一、單選題
1．已知，，且、不共線，則的面積為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
3．已知中，，，，，，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4．已知平面向量.若對(duì)區(qū)間內(nèi)的三個(gè)任意的實(shí)數(shù)，都有，則向量夾角的最大值的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．人臉識(shí)別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．在人臉識(shí)別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．已知，，則的最大值近似等于（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
7．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
8．復(fù)數(shù)與下列復(fù)數(shù)相等的是（ ）
A．B．
C．D．
9．現(xiàn)定義，其中為虛數(shù)單位，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，且實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)都適用，若，，那么復(fù)數(shù)等于
A．B．
C．D．
10．復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（ ）個(gè).
A．9B．10C．11D．無數(shù)
11．關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程和有四個(gè)不同的根，若這四個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
12．已知，是橢圓上兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．的最大值為
D．的最小值為
13．若平面向量滿足且，則（ ）
A．的最小值為2
B．的最大值為5
C．的最小值為2
D．的最大值為
14．定義平面向量的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的兩個(gè)向量，，令，下面說法一定正確的是（ ）
A．對(duì)任意的，有
B．存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立
C．若與垂直，則與共線
D．若與共線，則與的模相等
15．已知集合E是由平面向量組成的集合，若對(duì)任意，，均有，則稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有（ ）．
A．B．
C．D．
16．設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（ ）
A．若，則
B．對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
C．對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
D．在復(fù)平面內(nèi)，若，則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為
17．設(shè)復(fù)數(shù)，且,其中為確定的復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）.
A．若，則是實(shí)數(shù)
B．若，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得
C．若 ，則 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是射線
D．若，則
18．在復(fù)數(shù)城內(nèi)，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個(gè)定義呢，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，我們通常用絕對(duì)值來描述大小，而復(fù)數(shù)域中也相應(yīng)的有復(fù)數(shù)的模長來代替絕對(duì)值，于是，我們只需定義復(fù)數(shù)的正負(fù)即可，我們規(guī)定復(fù)數(shù)的“長度”即為模長，規(guī)定在復(fù)平面x軸上方的復(fù)數(shù)為正，在x軸下方的復(fù)數(shù)為負(fù)，在x軸上的復(fù)數(shù)即為實(shí)數(shù)大小．“大小”用符號(hào)+“長度”表示，我們用來表示復(fù)數(shù)的“大小”，例如：，，，，，則下列說法正確的是（ ）
A．在復(fù)平面內(nèi)表示一個(gè)圓
B．若，則方程無解
C．若為虛數(shù)，且，則
D．復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則最小值為
19．已知復(fù)數(shù)均不為0，則（ ）
A．B．
C．D．若，則
20．已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若是非零復(fù)數(shù)，且，則D．若是非零復(fù)數(shù)，則
21．已知關(guān)于的方程的兩根為和，則（ ）
A．B．
C．D．
22．意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Cardan.Girlam，1501-1576）發(fā)明了三次方程的代數(shù)解法.17世紀(jì)人們把卡爾達(dá)諾的解法推廣并整理為四個(gè)步驟：
第一步，把方程中的用來替換，得到方程；
第二步，利用公式將因式分解；
第三步，求得，的一組值，得到方程的三個(gè)根：，，（其中，為虛數(shù)單位）；
第四步，寫出方程的根：，，.
某同學(xué)利用上述方法解方程時(shí)，得到的一個(gè)值：，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
23．已知五個(gè)點(diǎn)，滿足：，，則的最小值為 ．
24．設(shè)正n邊形的邊長為1，頂點(diǎn)依次為，若存在點(diǎn)P滿足，且，則n的最大值為 .（參考數(shù)據(jù)：）
25．已知平面向量滿足，且．則的最小值是 ，最大值是 ．
26．已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)是圓：上的一點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量的模的取值范圍是 .
27．在中，，角為銳角，且向量在向量上的投影向量的模是3，則 ；若，則函數(shù)的最小值為 .
28．已知非零向量與的夾角為銳角，為在方向上的投影向量，且，則與的夾角的最大值是 ．
29．已知平面向量的夾角為，滿足．平面向量在上的投影之和為2，則的最小值是 ．
30．正三棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，向量，滿足，，則的最大值為 .
