一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。二輪復(fù)習要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進一步夯實基礎(chǔ)，提高解題的準確性和速度
二、查漏補缺，保強攻弱。在二輪復(fù)習中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強學習，平衡發(fā)展，加強各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實際情況作出合理的安排。
三、提高運算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運算占很大比例，一定要重視運算技巧粗中有細，提高運算準確性和速度，同時，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強化數(shù)學思維，構(gòu)建知識體系。同學們在聽課時注意把重點要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學們在刷題時做到思路清晰，迅速準確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強選擇題的訓練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
壓軸題01集合新定義、函數(shù)與導數(shù)13題型匯總
01函數(shù)導數(shù)與數(shù)列結(jié)合
1.（23-24高三下·浙江·開學考試）已知函數(shù)fx滿足fx=f1?x,f'x為fx的導函數(shù)，gx=f'x+13,x∈R.若an=gn2024，則數(shù)列an的前2023項和為 .
【答案】20233
【分析】由fx=f1?x，可得f'x=?f'1?x，從而得gx+g1?x=23，然后利用倒序相加法從而可求解.
【詳解】由題意知fx=f1?x，所以f'x=?f'1?x，即f'x+f'1?x=0，
又因為gx=f'x+13，所以gx+g1?x=f'x+f'1?x+23=23，
所以a1+a2+a3+?+a2023=g12024+g22024+g32024+?+g20232024①，
a1+a2+a3+?+a2023=g20232024+g20222024+g20212024+?+g12024②，
將①②兩式相加可得：a1+a2+a3+?+a2023=2023×232=20233.
故答案為：20233.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要是對fx=f1?x求導后得f'x=?f'1?x，主要能夠找到gx+g1?x=23的關(guān)系，再根據(jù)倒序相加法從而可求解.
2. （2024·安徽蕪湖·二模）在數(shù)列an中，Sn為其前n項和，首項a1=1，且函數(shù)fx=x3?an+1sinx+2an+1x+1的導函數(shù)有唯一零點，則S5=（ ）
A．26B．63C．57D．25
【答案】C
【分析】計算f'x，分析f'x的奇偶性，可判斷零點取值，代入計算可得an的遞推關(guān)系，求出前5項，計算求和即可.
【詳解】因為fx=x3?an+1sinx+2an+1x+1，
所以f'x=3x2?an+1csx+2an+1，由題意可知：f'x=0有唯一零點.
令gx=f'x=3x2?an+1csx+2an+1，可知gx為偶函數(shù)且有唯一零點，
則此零點只能為0，即g0=0，代入化簡可得：an+1=2an+1，
又a1=1，所以a2=3，a3=7，a4=15，a5=31，所以S5=57.
故選：C
3. （2024·浙江·二模）已知函數(shù)fx滿足對任意的x,y∈1,+∞且xtanxn+π ?xn+1?xn>π）
② 因為tanxn+1?xn+π=xn+1?xn1+xn+1?xn0，
故f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，fx0，解得b0，所以gx≥g0=0，
所以函數(shù)fx在0,0.2上單調(diào)遞增，
所以f0.2=sin0.2?0.2?0.22=sin0.2?0.16>f0=0，即a>b.
根據(jù)已知得c=12ln32=+0.21?0.2，
可設(shè)?x=12ln1+x?ln1?x?sinx,x∈0,0.2，
則?'x=1211+x+11?x?csx=11?x2?csx>0，
所以函數(shù)?x在0,0.2上單調(diào)遞增，
所以?0.2>?0=0，即c>a.
綜上，c>a>b.
故選：D.
【點睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.
10. （23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)fx=(1+x)α?1?αx，其中x>?1,α>1.
(1)討論fx的單調(diào)性；
(2)若00，fx在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增；
綜上，fx在區(qū)間(?1,0)上單調(diào)遞減，fx在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.
（2）由已知01時，?'(x)0，所以a∈0,2+2ln2.
故選：A.
【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；
2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與ex和lnx相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①aea≤blnb?ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)fx=xlnx或gx=xex；
②eaab±lnb，構(gòu)造函數(shù)fx=x±lnx或gx=ex±x.
