一、選擇題（每小題4分，共32分）
1. 如圖，將矩形 ABCD 對折，使邊 AB 與 DC ， BC 與 AD 分別重 合，展開后得到四邊形 EFGH . 若 AB ＝2， BC ＝4，則四邊形 EFGH 的面積為（　B?。?br/>2. 一元二次方程 x2－3 x ＋1＝0的根的情況（　B?。?br/>3. 隨機拋擲一枚瓶蓋5 000次，經(jīng)過統(tǒng)計得到“正面朝上”的次 數(shù)為2 100次，則可以由此估計拋擲這枚瓶蓋出現(xiàn)“正面朝上” 的概率為（　B?。?br/>4. 如圖，點 D ， E ， F 分別是△ ABC 各邊中點，則以下說法錯 誤的是（　C?。?br/>5. 如圖，已知∠ DAB ＝∠ CAE ，則添加下列一個條件后，仍然 無法判定△ ABC ∽△ ADE 的是（　A?。?br/>6. 如圖，在菱形 ABCD 中， AB ＝5， AC ＝6，過點 D 作 DE ⊥ BA ，交 BA 的延長線于點 E ，則線段 DE 的長為（　D?。?br/>7. 《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，有題譯文如下：今有 門，不知其高寬；有竿，不知其長短.橫放，竿比門寬長出4 尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線長恰好相 等.則門高、寬和對角線的長各是多少？設(shè)門對角線的長為 x 尺，下列方程符合題意的是（　B　）
11. 如圖，在△ ABC 中，點 P 為邊 AB 上一點，且∠ ACP ＝∠ B . 若 AP ＝6， BP ＝4，則 AC 的長為 .
三、解答題（本大題共5個小題，共48分）
14. （本小題滿分12分，每題6分）解下列方程：
（1） x2－2 x －3＝0；　　
解：（1）因式分解，得（ x －3）（ x ＋1）＝0，∴ x －3＝0或 x ＋1＝0.∴ x1＝3， x2＝－1.
（2）2 x2－3 x －1＝0.
15. （本小題滿分8分）如圖，在正方形 ABCD 中，點 E ， F 在對 角線 BD 上， AE ∥ CF ，連接 AF ， CE ，試判斷四邊形 AECF 的 形狀，并說明理由.
解：四邊形 AECF 是菱形.理由如下：
如答圖，連接 AC ，交 BD 交于點 O .
∵四邊形 ABCD 是正方形，
∴ AC ⊥ EF ， AO ＝ CO .
∵ AE ∥ CF ，∴∠ AEF ＝∠ CFE .
又∵ AC ⊥ EF ，
∴平行四邊形 AECF 是菱形.
∵∠ AOE ＝∠ COF ，
∴△ AOE ≌△ COF （AAS）.∴ OE ＝ OF .
∵ OA ＝ OC ，∴四邊形 AECF 是平行四邊形.
16. （本小題滿分8分）某中學(xué)為進一步提高研學(xué)質(zhì)量，著力培 養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，選取了A. “青少年科技館”；B. “黃河入 海口濕地公園”；C. “孫子文化園”；D. “白鷺湖營地”四個 研學(xué)基地進行研學(xué).為了解學(xué)生對以上研學(xué)基地的喜歡情況，隨 機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查統(tǒng)計（每名學(xué)生必須且只能選擇一個 研學(xué)基地），并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如 圖所示）.
請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題：
（1）在本次調(diào)查中，一共抽取了 人進行調(diào)查，在扇 形統(tǒng)計圖中“A”所對應(yīng)圓心角的度數(shù)為 ，并補全條 形統(tǒng)計圖；
（2）若該校共有480名學(xué)生，請你估計選擇研學(xué)基地C的學(xué) 生人數(shù)；
解：（2）480×25％＝120（人）.∴估計該校選擇研學(xué)基地C的 學(xué)生有120人.
（3）學(xué)校想從選擇研學(xué)基地D的學(xué)生中選取兩名學(xué)生了解他們 對研學(xué)活動的看法，已知選擇研學(xué)基地D的學(xué)生中恰有兩名女 生，請用列表或畫樹狀圖的方法求出所選兩人都是男生的概率.
（1）求證：無論 k 為何實數(shù)，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若方程的兩個實數(shù)根 x1， x2滿足 x1－ x2＝3，求 k 的值.
（1）如圖1，當 AE ＝ AF 時，求∠ AEB 的度數(shù).
解：（1）∵四邊形 ABCD 是菱形，∴ BC ∥ AD ，∠ BAC ＝∠ DAC . ∴∠ ABC ＋∠ BAD ＝180°.
∵∠ ABC ＝120°，∴∠ BAD ＝60°.∴∠ EAF ＝30°.∵ AE ＝ AF ，∴∠ AEF ＝∠ AFE ＝75°.由旋轉(zhuǎn)可知，∠ BEF ＝120°，∴∠ AEB ＝120°－75°＝45°.
（2）如圖2，分別過點 B ， F 作 EF ， BE 的平行線，且兩直線相 交于點 G . ①試探究四邊形 BGFE 的形狀，并求出四邊形 BGFE 周長的 最小值；
解：（2）①如圖1，連接 DE . ∵ AB ＝ AD ，∠ BAE ＝∠ DAE ， AE ＝ AE ，∴△ BAE ≌△ DAE （SAS）.∴ BE ＝ DE ，∠ ABE ＝∠ ADE .