31．如圖所示，已知滿足，為所在平面內(nèi)一點(diǎn).定義點(diǎn)集.若存在點(diǎn)，使得對(duì)任意，滿足恒成立，則的最大值為 .
32．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為
33．已知平面向量滿足，若，則的最小值是 ．
34．在中，，是的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．設(shè)，，則可用，表示為 ，若，,則面積的最大值為 ．
35．已知平面向量滿足：，若，則的最小值為 ．
36．定義兩個(gè)向量組的運(yùn)算，設(shè)為單位向量，向量組分別為的一個(gè)排列，則的最小值為 ．
37．如果復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，，復(fù)數(shù)z滿足，且，則的最大值為 .
38．若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為 .
39．對(duì)任意三個(gè)模長小于1的復(fù)數(shù)，，，均有恒成立，則實(shí)數(shù)的最小可能值是 ．
40．若復(fù)數(shù)，且，則 .
41．任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中a、，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，若，時(shí)，則 ；對(duì)于， ．
42．已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位），在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、，若，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則函數(shù)的最小正周期為 .
43．設(shè)為實(shí)數(shù)，且，虛數(shù)為方程的一個(gè)根，則的值為 .
四、解答題
44．設(shè)有維向量，，稱為向量和的內(nèi)積，當(dāng)，稱向量和正交．設(shè)為全體由和1構(gòu)成的元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合．
(1)若，寫出一個(gè)向量，使得．
(2)令．若，證明：為偶數(shù)．
(3)若，是從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足，猜測的值，并給出一個(gè)實(shí)例．
45．對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z，定義集合．
(1)設(shè)a是方程的一個(gè)根，試用列舉法表示集合．若在中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率P；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)，求證：．
參考答案：
1．B
【分析】利用向量的數(shù)量積寫出其夾角的表達(dá)式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方式以及三角形的面積公式，可得答案.
【詳解】設(shè)與的夾角為，由，則，
由，則.
故選：B.
2．C
【分析】①根據(jù)及與的夾角為求出，假設(shè)成立，求出與，代入后發(fā)現(xiàn)等式不成立，故①錯(cuò)誤；②利用向量共線定理可知，點(diǎn)C在線段AB上，再結(jié)合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面積公式和基本不等式求出最大值為1，進(jìn)而求出的最大值.
【詳解】由，解得：，當(dāng)時(shí)，，由得：，即，由得：，因?yàn)椋僭O(shè)，則可求出，，代入中，等號(hào)不成立，故①錯(cuò)誤；
設(shè)，，，因?yàn)?，由向量共線定理可知，點(diǎn)C在線段AB上，如圖，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故點(diǎn)C滿足，又，，所以
，其中，而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為，所以最大值為，故的最大值為，②正確.
故選：C
【點(diǎn)睛】向量投影的理解是很重要的，在出題中往往會(huì)畫出圖形來進(jìn)行思考問題，利用幾何法來解決問題，這道題目的突破口就是結(jié)合與，可得：點(diǎn)C在線段AB上且，進(jìn)而得到最小值.
3．D
【分析】根據(jù)已知可得到的距離為2，為等腰直角三角形，若為的兩個(gè)四等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，在線段上運(yùn)動(dòng)，且，數(shù)形結(jié)合求的取值范圍.
【詳解】由，結(jié)合向量加法法則知：到的距離為2，
又，則，所以，故為等腰直角三角形，
由，則，所以共線，
又，則，若為的兩個(gè)四等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，如下圖示，

所以在線段上運(yùn)動(dòng)，且，，，
由圖：若，則，又，此時(shí)，
故上述情況，易知，
由圖知：與重合時(shí)，，
綜上，的取值范圍為.
故選：D
4．A
【分析】設(shè),作出圖形，分析出恒成立，臨界處即與重合，與重合，且GM不能充當(dāng)直角三角形斜邊，否則可以改變的位置，使得，此時(shí)最小，向量夾角取得最大值，利用三角函數(shù)恒等變換和圖象得到答案.
【詳解】設(shè),如圖，
不妨設(shè).
