一、單選題
1．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為其準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為（點(diǎn)與在拋物線(xiàn)同側(cè)），則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．
2．過(guò)雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)P，分別向和作切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．28B．29C．30D．32
3．已知，，，，，則的最大值為（ ）
A．B．4C．D．
4．在平面四邊形中，，，，，則的最大值為（ ）
A．B．2C．3D．
5．已知平面向量，，，滿(mǎn)足，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有成立，且，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．鍵線(xiàn)式可以簡(jiǎn)潔直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中極其重要．有機(jī)物萘可以用左圖所示的鍵線(xiàn)式表示，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點(diǎn)為該圖形邊界（包括頂點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，2022年世界杯的會(huì)徽像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”．在平面直角坐標(biāo)系中，圓和外切也形成一個(gè)8字形狀，若，為圓M上兩點(diǎn)，B為兩圓圓周上任一點(diǎn)（不同于點(diǎn)A，P），則的最大值為（ ）．
A．B．C．D．
8．中國(guó)結(jié)是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它身上所顯示的情致與智慧正是中華民族古老文明中的一個(gè)側(cè)面.已知某個(gè)中國(guó)結(jié)的主體部分可近似地視為一個(gè)大正方形（內(nèi)部是16個(gè)全等的邊長(zhǎng)為1的小正方形）和凸出的16個(gè)半圓所組成，如圖，點(diǎn)A是大正方形的一條邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)C是大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)B是凸出的16個(gè)半圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
9．已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
10．已知雙曲線(xiàn)（，）的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且滿(mǎn)足，.若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上不與左?右頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，若，則正整數(shù)k的值是（ ）
A．8B．12C．16D．20
13．如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．1C．D．
14．如圖，為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，若對(duì)于線(xiàn)段上的任意點(diǎn)，都有成立，且內(nèi)切圓的圓心在直線(xiàn)上.則雙曲線(xiàn)的離心率是（ ）
A．B．C．2D．
15．??是等腰直角三角形（）內(nèi)的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多選題
16．中華人民共和國(guó)國(guó)旗是五星紅旗，國(guó)旗上每個(gè)五角星之所以看上去比較美觀，是因其圖形中隱藏著黃金分割數(shù)．連接正五邊形的所有對(duì)角線(xiàn)能夠形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正五角星，正五角星中每個(gè)等腰三角形都是黃金三角形．黃金三角形分兩種：一種是頂角為的等腰三角形，其底邊與一腰的長(zhǎng)度之比為黃金比；一種是頂角為的等腰三角形，其一腰與底邊的長(zhǎng)度之比為黃金比．如圖，正五角星中，，記，則（ ）

A．B．
C．在上的投影向量為D．
17．重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外．經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨(dú)特風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛(ài)．古人曾有詩(shī)贊曰：“開(kāi)合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)，偏稱(chēng)游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團(tuán)圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連接OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
圖1 圖2
A．若，則B．若，則
C．D．
18．點(diǎn)，分別是的外心?垂心，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若且，則
B．若，且，則
C．若，，則的取值范圍為
D．若，則
19．劉徽是我國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，他在263年撰寫(xiě)的《九章算術(shù)注》以及后來(lái)的《海島算經(jīng)》，都是我國(guó)寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，奠定了他在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的不朽地位．其中《九章算術(shù)注》一書(shū)記載了劉徽利用圓的內(nèi)接正多邊形來(lái)近似計(jì)算圓周率的方法，后人稱(chēng)之為“劉徽割圓術(shù)”．已知單位圓O的內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積分別為，，，為正n邊形邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
20．已知點(diǎn)在線(xiàn)段上，是的角平分線(xiàn)，為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)則在上的投影向量為 ．（結(jié)果用表示）．
21．已知為平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，恒有，，相交于點(diǎn)，且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 .
22．我們稱(chēng)元有序?qū)崝?shù)組為維向量，為該向量的范數(shù).已知維向量，其中，，記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則 .（用含的式子表示，）
23．在數(shù)列中，，．設(shè)向量，已知，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②，；③，；④，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
24．如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，且，為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)列，滿(mǎn)足：，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和 ．
25．如圖，已知點(diǎn)是平行四邊形的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為1的數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
26．在平面內(nèi)，定點(diǎn)，滿(mǎn)足，且，則 ；平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則的最大值是 ．
27．已知平面向量、、、，滿(mǎn)足，，，，若，則的最大值是 .
28．如圖，已知，是直角兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，，，，，，則的最大值為 .