18. （2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式a(lnx+lna)≤2e2x在(0,+∞)上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．(0,e]B．0,e2
C．(0,e]D．(0,2e]
【答案】D
【分析】根據(jù)指對混合型不等式，利用指對運算將不等式a(lnx+lna)≤2e2x轉(zhuǎn)化成axlnax≤2xe2x，根據(jù)結(jié)構(gòu)相同設(shè)函數(shù)fx=xex,x∈R，利用函數(shù)的單調(diào)性及取值情況，將問題轉(zhuǎn)化為a≤e2xx，令gx=e2xx,x∈0,+∞，求導確定最值即可得實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】依題意得，axlnax≤2xe2x，故elnaxlnax≤2xe2x，
令fx=xex,x∈R，則f'x=x+1ex，令f'x=0可得x=?1，
所以x∈?∞,?1時，f'x0,gx單調(diào)遞增，
故gxmin=g12=2e，則a≤2e，則實數(shù)a的取值范圍為a∈0,2e.
故選：D．
19. （23-24高三上·浙江寧波·期末）對任意x∈(1,+∞)，函數(shù)f(x)=axlna?aln(x?1)≥0(a>1)恒成立，則a的取值范圍為 ．
【答案】e1e,+∞
【分析】變形為ax?1lnax?1≥x?1lnx?1，構(gòu)造Ft=tlnt,t>0，求導得到單調(diào)性進而ax?1>1恒成立，故Fax?1>0，分當x?1∈0,1和x?1>1兩種情況，結(jié)合gu=lnuu單調(diào)性和最值，得到a≥e1e，得到答案.
【詳解】由題意得ax?1lna≥ln(x?1)，
因為x∈(1,+∞)，所以x?1ax?1lna≥x?1lnx?1，
即ax?1lnax?1≥x?1lnx?1，
令Ft=tlnt,t>0，則Fax?1≥Fx?1恒成立，
因為F't=1+lnt，
令F't>0得，t>e?1，F(xiàn)t=tlnt單調(diào)遞增，
令F't1，所以ax?1>1恒成立，故Fax?1>0，
當x?1∈0,1時，F(xiàn)x?1≤0，此時滿足Fax?1≥Fx?1恒成立，
當x?1>1，即x>2時，由于Ft=tlnt在t∈e?1,+∞上單調(diào)遞增，
由Fax?1≥Fx?1得ax?1≥x?1?lna≥lnx?1x?1，
令u=x?1>1，gu=lnuu，
則g'u=1?lnuu2，當u∈1,e時，g'u>0，gu=lnuu單調(diào)遞增，
當u∈e,+∞時，g'u0進行求解.
20. （2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知正數(shù)a,b滿足lnb+1b4≤lna?a4+ln(2e)，則a+b= .
【答案】322
【分析】構(gòu)造函數(shù)fx=lnx?x4，利用導數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，求得a,b，再求a+b即可.
【詳解】lnb+1b4≤lna?a4+ln(2e)，lna?a4+ln1b?1b4+ln2e≥0；
令fx=lnx?x4，則f'(x) =1x?4x3=1?4x4x，
故當x∈(0,22)，f'(x) >0，y=f(x)單調(diào)遞增；
當x∈(22,+∞)，f'(x) 0且x≠1}，函數(shù)fx=ax+λa?x（a>0且a≠1），則（ ）
A．?λ∈M,?a∈N,fx為增函數(shù)B．?λ∈M,?a∈N,fx為減函數(shù)
C．?λ∈M,?a∈N,fx為奇函數(shù)D．?λ∈M,?a∈N,fx為偶函數(shù)
【答案】D
【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性檢驗各選項即可.
【詳解】當λ=1時，fx=ax+a?x，a>1時，f(x)在(?∞,0)上不是增函數(shù)，故A不正確；
當λ=?1時，fx=ax?a?x，a>1時，f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，B不正確；
當λ=1時，fx=ax+a?x，f(?x)=ax+a?x=f(x)，f(x)為偶函數(shù)，故C不正確；
當λ=1時，fx=ax+a?x，f(?x)=ax+a?x=f(x)，f(x)為偶函數(shù)，故D正確；
故選：D.