設(shè)為的中點(diǎn)，為OC的中點(diǎn)，為BD的中點(diǎn)，為AD的中點(diǎn).
則，
，
設(shè)，點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)（含邊界）.
由題知恒成立.
為了使最大，則思考為鈍角，即思考點(diǎn)在第一或第四象限.
思考臨界值即與重合，與重合，且GM不能充當(dāng)直角三角形斜邊，否則可以改變的位置，使得，此時(shí)最小，
所以，即，
即
即，即.
所以.
所以
，
其中向量與夾角為，故與夾角的最大值的余弦值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：
①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；
②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
5．C
【分析】根據(jù)題設(shè)向量模長和垂直條件，考慮運(yùn)用幾何法求解，由想到構(gòu)造矩形，運(yùn)用極化恒等式推導(dǎo)出結(jié)論，求得,最后用三角形三邊關(guān)系定理得到的范圍，轉(zhuǎn)化即得.
【詳解】
如圖，設(shè)，，，點(diǎn)在圓上，
點(diǎn)在圓上，則，，由可得：，
作矩形, 則.
下證： .
設(shè)交于點(diǎn)，連接,因則 ，
同理可得：，兩式左右分別相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故選:C．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查平面向量的線性運(yùn)算的模長范圍問題，屬于較難題.
處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：
（1）坐標(biāo)法：即通過建立直角坐標(biāo)系，通過向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；
（2）基向量表示法：即通過選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；
（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構(gòu)造圓形，由向量點(diǎn)乘等于零得到兩向量垂直.
6．B
【分析】根據(jù)題意分析可得在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圖象分析的最大值，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
由題意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，
因?yàn)?，由圖可知：
當(dāng)取到最小值，即最大，點(diǎn)有如下兩種可能：
①點(diǎn)為點(diǎn)A，則，可得；
②點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)與同向，不妨取，
則；
因?yàn)椋?br>所以的最大值為.
故選：B.

【點(diǎn)睛】方法定睛：在處理代數(shù)問題時(shí)，常把代數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何圖形，數(shù)形結(jié)合處理問題.
7．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.
【詳解】令，為實(shí)數(shù)
由，
所以，
因此當(dāng)時(shí)，取最小值，
故選：B
8．B
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示、各項(xiàng)的形式判斷正誤即可.
【詳解】由題設(shè)，，故A、C、D錯(cuò)誤；
而，故B正確.
故選：B
9．A
【分析】計(jì)算，結(jié)合二項(xiàng)式定理的展開即可得解.
【詳解】
,
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的展開與復(fù)數(shù)的新定義問題，觀察出二項(xiàng)展開的結(jié)構(gòu)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
10．C
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的模為1及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，求得即，接下來分與兩種情況進(jìn)行求解，結(jié)合，求出的個(gè)數(shù).
【詳解】，其中，所以，即，，當(dāng)時(shí)，①，，所以，，因?yàn)?，所以或；②，，所以，，因?yàn)椋?，，，，或；?dāng)時(shí)，①，，即，，因?yàn)?，所以，②，，即，，因?yàn)?，所以，，，，，綜上：，，一共有11個(gè).
故選：C
11．D
【分析】根據(jù)條件分別設(shè)四個(gè)不同的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為ABCD，討論根的判別式，根據(jù)圓的對(duì)稱性得到相應(yīng)判斷.
【詳解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解為，設(shè)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)分別為A，B，
得A（2，1），B（2，﹣1），
設(shè)x2+2mx+m＝0的解所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)分別為C，D，記為C（x1，y1），D（x2，y2），
（1）當(dāng)△＜0，即0＜m＜1時(shí)，的根為共軛復(fù)數(shù)，必有C、D關(guān)于x軸對(duì)稱，又因?yàn)锳、B關(guān)于x軸對(duì)稱，且顯然四點(diǎn)共圓；
（2）當(dāng)△＞0，即m＞1或m＜0時(shí)，此時(shí)C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，
故此圓的圓心為（﹣m，0），
半徑，
又圓心O1到A的距離O1A＝，
解得m＝﹣1，
綜上：m∈（0，1）∪{﹣1}.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)與坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，考查一元二次方程根的判別式，屬于難題.