29．已知為的外接圓圓心，且．設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍為 ．
30．已知M 是橢圓上一點(diǎn)，線(xiàn)段 AB是圓的一條動(dòng)弦,且則的最大值為 .
31．已知向量、不共線(xiàn)，夾角為，且，，，若，則的最小值為 ．
四、解答題
32．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)，除了實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)之外，還有四元數(shù)．四元數(shù)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有廣泛應(yīng)用，主要用于描述空間中的旋轉(zhuǎn)．集合中的元素稱(chēng)為四元數(shù)，其中i,j,k都是虛數(shù)單位，d稱(chēng)為的實(shí)部，稱(chēng)為的虛部．兩個(gè)四元數(shù)之間的加法定義為．
兩個(gè)四元數(shù)的乘法定義為：,四元數(shù)的乘法具有結(jié)合律，且乘法對(duì)加法有分配律．對(duì)于四元數(shù)，若存在四元數(shù)使得，稱(chēng)是的逆，記為．實(shí)部為0的四元數(shù)稱(chēng)為純四元數(shù)，把純四元數(shù)的全體記為W．
(1)設(shè),四元數(shù)．記表示的共軛四元數(shù)．
（i）計(jì)算；
（ii）若，求；
（iii）若，證明：；
(2)在空間直角坐標(biāo)系中，把空間向量與純四元數(shù)看作同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象．設(shè)．
（i）證明：;
（ii）若是平面X內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，證明：是X的一個(gè)法向量．
33．對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，我們稱(chēng)（規(guī)定）為無(wú)窮數(shù)列的指數(shù)型母函數(shù)．無(wú)窮數(shù)列1，1，…，1，…的指數(shù)型母函數(shù)記為，它具有性質(zhì)．
(1)證明：；
(2)記．證明：（其中i為虛數(shù)單位）；
(3)以函數(shù)為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列，．其中稱(chēng)為伯努利數(shù)．證明：．且．
34．在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱(chēng)為函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式.
(1)分別求，，在處的泰勒展開(kāi)式；
(2)若上述泰勒展開(kāi)式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；
(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）
35．對(duì)于非空集合，定義其在某一運(yùn)算（統(tǒng)稱(chēng)乘法）“×”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱(chēng)為“群”，簡(jiǎn)記為．而判斷是否為一個(gè)群，需驗(yàn)證以下三點(diǎn)：
1.（封閉性）對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿(mǎn)足；
2.（結(jié)合律）對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿(mǎn)足；
3.（恒等元）存在，使得對(duì)任意，；
4.（逆的存在性）對(duì)任意，都存在，使得．
記群所含的元素個(gè)數(shù)為，則群也稱(chēng)作“階群”．若群的“×”運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，即對(duì)任意，，我們稱(chēng)為一個(gè)阿貝爾群（或交換群）．
(1)證明：所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群；
(2)記為所有模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，請(qǐng)找出一個(gè)合適的“×”運(yùn)算使得在該運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，并說(shuō)明理由；
(3)所有階數(shù)小于等于四的群是否都是阿貝爾群？請(qǐng)說(shuō)明理由．
36．設(shè)M是由復(fù)數(shù)組成的集合，對(duì)M的一個(gè)子集A，若存在復(fù)平面上的一個(gè)圓，使得A的所有數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)或圓周上，且中的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓外，則稱(chēng)A是一個(gè)M的“可分離子集”．
(1)判斷是否是的“可分離子集”，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，其中分別表示z的實(shí)部和虛部．證明：是的“可分離子集”當(dāng)且僅當(dāng)．
37．設(shè)復(fù)數(shù)，其中，為虛數(shù)單位，，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．
（1）求復(fù)數(shù)的值；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）求數(shù)列的前100項(xiàng)之和．
38．稱(chēng)一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列為“有趣的”，若，且對(duì)任意正整數(shù)n，均有．求最大的常數(shù)C，使得對(duì)一切有趣的數(shù)列及任意正整數(shù)m，均有．
39．設(shè)、是無(wú)窮復(fù)數(shù)數(shù)列，滿(mǎn)足對(duì)任意正整數(shù)n，關(guān)于x的方程的兩個(gè)復(fù)根恰為、（當(dāng)兩根相等時(shí)）．若數(shù)列恒為常數(shù)，證明：
（1）；
（2）數(shù)列恒為常數(shù)．
40．，求
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，得到，利用拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性設(shè)不妨設(shè)切點(diǎn)為在第一象限，然后利用導(dǎo)函數(shù)求切線(xiàn)斜率，進(jìn)而求出直線(xiàn)方程，得，得，最后利用基本不等式求最值.
