所以f(0)＋f(1)＝－2.答案：－22．(2018·南京三模)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－2，則不等式f(x－1)≤2的解集是________．解析：偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝2.所以f(x－1)≤2，即f(|x－1|)≤f(2)，即|x－1|≤2，所以－1≤x≤3.答案：[－1,3]3．函數(shù)f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，則f(－a)＝________.解析：由題意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.所以f(－a)＝2－f(a)＝－1.答案：－14．函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f(x)＝＋1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝________.解析：因?yàn)?/span>f(x)為奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f(x)＝＋1，所以當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x＜0時(shí)，f(x)＝－(＋1)＝－－1.答案：－－15．(2019·連云港高三測(cè)試)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x，則f(－2＋log35)＝________.解析：由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f(－2＋log35)＝－f(2－log35)，由于當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x，故f(－2＋log35)＝－f＝－＝－.答案：－6．(2018·南通一調(diào))若函數(shù)f(x)＝(a，b∈R)為奇函數(shù)，則f(a＋b)＝________.解析：法一：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以即解得經(jīng)驗(yàn)證a＝－1，b＝2滿足題設(shè)條件，所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.法二：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由題意知，當(dāng)x≥0，二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)x＜0，二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－a)，所以解得a＝－1，b＝2，經(jīng)驗(yàn)證a＝－1，b＝2滿足題設(shè)條件，所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.答案：－1二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．(2018·撫順期末)設(shè)f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，且在[－2b,0]上為增函數(shù)，則f(x－1)≥f(3)的解集為________．解析：∵f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，∴－2b＋3＋b＝0，∴b＝3，∴f(x)是定義在[－6,6]上的偶函數(shù)，且在[－6,0]上為增函數(shù)，∴f(x)在[0,6]上為減函數(shù)，∴由f(x－1)≥f(3)，得|x－1|≤3，解得－2≤x≤4，∴f(x－1)≥f(3)的解集為{x|－2≤x≤4}．答案：{x|－2≤x≤4}2．(2019·常州一中模擬)設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＋f(x)＝1，且當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)＝2－x，則f(－2 018.5)＝________.解析：由f(x＋1)＋f(x)＝1在R上恒成立，得f(x－1)＋f(x)＝1，兩式相減得f(x＋1)－f(x－1)＝0，即f(x＋1)＝f(x－1)恒成立，故函數(shù)f(x)的周期是2，∴f(－2 018.5)＝f(－0.5)＝f(1.5)，又當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)＝2－x，∴f(－2 018.5)＝f(1.5)＝2－1.5＝0.5.答案：0.53．已知函數(shù)f(x)是定義在[－2,2]上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0,2]上是單調(diào)減函數(shù)．若f(2x＋1)＋f(1)＜0，則x的取值范圍是________．解析：∵函數(shù)f(x)是定義在[－2,2]上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0,2]上是單調(diào)減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上是單調(diào)減函數(shù)．∵f(2x＋1)＋f(1)＜0，即f(2x＋1)＜－f(1)，∴f(2x＋1)＜f(－1)．則解得－1＜x≤.∴x的取值范圍是.答案：4．(2018·泰州期末)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝2x＋ln，記an＝f(n－5)，則數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為________．解析：數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋(f(－3)＋f(3))＋(f(－2)＋f(2))＋(f(－1)＋f(1))＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－＝－16.答案：－165．(2018·徐州期中)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x＋1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若f(2x－1)＋f(4－x2)＞2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．解析：令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x，則g(x)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增．因?yàn)?/span>f(2x－1)＋f(4－x2)＞2，所以f(2x－1)－1＋f(4－x2)－1＞0，即g(2x－1)＋g(4－x2)＞0，所以g(2x－1)＞g(x2－4)，即2x－1＞x2－4，解得x∈(－1,3)．答案：(－1,3) 6．(2019·鎮(zhèn)江中學(xué)測(cè)試)已知奇函數(shù)f(x)在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，若實(shí)數(shù)a滿足f(2|2a－1|)＋f(－2)＞0，則a的取值范圍是________．解析：由f(2|2a－1|)＋f(－2)＞0，可得f(2|2a－1|)＞－f(－2)．因?yàn)?/span>f(x)為奇函數(shù)，所以f(2|2a－1|)＞f(2)．因?yàn)?/span>f(x)在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，所以2|2a－1|＜2，即|2a－1|＜，解得－＜a＜.答案：7．(2019·蘇州調(diào)研)已知奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則不等式＞0的解集為________．解析：由＞0，可得或因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(2)＝f(－2)＝0，所以當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0的解集為(1,2)；當(dāng)x＜1時(shí)，f(x)＜0的解集為(－2,0)．所以不等式＞0的解集為(－2,0)∪(1,2)．答案：(－2,0)∪(1,2)8．函數(shù)f(x)在R上滿足f(－x)＝－f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝－ex＋1＋mcos(π＋x)，記a＝－πf(－π)，b＝－·f，c＝ef(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為________．解析：∵函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝－ex＋1＋mcos(π＋x)，∴f(0)＝－1＋1－m＝0，即m＝0，∴f(x)＝－ex＋1(x≥0)．令g(x)＝xf(x)，有g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝g(x)，∴函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)＝xf(x)＝x(1－ex)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝1－(1＋x)ex＜0，∴函數(shù)g(x)在[0，＋∞)上為減函數(shù)，∵a＝－πf(－π)＝g(－π)＝g(π)，b＝－f＝g＝g，c＝ef(e)＝g(e)，又e＜π＜，∴b＜a＜c.答案：b＜a＜c9．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知所以1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]．10．(2018·大同期末)已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0，a≠1.(1)求函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的定義域；(2)判斷F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并說明理由；(3)當(dāng)a＞1時(shí)，求使F(x)＞0成立的x的取值范圍．解：(1)∵F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，∴解得－1＜x＜1，∴函數(shù)F(x)的定義域?yàn)?－1,1)．(2)F(x)為(－1,1)上的奇函數(shù)．理由如下：由(1)知F(x)的定義域?yàn)?－1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，F(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－F(x)，∴函數(shù)F(x)為(－1,1)上的奇函數(shù)．(3)根據(jù)題意，F(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，當(dāng)a＞1時(shí)，由F(x)＞0，得loga(x＋1)＞loga(1－x)，即解得0＜x＜1，故x的取值范圍為(0,1)．三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．(2019·南通模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，當(dāng)－2≤x＜0時(shí)，f(x)＝2x，若an＝f(n)(n∈N*)，則a2 018＝________.解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)，以2＋x代替上式中的x，得f(4＋x)＝f(－x)，又函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，再以4＋x代替上式中的x，得f(8＋x)＝－f(4＋x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為8.∴a2 018＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，而f(2)＝－f(－2)＝－，∴a2 018＝－.答案：－2．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f＝－f成立．(1)證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．解：(1)由f ＝－f ，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f ＝－f ＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝3是其一個(gè)周期．(2)因?yàn)?/span>f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一個(gè)周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.(3)因?yàn)?/span>y＝|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|為偶函數(shù)．故g(x)＝x2＋ax＋3為偶函數(shù)，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.    

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