12．AD
【分析】設(shè)，設(shè)，可得，,可得兩點(diǎn)均在圓的圓上，且，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及圓的性質(zhì)可得及的最值，可得答案.
【詳解】由，可得，又，是橢圓上兩個(gè)不同點(diǎn),
可得，設(shè)，則，
設(shè),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，,
可得，且，
所以，，又，
可得兩點(diǎn)均在圓的圓上，且，
設(shè)的中點(diǎn)為，則,
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知：為點(diǎn)兩點(diǎn)到直線的距離之和，
設(shè)到直線的距離，由題可知圓心到直線的距離為，
則，
可得的最大值為，的最小值為；
可得，可得的最大值為，最小值為，故A正確，B錯(cuò)誤；
同理，為點(diǎn)兩點(diǎn)到直線的距離之和，
設(shè)到直線的距離，由題可知圓心到直線的距離為，
則，，
可得，可得的最大值為，最小值為，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到直線的距離問題，結(jié)合到直線的距離公式及圓的性質(zhì)即得.
13．BD
【分析】由向量方向間的關(guān)系，判斷的最大值和最小值；由，通過的最值，計(jì)算的最值.
【詳解】當(dāng)向量方向相同，與方向相反時(shí)，滿足，
此時(shí)有最小值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)向量方向相同時(shí)，滿足，
此時(shí)有最大值，B選項(xiàng)正確；
，有，即，則，
向量方向相同時(shí)，的最小值為0，的最小值為3，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
向量方向相反時(shí)，的最大值為2，的最大值為，D選項(xiàng)正確.
故選：BD
14．AD
【分析】由表示出和，即可判斷A；假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即方程組
，對(duì)任意恒成立，解方程可判斷B；若與垂直，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷C；若與共線，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷D.
【詳解】設(shè)向量，，對(duì)于A，對(duì)任意的，有
，故A正確；
對(duì)于B，假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程組
，對(duì)任意恒成立，而此方程組無解，故B不正確；
對(duì)于C，若與垂直，則，設(shè)，則，
，其中，故C不正確；
對(duì)于D，若與共線，則，設(shè)，
，
，所以與的模相等，故D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬于創(chuàng)新題，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)以及分析問題、解決問題的能力.
15．ACD
【分析】作出各個(gè)選項(xiàng)表示的平面區(qū)域，根據(jù)給定集合E是“凸”的意義判斷作答.
【詳解】設(shè)，，，則C為線段AB上一點(diǎn)，
因此一個(gè)集合E是“凸”的就是E表示的平面區(qū)域上任意兩點(diǎn)的連線上的點(diǎn)仍在該區(qū)域內(nèi)，
四個(gè)選項(xiàng)所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示：
A B
C D
觀察選項(xiàng)A，B，C，D所對(duì)圖形知，B不符合題意，ACD符合題意.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及符合某個(gè)條件的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域問題，理解不等式變?yōu)閷?duì)應(yīng)等式時(shí)的曲線方程的意義，
再作出方程表示的曲線，作圖時(shí)一定要分清虛實(shí)線、準(zhǔn)確確定區(qū)域.
16．BC
【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】對(duì)A：由，故，
故，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：設(shè)、，
則
，
，
故，故B正確；
對(duì)C：設(shè)、，
有，則，
，故，故C正確；
對(duì)D：設(shè)，則有，
集合M所構(gòu)成區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，半徑為的圓，
故，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
17．ACD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)和復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，若，因?yàn)?，則，可得，
設(shè)，則，所以A正確；
對(duì)于B中，由A得，設(shè)，若，
則，
只要或，選項(xiàng)B就不正確；
例如：，此時(shí)，
可表示為或，
所以表示方法不唯一，所以B錯(cuò)誤.
對(duì)于C中，若，則，可得，
則，所以且，
設(shè)，則，其中，
則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量方向共線，且長度是倍，
故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是射線（且與方向共線），所以C正確.
對(duì)于D中，若，可得，同理，
由，即，可得，
即，
即，即，
即，
因?yàn)?，所以成立?br>所以成立，所以D正確.
故選：ACD.