【詳解】

由，可知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，
因?yàn)闉槠錅?zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，設(shè)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)為：，①
由得：，
所以，整理得，，②
所以，是方程②的兩根，
所以，故，
所以，
利用拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)切點(diǎn)為在第一象限，坐標(biāo)為，
由得，所以，
所以直線(xiàn)的斜率，
代入①可得切線(xiàn)的方程為：，
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，
所以，所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，，
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.
故選：D
2．C
【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)為，，連接，，，，運(yùn)用勾股定理和雙曲線(xiàn)的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，距離之和取得最小值，計(jì)算即可得到所求值．
【詳解】由雙曲線(xiàn)方程可知：，
可知雙曲線(xiàn)方程的左、右焦點(diǎn)分別為，，
圓的圓心為（即），半徑為；
圓的圓心為（即），半徑為．
連接，，，，則，
可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號(hào)，即的最小值為30.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義整理得，結(jié)合幾何性質(zhì)分析求解.
3．A
【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點(diǎn)間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為橢圓上點(diǎn)到另一個(gè)圓的圓心的最大值即可.
【詳解】如圖所示：
不妨設(shè)，
滿(mǎn)足，，，
又，即，
由橢圓的定義可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，
，
所以該橢圓方程為，
而，即，即，
這表明了點(diǎn)在圓上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，
又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)，
故只需求的最大值即可，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，所以不妨設(shè)，
所以，
所以當(dāng)且三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，
有最大值.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)換為圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題來(lái)做，通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)合的方法巧妙的將幾何問(wèn)題融入代數(shù)方法，從而順利得解.
4．C
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得，進(jìn)而求解.
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，則，，
所以，，設(shè)，
則，，，
由，即，
則，即.
由可知點(diǎn)的軌跡為外接圓的一段劣弧，
且，則外接圓的半徑為，
設(shè)外接圓的方程為，
則，解得或（舍去），
即外接圓方程為，圓心為，
因?yàn)楸硎就饨訄A劣弧上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
而圓心到直線(xiàn)的距離為，
要使最大，則最大，
而，即，
此時(shí)，即的最大值為3.
故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡方程，然后轉(zhuǎn)化問(wèn)題為求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最值問(wèn)題.
5．D
【分析】把三個(gè)向量平移到同起點(diǎn)，由向量運(yùn)算及得，從而，又由得點(diǎn)在以為圓心半徑為1的圓面上（包括邊界），利用數(shù)量積的幾何意義求得，再利用三角形相似求OD長(zhǎng)度即可求出最值.
【詳解】設(shè)，，，，，則如圖所示，
因?yàn)?，所以?br>即，所以，
因?yàn)椋?，所以，?br>由，可得點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓面上（包括邊界），
過(guò)圓周上一點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，且與相切，
延長(zhǎng)交于，則，
此時(shí)∽，根據(jù)相似知識(shí)可得，
所以，
所以的最大值為，
故選：D.
6．B
【分析】取線(xiàn)段的中點(diǎn)，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.
【詳解】取線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，
，
由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，且，
由圖形可知，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線(xiàn)段上，
連接，則，
同理，
由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，，
所以，，
則、、三點(diǎn)共線(xiàn)，則，即，
當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，在逐漸增大，
同理可知，，
當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上由點(diǎn)到的過(guò)程中，在逐漸增大，
所以，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，
以線(xiàn)段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，
線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則、、、、、
、，設(shè)點(diǎn)，
（1）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
直線(xiàn)的方程為，即，
所以，線(xiàn)段的方程為，
則；
（2）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，則，
所以，；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
直線(xiàn)的方程為，即，
所以，線(xiàn)段的方程為，
所以，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
故.
綜上所述，的最大值為，故，
故的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．
7．C
【分析】先用待定系數(shù)法求出圓M的方程，進(jìn)而得到，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)與直線(xiàn)PA垂直的直線(xiàn)l和圓N相切，切點(diǎn)為B，且直線(xiàn)l的縱截距大于0時(shí)，最大，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得到，結(jié)合向量投影求出最值.
【詳解】根據(jù)題意可得，解得，，故圓M的方程為．
，
畫(huà)圖分析可知當(dāng)與直線(xiàn)PA垂直的直線(xiàn)l和圓N相切，切點(diǎn)為B，且直線(xiàn)l的縱截距大于0時(shí)，最大．
直線(xiàn)的斜率為1，設(shè)l的方程為，由圓心到直線(xiàn)l的距離為，
解得或（舍去）．
故l的方程為，其與直線(xiàn)PA：的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，所以，
即的最大值為．
故選：C
【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問(wèn)題，通常有兩種思路：
①形化，即用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；
②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
8．C
【分析】利用向量數(shù)量積的幾何意義將的最大值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并確定取最大值時(shí)點(diǎn)B的位置，再建立坐標(biāo)系求解作答.