由旋轉(zhuǎn)可知，∠ BEF ＝120°，∴∠ BAF ＋∠ BEF ＝60°＋120°＝180°.∴∠ ABE ＋∠ AFE ＝180°.∵∠ AFE ＋∠ EFD ＝180°，∴∠ EFD ＝∠ ABE . ∴∠ EFD ＝∠ ADE . ∴ EF ＝ ED . ∴ EF ＝ BE .
②如圖2，連接 BD ， DE ，過點 E 作 EH ⊥ CD 于點 H . ∵ AB ＝ AD ，∠ BAD ＝60°，∴△ ABD 是等邊三角形.∴ BD ＝ AB ，∠ ABD ＝60°.∵ BG ∥ EF ，∴∠ EBG ＝180°－∠ BEF ＝60°.∴∠ ABD ＝∠ GBE . ∴∠ ABG ＝∠ DBE . 又∵ BG ＝ BE ，∴△ ABG ≌△ DBE （SAS）.∴ AG ＝ DE ＝ y .
②連接 AG ，設(shè) CE ＝ x ， AG ＝ y ，寫出 y 與 x 之間滿足的關(guān)系式.
21. 班長邀請 A ， B ， C ， D 四位同學(xué)參加圓桌會議.如圖，班長 坐在⑤號座位，四位同學(xué)隨機坐在①②③④四個座位，則 A ， B 兩位同學(xué)座位相鄰的概率是 .
23. 如圖，在四邊形 ABCD 中，∠ BCD ＝90°，對角線 AC ， BD 相交于點 O . 若 AB ＝ AC ＝5， BC ＝6，∠ ADB ＝2∠ CBD ，則 AD 的長為 .
二、解答題（共30分）24. （本小題滿分8分）某電商在網(wǎng)絡(luò)平臺上對一款成本價為40 元的小商品進行直播銷售，若按每件60元銷售，每天可賣出20 件.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低2元，日銷售量 增加4件.
（1）當每件小商品售價降為多少元時，每天的銷售量為36件？ 并求出此時的利潤.
解：（1）由題意，得60－（36－20）÷4×2＝52（元），此時的利潤為（52－40）×36＝432（元）.故當每件小商品售價降為52元時，每天的銷售量為36件，此時 的利潤為432元.
（2）若降價后每天的利潤不變，則每件小商品售價應(yīng)定為 多少元？
解：（2）設(shè)每件小商品售價應(yīng)定為 x 元，則每件利潤為（ x －40）元，日銷售量為（140－2 x ）件.由題意，得（ x －40）（140－2 x ）＝（60－40）×20，解得 x1＝50， x2＝60（舍去）.∴每件小商品售價應(yīng)定為50元.
②若∠ CBO ＝45°，求△ BOC 的面積.
（2）是否存在點 B ，使得以點 A ， B ， C 為頂點的三角形與△ BCO 相似？若存在，求 BO 的長；若不存在，請說明理由.
解：（2）存在點 B ，使得以點 A ， B ， C 為頂點的三角形與△ BCO 相似.過點 A 作 AM ⊥ OB 于點 M . 由（1）②可知， AM ＝3， OM ＝8.
26. （本小題滿分12分）如圖1，在正方形 ABCD 中，點 M 為 CD 邊上一點，過點 M 作 MN ⊥ CD 且 DM ＝ MN ，連接 DN ， BM ， CN ，點 P ， Q 分別為 BM ， CN 的中點，連接 PQ .
（1）求證： CM ＝2 PQ .
（1）證明：如圖1，連接 BD ，取 MN 的中點 E ，連接 EP ， EQ .
∵ MN ⊥ CD 且 DM ＝ MN ，
∴△ DMN 是等腰直角三角形.
∴∠ MDN ＝45°.
∵點 E ， P 分別為 MN ， BM 的中點，
∵四邊形 ABCD 是正方形，∴∠ MDB ＝45°.
∴ D ， N ， B 三點共線.
設(shè) DC ＝1， DM ＝ a ，
∴ QF 垂直平分 EP . ∴ EQ ＝ PQ .
∵點 E ， Q 分別為 MN ， CN 的中點，
過點 Q 作 QF ⊥ EP ，則△ QFE 是等腰直角三角形.
（2）如圖2，將圖1中的△ DMN 繞正方形 ABCD 的頂點 D 按順 時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°）.①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過 程；若不成立，請說明理由.
（2）解：①如圖2，連接 BD ，取 MN 的中點 E ，連接 EP ， EQ ， BN .
∵∠ CDB ＝∠ MDN ＝45°，∠ CDM ＋∠ MDB ＝∠ BDN ＋∠ MDB ，
∴∠ CDM ＝∠ BDN .
∴∠ PEM ＝∠ BNM ，∠ PEN ＝180°－∠ BNM ＝180°－（∠ BND －45°）＝225°－∠ BND .
∴∠ NEQ ＝∠ NMC ，∠ MEQ ＝180°－∠ EMC ＝180°－（360° －90°－∠ DMC ）＝∠ DMC －90°.
過點 Q 作 QK ⊥ EP 于點 K ，則△ EKQ 是等腰直角三角形，
∵2 EQ ＝ CM ，∴ CM ＝2 PQ .
如圖4，當點 B ， M ， N 共線，點 M 在 DC 的下方時.

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