18．BCD
【分析】根據(jù)已知條件，理解的意義，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)到直線距離公式對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】根據(jù)已知條件表示模長為，在復(fù)平面位于軸上方的復(fù)數(shù)，
所以并不是一個(gè)圓，A錯(cuò)誤；
若，則方程為一個(gè)實(shí)數(shù)，所以無解，B正確；
若為虛數(shù)，且，設(shè)，則，，，
所以，C正確；
復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則最小值為：
點(diǎn)到直線的距離，所以最小值為：，D 正確.
故選：BCD
19．AD
【分析】設(shè)，，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式逐一判斷即可.
【詳解】設(shè)，，其中，且復(fù)數(shù)均不為0，
則選項(xiàng)A：由可得，
所以，即，A說法正確；
選項(xiàng)B：，所以，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)，即時(shí)，可得，
兩邊平方整理得，所以不一定成立，C說法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：，所以，
又，
當(dāng)時(shí)可得，所以不一定成立，C說法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：若，則，
所以，D說法正確；
故選：AD
20．BC
【分析】對(duì)于A項(xiàng)，可以舉反例說明；對(duì)于B項(xiàng)，可以設(shè)，則，代入等式兩邊驗(yàn)證即可判定；對(duì)于C項(xiàng)，可將題設(shè)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化，分析即得；對(duì)于D項(xiàng)，可通過舉反例對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，，顯然滿足，但，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，，故而，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，由可得：，因是非零復(fù)數(shù)，故，即，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是非零復(fù)數(shù)，但 ，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
21．ABC
【分析】求出方程的兩根，即可判斷A，利用韋達(dá)定理判斷B，計(jì)算出兩根的模，即可判斷C，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算及B項(xiàng)的結(jié)論化簡，即可判斷D.
【詳解】關(guān)于的方程，
則，，
不妨設(shè)，，
，故A正確；
由韋達(dá)定理可得，故B正確；
，故C正確；
，
，
則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
22．ABC
【分析】根據(jù)三次方程的代數(shù)解法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】
依題意可知是次項(xiàng)系數(shù)，所以，A選項(xiàng)正確.
第一步，把方程中的，用來替換，
得，
第二步，對(duì)比與，
可得，解得，B選項(xiàng)正確.
所以，C選項(xiàng)正確.
，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC
23．
【分析】根據(jù)題意設(shè)出合理的向量模，再將其置于坐標(biāo)系中，利用坐標(biāo)表示出，再用基本不等式求解出最值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，，
由題意設(shè)，則，，
設(shè)，如圖，因?yàn)榍蟮淖钚≈担?br>則，，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先是對(duì)向量模的合理假設(shè)，然后為了進(jìn)一步降低計(jì)算的復(fù)雜性，我們選擇利用坐標(biāo)法將涉及的各個(gè)點(diǎn)用坐標(biāo)表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值.
24．5
【分析】由題意確定P點(diǎn)的軌跡，分類討論，結(jié)合向量的運(yùn)算說明正六邊形中以及時(shí)不符合題意，說明時(shí)滿足題意，即可得答案.
【詳解】由題意知點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)在以為直徑的圓上，
當(dāng)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，如圖，
，
當(dāng)共線且方向時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，
此時(shí)，則，
則，故時(shí)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，如圖，
，當(dāng)共線且反向時(shí)，取最小值，
此時(shí)共線，，
，
則，
則當(dāng)共線且同向時(shí)，必有，
故時(shí)，存在點(diǎn)P滿足，且；
當(dāng)時(shí)，如圖，正七邊形的頂點(diǎn)到對(duì)邊的高h(yuǎn)必大于正六邊形對(duì)邊之間的高，依此類推，

故此時(shí)不存在點(diǎn)P滿足，且；
故n的最小值為5，
故答案為：5
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的運(yùn)算以及向量的模的最值問題，綜合性較強(qiáng)，難度加大，難點(diǎn)在于要分類討論正n邊形的情況，結(jié)合向量的加減運(yùn)算，確定模的最值情況.
25． 2 30
【分析】先求出模長的范圍，由題設(shè)得，通過向量的線性運(yùn)算得和取得最小值1，最大值15，即可求解.