【詳解】等于在上的投影向量與的數(shù)量積，因此當(dāng)在上的投影向量與同向，
且投影向量的模最大時(shí)，取到最大值，此時(shí)點(diǎn)B在以點(diǎn)C為半圓弧端點(diǎn)且在AC上方的半圓上，
以大正方形的相鄰兩邊分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，，
則直線(xiàn)的方程為，以點(diǎn)C為半圓弧端點(diǎn)且在AC上方的半圓圓心為，
半圓的方程為，
顯然半圓在點(diǎn)處切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)時(shí)，取得最大值，
設(shè)切線(xiàn)的方程為，于是，而點(diǎn)M在切線(xiàn)的左上方，解得，
即切線(xiàn)：，由解得，
因此切線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，此時(shí)，又，
所以的最大值為.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．
9．A
【分析】根據(jù)題意B，O，C三點(diǎn)共線(xiàn)．因?yàn)闉榈耐庑模从?，所以為直角三角形，利用向量得投影結(jié)合圖形即可得解.
【詳解】
因?yàn)椋?br>則，所以，即B，O，C三點(diǎn)共線(xiàn)．
因?yàn)闉榈耐庑?，即有?br>所以為直角三角形，因此，為斜邊的中點(diǎn)．因?yàn)?，所以為銳角．
如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋裕?br>所以在上的投影向量為．
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>故的取值范圍為．
故選：A．
10．C
【分析】由可得在的角平分線(xiàn)上，由雙曲線(xiàn)的定義和切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得為的內(nèi)心，再由內(nèi)心的向量表示，推得，再由雙曲線(xiàn)的定義和離心率公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋允堑慕瞧椒志€(xiàn)，
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，且在雙曲線(xiàn)中，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，
則的內(nèi)切圓圓心在直線(xiàn)上，即點(diǎn)是的內(nèi)心，
如圖，作出，并分別延長(zhǎng)、、至點(diǎn)、、，使得，
，，可知為的重心，
設(shè)，，，由重心性質(zhì)可得，
即，
又為的內(nèi)心，所以，
因?yàn)椋?，，則，
所以雙曲線(xiàn)的離心率.
故選：C.
【點(diǎn)睛】三角形重心、內(nèi)心和外心的向量形式的常用結(jié)論：
設(shè)的角，，所對(duì)邊分別為，，，則
（1）的重心滿(mǎn)足；
（2）的內(nèi)心滿(mǎn)足；
（3）的外心滿(mǎn)足.
11．B
【分析】取中點(diǎn)，由及得到三點(diǎn)共線(xiàn)且，再根據(jù)雙曲線(xiàn)定義及得到的比例關(guān)系，進(jìn)而解出離心率.
【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，如圖，則，由，得
三點(diǎn)共線(xiàn)，.由既是的平分線(xiàn)，又是邊上的中線(xiàn)，得.作軸于點(diǎn)，，且，.
故選：B.
12．B
【分析】利用遞推關(guān)系式計(jì)算數(shù)列各項(xiàng)的值，確定滿(mǎn)足題意的k值即可.
【詳解】解：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式可得：
，
，
，
，
.
故選：B.
13．B
【分析】過(guò)點(diǎn)作，用表示線(xiàn)段長(zhǎng)，結(jié)合給定圖形借助向量加法、數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算即得.
【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，令，由，得，
，由分別為的中點(diǎn)，得，，
所以.
故選：B
14．D
【分析】由可得.由，可得.
又由內(nèi)切圓的圓心在直線(xiàn)上，可得，據(jù)此可得答案.
【詳解】如圖1，取中點(diǎn)為Q，連接EQ，PQ.則，
.
因，則，因直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短，則為垂線(xiàn).因Q為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，則
，得.又DO為直角三角形斜邊中線(xiàn)，則.
如圖2，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為I，內(nèi)切圓與交點(diǎn)為M，與交點(diǎn)為T(mén)，與交點(diǎn)為N.則，，又，則.
又由切線(xiàn)性質(zhì)，可知，則
.
則離心率為.
故選：D
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題涉及以下結(jié)論：
（1）極化恒等式：；
（2）雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心在直線(xiàn)上.