22. （多選）（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知f(x)=esin2x+2csx，（參考數(shù)據(jù)ln13.4≈2.6），則下列說法正確的是（ ）
A．fx是周期為π的周期函數(shù)
B．fx在(?π,0)上單調(diào)遞增
C．fx在(?2π,2π)內(nèi)共有4個極值點
D．設(shè)gx=fx?x，則g(x)在?∞,29π6上共有5個零點
【答案】BCD
【分析】選項A，根據(jù)條件得到f(x+π)≠f(x)，即可判斷出選項A錯誤；選項B，對f(x)求導，得到f'(x)=?2(2sinx?1)(sinx+1)esin2x+2csx，從而得到x∈(?π,0)時，f'(x)>0，即可判斷出選項B的正誤，選項C，令f'(x)=0，求出x∈(?2π,2π)時的解，再根據(jù)極值的定義，即可判斷出結(jié)果，選項D，根據(jù)條件得出f(x)的周期為2π，再利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得出f(x)在0,29π6上的圖象，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.
【詳解】對于選項A，因為f(x)=esin2x+2csx，
所以f(x+π)=esin2(x+π)+2cs(x+π)=esin2x?2csx≠f(x)，所以選項A錯誤，
對于選項B，因為f'(x)=(2cs2x?2sinx)esin2x+2csx=2(1?2sin2x?sinx)esin2x+2csx
=?2(2sinx?1)(sinx+1)esin2x+2csx，
當x∈(?π,0)時，2sinx?10，
所以當x∈(?π,0)時，f'(x)≥0，當且僅當x=?π2時，取等號，所以fx在(?π,0)上單調(diào)遞增，故選項B正確，
對于選項C，因為f'(x)=?2(2sinx?1)(sinx+1)esin2x+2csx，
令f'(x)=0，得到(2sinx?1)(sinx+1)=0，
又因為sinx+1≥0，當且僅當x=?π2或x=3π2時，取等號，
所以x=?π2，x=3π2不是變號零點，即?π2，3π2不是fx的極值點，
由2sinx?1=0，即sinx=12，
又x∈(?2π,2π)，解得x=π6或x=5π6或x=?11π6或x=?7π6，
由y=sinx圖象知，每一個解都是變號零點，所以fx在(?2π,2π)內(nèi)共有4個極值點，故選項C正確，
對于選項D，因為f(x+2π)=esin2(x+2π)+2cs(x+2π)=esin2x+2csx=f(x)，
所以f(x)的周期為2π，
又因為f'(x)=?2(2sinx?1)(sinx+1)esin2x+2csx，
當x∈0,2π時，由f'(x)=0得到x=π6，x=5π6，x=3π2，
列表如下，
又f(0)=e2，f(π6)=esinπ3+2csπ6=e332，f(5π6)=esin5π3+2cs5π6=e?332，
則f(x)在0,2π上的大致圖象如圖所示，
當x0，此時f(x)=x無解，
由3≈1.732，則332≈2.6，又ln13.4≈2.6，則e332≈e2.6≈13.4，
又由4π≈4×3.14=12.5613.4，
故只需再畫出f(x)在2π,29π6圖象即可，
當x≥29π6時，e332≈13.40??1f1=0，
即2lnx+x2?4x+3=2lnx+(x?2)2?1>0，
故2lnx+(x?2)2>1在x>1時恒成立，
所以2ln21+(2?2)2=2ln21+012>1，
2ln32+32?22=2ln32+122>1，
2ln43+43?22=2ln43+232>1，
……，
2lnn+1n+n+1n?22=2lnn+1n+n?1n2>1，
相加得2lnn+1+i=1ni?1i2>n.
【點睛】導函數(shù)證明與整數(shù)n相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.