【詳解】由題意知：，
又，可得，則；
顯然當(dāng)，且時(shí)，取得最小值0；
當(dāng)，且方向相反時(shí)，取得最小值1；
又由上知，則的最小值取不到0，
又因?yàn)楫?dāng)，方向相同，與方向相反時(shí)，，
此時(shí)，同時(shí)取得最小值1，故的最小值為，
只要方向相反，即可滿足；
顯然當(dāng)，且方向相同時(shí)，取得最大值15；
當(dāng)，且方向相同時(shí)，取得最大值20；
又由上知，則的最大值取不到20，
又當(dāng)時(shí)，由三角形法則知，必然存在使得，
此時(shí)，同時(shí)取得最大值15，
故的最大值為，
只要方向相反，即可滿足.
故答案為：2；30.
26．
【分析】設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，的傾斜角為，可表示，再根據(jù)投影向量的模的概念可得解.
【詳解】設(shè)直線傾斜角為，的傾斜角為，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即
由圓：，即，
所以圓心，半徑，
又點(diǎn)在圓上，
所以點(diǎn)到直線的距離，解得，即，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為與圓相切，成立，此時(shí)，
綜上，，
則，
所以，即
所以，
即，
又
所以向量在向量上的投影向量的模為，
故答案為：.
27． /
【分析】根據(jù)投影向量的定義求出，即可求出，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，在上取，使得，在上取點(diǎn)使得，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】由向量在向量上的投影向量為，
得向量在向量上的投影向量的模為，
所以，
又因角為銳角，所以，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
在上取，使得，則，
在上取點(diǎn)使得，
則，
直線的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
則，解得，所以，
則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，在上取，使得，在上取點(diǎn)使得，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則是解決本題的關(guān)鍵.
28．
【詳解】先通過向量的定義得到，從而，通過求出，再求出，利用表示夾角，進(jìn)而利用基本不等式求最值.
【分析】因?yàn)闉樵诜较蛏系耐队跋蛄浚遗c的夾角為銳角，
所以，故．
因?yàn)?，且?br>所以．設(shè)，
則，
故．又．
設(shè)與的夾角為，所以．
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
所以，即，
故．又，所以．
故與的夾角的最大值是．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決．
29．
【分析】設(shè)向量，的單位方向向量，用所設(shè)的單位向量作為基底，表示出已知條件，進(jìn)而表示出，繼而求得答案.
【詳解】設(shè)與 方向相同的單位向量是 ，且 ，
設(shè)與 方向相同的單位向量是 ，且 ，
又. 注意到.
，
，
∵c-12a-13b=μ1u+μ2v-λ1u-λ2v=μ1-λ1u+μ2-λ2v，
∴
設(shè)
y′μ1=2μ1?λ1+μ2?λ2+δ2=0 1 y′μ2=2μ2?λ2+μ1?λ1+δ2=0 2
(1)與(2)聯(lián)立得： (7)
(3)與(4)聯(lián)立得： (8)
將(8)代入(5)中得：，
∴μ1-μ2=λ1-λ2=5189，與聯(lián)立得：，
對(duì)應(yīng)，故,
故答案為：
30．4
【分析】利用向量運(yùn)算化簡變形，設(shè)，將向量等式轉(zhuǎn)化為兩動(dòng)點(diǎn)軌跡為均為球面，再利用球心距求兩球面上任意兩點(diǎn)間距離最大值即可.
【詳解】已知正三棱錐，則，且，
由化簡得，
由化簡得.
設(shè)，代入，，
分別化簡得，且，
故點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑；
點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑
分別取線段、的中點(diǎn)、，
則，
故.
故答案為：4
【點(diǎn)睛】將向量的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的幾何表達(dá)，借助幾何意義求解動(dòng)點(diǎn)間的距離最值是解決本類題型的關(guān)鍵所在.
31．
【分析】延長到滿足，取的靠近的三等分點(diǎn)，連接，由向量共線定理得三點(diǎn)共線，從而表示的邊上的高，利用正弦定理求得的面積的最大值，從而可得結(jié)論．
【詳解】延長到滿足，取的靠近的三等分點(diǎn)，連接，如圖，
，
所以三點(diǎn)共線，
又存在點(diǎn)，使得對(duì)任意，滿足恒成立，則的長表示到直線的距離，即的邊上的高，設(shè)，
由得，，公用，因此，
所以，
中，設(shè)，由正弦定理得，記為角，
所以，，，
所以
，
若不是鈍角，則
，
又，所以，即，
所以，
設(shè)，則，，它是減函數(shù)，
所以時(shí)，，
若是鈍角，則
，
設(shè)，則，，
令，則，
，
時(shí)，，遞減，時(shí)，遞增，
所以時(shí)，，，
綜上，，
此時(shí)．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查向量的線性運(yùn)算，考查三角形的面積，解題方法其一是根據(jù)向量共線定理得出點(diǎn)在一條直線，問題轉(zhuǎn)化為求三角形高的最大值，從而求三角形面積的最大值，解題方法其二是利用正弦定理求三角形的面積，本題中注意在用平方關(guān)系轉(zhuǎn)化時(shí)，需要根據(jù)是否為鈍角分類討論，才能正確求解（本題用海倫公式求三角形的面積方法較簡便）．
32．
【分析】利用向量不等式并結(jié)合x的范圍求最值.
【詳解】設(shè)
則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立
故，
又，所以，
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用向量不等式求最值，關(guān)鍵是兩次運(yùn)用不等式且保證等號(hào)成立.
33．
【分析】利用絕對(duì)值三角不等式，及三角函數(shù)的有界性可進(jìn)行化簡分析.
【詳解】設(shè)，由，根據(jù)三角不等式，有
，
得，
故
.
故答案為：.
34． ，
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，表示向量；設(shè)，再利用平面向量基本定理表示，即可求解，再根據(jù)，以及基本不等式，三角形面積公式，即可求解.
【詳解】由點(diǎn)是的中點(diǎn)，
則；
設(shè)，，
則，
，
，
，
所以，得,,
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以，
，
即，即，當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以面積的最大值為.

故答案為：；.
35．2
【分析】先利用和證明，再解不等式得到，從而有，再驗(yàn)證，，時(shí)，即得到的最小值是2.
【詳解】由于，
且，
故有
，
所以，記，則有，從而或，即或.
總之有，故，即.
存在，，時(shí)條件滿足，且此時(shí)，所以的最小值是2.
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于的最小值問題，我們先證明，再給出一個(gè)使得的例子，即可說明的最小值是2，論證不等關(guān)系和舉例取到等號(hào)兩個(gè)部分都是證明最小值的核心，缺一不可.
36．/
【分析】討論、且、且或2或3，根據(jù)的定義及向量數(shù)量積的運(yùn)算律，分別求最小值，即可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)且時(shí)，；
當(dāng)且、時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
同理且、或且、時(shí)，的最小值也為；
當(dāng)時(shí)，則，
由，設(shè)，則，
所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
綜上，的最小值為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用分類討論，注意中向量不同的排列情況下對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律和幾何關(guān)系求最值.
37．
【分析】先將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，然后用距離公式對(duì)條件進(jìn)行變形，得到，由此可以證明. 之后再使用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將表示為關(guān)于的表達(dá)式，利用即可證明，最后給出一個(gè)的例子即可說明的最大值是.
【詳解】由，，，，知，，，，從而，，.
由于，，故條件即為，展開得到，再化簡得，所以，故我們有，從而.
由于，，，，故，從而.
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)，時(shí)，條件滿足. 此時(shí).
所以的最大值是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于將復(fù)數(shù)坐標(biāo)化為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，并將復(fù)數(shù)之差的模長表示為平面直角坐標(biāo)系中的線段長度. 另外，本題還具有“阿波羅尼斯圓”的背景：平面上到兩個(gè)不同定點(diǎn)的距離之比恒為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，該圓稱為關(guān)于的阿波羅尼斯圓. 使用解析幾何方法結(jié)合距離公式，很容易證明此結(jié)論.
38．
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿足，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合可求得結(jié)果.
【詳解】復(fù)數(shù)滿足，即
即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿足
設(shè)，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離
數(shù)形結(jié)合可知的最大值
故答案為：
39．10
【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍，從而得到實(shí)數(shù)的最小可能值.