28. （2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)?ax2?x．
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性
(2)證明：①當a≥0時，f(x)≤0；
②sin1n+1+sin1n+2+?+sin12n0時，x∈?1,0時，f'x>0；當x∈0,+∞時，f'x0，
x∈0,?2a+12a時，f'x0，則g'x=1?csx≥0，且g'x不恒為零，
所以gx在0,+∞上單調(diào)遞增，所以gx>g0=0，所以sinx0，
所以sin1n+k0，此時g(x)在19,+∞上單調(diào)遞增，
所以f'(x)=g(x)≥g19=1+ln9?3=ln9?2=ln9e2>0；
即f'(x)>0在0,+∞上恒成立，
因此fx在0,+∞上單調(diào)遞增；
（2）由（1）可知f'(x)=9x?lnx?3>0，即9x>lnx+3，
可得9×2n?12n+1>ln2n?12n+1+3；
所以i=1n9×2i?12i+1>i=1nln2i?12i+1+3，
即可得913+35+57+?+2n?12n+1>ln13+ln35+?+ln2n?12n+1+3n
=ln1?ln3+ln3?ln5+?ln(2n?1)?ln(2n+1)+3n=3n?ln(2n+1)；
即913+35+57+?+2n?12n+1>3n?ln(2n+1).
30. （23-24高二下·山東·階段練習）帕德近似是法國數(shù)學家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)f(x)在x=0處的[m,n]階帕德近似定義為：R(x)=a0+a1x+?+amxm1+b1x+?+bnxn且滿足：f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．
（注：f″(x)=f'(x)'，f'''(x)=f″(x)'，f(4)(x)=f'''(x)'，…f(n)(x)=f(n?1)(x)的導數(shù)）
已知f(x)=ln(x+1)在x=0處的[1,1]階帕德近似為R(x)=ax1+bx．
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)當x>0，f(x)>kR(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
(3)證明：?n∈N?，1n+1+1n+2+1n+3+?+12nxx+1，進而可得ln(1x+1)>1x+1，令x=n,n+1,n+2,?,2n?1，可證結(jié)論成立.
【詳解】（1）由f(x)=ln(x+1)，R(x)=ax1+bx，有f(0)=R(0)，
可知f'(x)=1x+1，f″(x)=?1(x+1)2，R'(x)=a(1+bx)2，R″(x)=?2ab(1+bx)3，
則f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，所以a=1?2ab=?1，解得a=1b=12，
（2）由（1）知，R(x)=x1+12x=2xx+2，令g(x)=f(x)?R(x)=ln(x+1)?2xx+2(x>0)，則g'(x)=1x+1?4(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2>0，
所以g(x)在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，又g(0)=f(0)?R(0)=0，
所以當x≥0時，g(x)=f(x)?R(x)≥g(0)，所以f(x)≥R(x)，
又當x>0時，R(x)>0，所以f(x)R(x)>1，由f(x)>kR(x)對x>0恒成立，
所以k≤1時，故實數(shù)k的取值范圍為（?∞,1]；
（3）當x>0時，由（2）可得ln(x+1)>2xx+2>xx+1，
所以ln(1x+1)>1x+1，
令x=n,n+1,n+2,?,2n?1，
可得ln(1n+1)>1n+1，ln(1n+1+1)>1n+2，?，ln(12n?1+1)>12n，
這n?1個等式左右兩邊相加可得：ln(1n+1)+ln(1n+1+1)+?+ln(12n?1+1)>1n+1+1n+2+?+12n，
進而可得1n+1+1n+2+?+12n23，則2ω?1ω=ω,ω=1（舍去）；
若x31時，f'x>0,fx單調(diào)遞增．令f'x=1，得4x?1ex?2x2=1，解得x=2，此時f2=2，所以直線y=x與曲線fx=4ex?2x相切于點2,2．
所以直線y=x與曲線fx=4ex?2x共有兩個交點，所以fx為“2型不動點”函數(shù)，故C錯誤；
對于D，fx=2sinx+2csx=22sinx+π4，作出fx的圖象，如圖所示．易知其與直線y=x有且只有三個不同的交點，
即2sinx+2csx=x有三個不同的解，所以fx=2sinx+2csx為“3型不動點”函數(shù)，故D正確．
故選：D.
【點睛】方法點睛：根據(jù)“不動點”函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化為方程fx=x有解問題，可直接求方程的根，或者利用零點存在性定理判斷，也可構(gòu)造新函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的零點問題，有時還可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問題.