【詳解】設(shè)，，，
由題設(shè)有.
又
，
，
而，
所以，
而，當(dāng)且僅當(dāng)終邊相同時(shí)等號(hào)成立，
故，所以，
故實(shí)數(shù)的最小可能值為10，
故答案為：10.
40．/
【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)得到點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸為的橢圓，從而利用圖像平移變換的知識(shí)求得點(diǎn)的坐標(biāo)表示，進(jìn)而利用三角換元法與輔助角公式即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)，
則，
因?yàn)椋?，則，
因?yàn)?，即?br>所以，即，
令，，，則，
所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸為的橢圓，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，記，則，，
所以橢圓的圖像是由以為焦點(diǎn)，長軸為的橢圓的圖像先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，再向右平移4個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，得到的圖像，橢圓為實(shí)線部分，橢圓為虛線部分，如圖，
.
因?yàn)樵跈E圓中，，則，，
所以橢圓的方程為，
不妨設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，則可設(shè)，，
下面求逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到的點(diǎn)，
以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，則，其中，為與極軸所成角度，
所以，
，
接著求向右平移4個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位得到的點(diǎn)，
易得，，
又因?yàn)?，?br>所以，，
所以，其中，
因?yàn)椋淖钚≌芷跒椋?br>所以，則，
所以，即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)皺點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：
（1）利用橢圓的定義得到的軌跡；
（2）利用點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)平移得到關(guān)于的關(guān)系式.
41．
【分析】利用給定定理直接計(jì)算即得；令，求出等比數(shù)列前項(xiàng)的和，再利用復(fù)數(shù)相等求解作答.
【詳解】當(dāng)，時(shí)，，所以；
，令，則，
，
，
而，則，，
所以.
故答案為：-i；
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及復(fù)數(shù)的次冪的求和問題，可把視為等比數(shù)列的第n項(xiàng)，再借助數(shù)列問題求解.
42．
【分析】根據(jù)垂直得到，化簡得到，利用周期公式得到答案.
【詳解】，，
則
函數(shù)的最小正周期為
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，三角函數(shù)化簡，周期，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力
43．1
【分析】由復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的意義可知，方程的兩個(gè)根為和，再設(shè)出復(fù)數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理和復(fù)數(shù)運(yùn)算解出模長即可.
【詳解】由題意可知虛數(shù)為方程的一個(gè)根，也為方程的一個(gè)根，
所以，
設(shè)，則，
，
所以，
故答案為：.
44．(1)（答案不唯一）
(2)證明見解析
(3)，答案見解析.
【分析】（1）根據(jù)定義寫出滿足條件的即可；
（2）根據(jù)，結(jié)合定義，求出，即可得證；
（3）利用反證法求證.
【詳解】（1）由定義，只需滿足，不妨?。ù鸢覆晃ㄒ唬?br>（2）對(duì)于，，2，，，存在，，，，使得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．令，．
所以．
所以為偶數(shù)．
（3）當(dāng)時(shí)，可猜測互相正交的4維向量最多有4個(gè)，即．
不妨取，，，，
則有，，，，，．
若存在，使，則或或．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故找不到第5個(gè)向量與已知的4個(gè)向量互相正交．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義問題，理解定義內(nèi)容、會(huì)運(yùn)用新定義運(yùn)算，是解決問題的關(guān)鍵.
45．(1)見解析，；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意求得，再結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，即可求得；根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，即可求得概率；
（2）根據(jù)的定義，設(shè)出中的任意一個(gè)元素，根據(jù)其滿足的條件化簡的形式，只需證明滿足定義中的形式即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，故，
當(dāng)時(shí)，
故；
同理，當(dāng)時(shí)，；
在中任取兩個(gè)數(shù)共有6種取法，滿足和為零的有2種，故其概率.
（2）證明：設(shè)為集合中的一個(gè)元素，則，
因?yàn)?，故存在，使得?br>因?yàn)?，?br>，其中，
故為正奇數(shù)，故.
故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，涉及古典概型的概率計(jì)算；其中第二問中處理問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)的形式，逐步劃歸為滿足的形式，屬綜合難題.

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