38. （多選）（2023·湖北·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，將函數(shù)f(x)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)α (0u0時，有g(shù)'u=?lna?1aa?1u+2u0時，有?a?1ua+2u=gu12u0，則我們有f2Na=?a?12Na+2N=?a?12Na+4N?2N=g2N?2N2時，必存在正整數(shù)N使得f2Nx在(1,+∞)上有一個滿足t2N≤a的零點t2N，即可得到a的最大值是2，這是求解最值問題的一個較為有用的論證方法.
40. （2023·上海浦東新·二模）設(shè)P是坐標平面xOy上的一點，曲線Γ是函數(shù)y=fx的圖象．若過點P恰能作曲線Γ的k條切線k∈N，則稱P是函數(shù)y=fx的“k度點”．
(1)判斷點O0,0與點A2,0是否為函數(shù)y=lnx的1度點，不需要說明理由；
(2)已知00，因為?'t=6t2?6at，
由ta時?'t>0得y=?t嚴格增；而當00，所以lnx0=1?x0，即lnx0?1+x0=0，
令p(x)=lnx?1+x，則p'(x)=1x+1>0且p(1)=0，
故p(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因此x=1是p(x)唯一的零點，
所以x0=1，代入aex0=lnx0x0+1，可得a=1e，所以01
【答案】ACD
【分析】求出函數(shù)導數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性后可得函數(shù)的圖形，結(jié)合圖象、極限思想可判斷AC的正誤，利用作差法可判斷BD的正誤.
【詳解】函數(shù)f(x)的定義域為?∞,?1∪?1,0∪1,+∞，
f'(x)=?1x+12?1x2?10，
所以gx在0,+∞上單調(diào)遞增,gx=3x4e3x+2x3e3x+3lnx?2=3xe3x+3lnx+2e3x+3lnx+3lnx?2，
設(shè)?x=3lnx+3x，
因為?x=3lnx+3x在0,+∞上單調(diào)遞增，
因為?1=3>0，?e?3=?9+3e?30，所以fx在區(qū)間x0,+∞單調(diào)增，
所以fxmin=fx0=x03e3x0?3lnx0?1x0=e3x0+3lnx0?3lnx0?1x0=?3lnx0x0=3．
解法二（最優(yōu)解）：設(shè)px=ex?x?1，則p'x=ex?1，
所以當x∈?∞,0時，p'x?1=0，滿足題意；
當m>0，y= m'(x)顯然單調(diào)遞增；
若m'(1) 3e時，當x趨近于正無窮時，m'(x)趨近于正無窮；
故存在x0>1，當x∈(1,x0)，m'(x) 0，y= ?'(x)單調(diào)遞增；
又?'(1) =0，當x趨近于正無窮時，?'(x)趨近于正無窮；
故存在x1>x0，當x∈(1,x1)，?'(x) 0，
則y= ?'(x)單調(diào)遞增，又?'(1) =0，故?'(x) >0，
則y=?(x)單調(diào)遞增，?x>?1=0，滿足題意；
綜上所述，當m≤3e時，滿足題意，故m的最大值為3e.
故答案為：3e.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：處理本題的關(guān)鍵是以端點值1處的二階導函數(shù)值的正負為討論的標準，進而在不同情況下考慮函數(shù)單調(diào)性和最值解決問題.
59. （2024·浙江杭州·二模）函數(shù)fx=?x2+3x+2x+1的最大值為 ．
【答案】22
【分析】借助換元法令t=x+1，可得fx=?t=?t3+5t?2t，借助導數(shù)求取函數(shù)?t的單調(diào)性后，即可得解.
【詳解】令t=x+1>0，則x=t2?1，故fx=?t2?12+3t2?1+2t=?t3+5t?2t，
令?t=?t3+5t?2tt>0，
則?'t=?3t2+5+2t2=?3t4+5t2+2t2=?3t2+1t+2t?2t2，
當t∈0,2時，?'t>0，當t∈2,+∞時，?'t0恒成立，
所以gx在0

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