15．C
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形分別計(jì)算，和的值，再比較大小
【詳解】
(正弦定理)
在的角平分線(xiàn)上, 同理可證在的角平分線(xiàn)上,
為內(nèi)心
如圖所示
由知,這三個(gè)角都是
且在的平分線(xiàn)上,延長(zhǎng)交于點(diǎn)
取,則,
得,
所以
記的周長(zhǎng)為
由題意知是的內(nèi)心,內(nèi)切圓半徑
所以
由,且
則
所以,即,則在以為直徑的圓上
由,且
所以,得
由,得
所以
設(shè),在中由余弦定理得
解得
所以
所以
故選:C
16．ABD
【分析】利用黃金三角形得邊長(zhǎng)比計(jì)算各邊長(zhǎng)可得，再通過(guò)證，可得，則選項(xiàng)A可判定；在三角形中利用余弦定理可得，再用數(shù)量積公式即可求解，則選項(xiàng)B可判定；利用投影向量得公式即可求解，則選項(xiàng)C可判定；利用倍角公式結(jié)合三角函數(shù)得周期性即可求和，則選項(xiàng)D可判定.
【詳解】因?yàn)?，三角形為黃金三角形，
所以，可得，

由對(duì)稱(chēng)性可知，
，
所以，
，
可知，所以，，
所以，即可得，
所以，故選項(xiàng)A正確；
在三角形中，有余弦定理可得，
，故選項(xiàng)B正確；
在上的投影向量為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，
，
，
，
，
，
，……具有周期性，
所以
，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
17．ABD
【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè) ，可得，由，結(jié)合題中條件可判斷A,B;表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.
【詳解】如圖，作 ,分別以為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則 ,
設(shè) ，則,
由可得 ，且 ，
若，則，
解得 ，（負(fù)值舍去），故，A正確；
若，則，，故B正確；
，
由于，故，故，故C錯(cuò)誤；
由于，
故
，而，
故，故D正確，
故選：ABD
18．BCD
【分析】A.根據(jù)向量的運(yùn)算以及基本定理的推理，確定點(diǎn)的位置，即可判斷A；B.根據(jù)條件，確定的形狀，即可判斷B；C.建立坐標(biāo)系，將利用三角函數(shù)表示，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷C；根據(jù)垂心的性質(zhì)，得，再結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】A.由，可知，點(diǎn)共線(xiàn)，
又可知，點(diǎn)在的角平分線(xiàn)上，
所以為的角平分線(xiàn)，與不一定相等，故A錯(cuò)誤；
B.若，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)又是的外心，
所以，，故B正確；
C. 因?yàn)椋?，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)，，，
因?yàn)?，所以?br>得，，
，，
，，則，故C正確；
D.因?yàn)?，所以?br>即，則，
同理，，所以，
設(shè)，
因?yàn)椋裕?br>即，則，
，即，
則，
，，故D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，以及垂心，外心的綜合應(yīng)用問(wèn)題，本題的C選項(xiàng)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)即可求解，D選項(xiàng)的關(guān)鍵是公式的應(yīng)用.
19．ACD
【分析】根據(jù)給定條件，求出正n邊形的中心角，由此計(jì)算，，即可判斷選項(xiàng)A，B，C；由即可判斷D作答.
【詳解】依題意，單位圓O的內(nèi)接正n邊形的中心角為，則，
，，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，B不正確；
對(duì)于C，因，又，則，C正確；
對(duì)于D，在復(fù)平面內(nèi)令O為原點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性不妨令點(diǎn)逆時(shí)針排列，向量所對(duì)復(fù)數(shù)分別為，
則所對(duì)復(fù)數(shù)為，將正n邊形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形重合，
則由復(fù)數(shù)的三角形式得：，，
因此，所對(duì)復(fù)數(shù)為，
于是有：，而，，
則，即
于是有，D正確.
故選：ACD
20．
【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，結(jié)合三角形內(nèi)心的向量表達(dá)式、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、投影向量的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
由，可設(shè)，，

得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線(xiàn)的右支（不含右頂點(diǎn)）．
因?yàn)槭堑慕瞧椒志€(xiàn)，
且，
所以也為的角平分線(xiàn)，為的內(nèi)心．
如圖，設(shè)，
則由雙曲線(xiàn)與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，
又，所以，，在上的投影長(zhǎng)為，則在上的投影向量為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是識(shí)別三角形內(nèi)心的表達(dá)式，利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理進(jìn)行求解.
21．
【分析】根據(jù)已知恒等式可得，再將用表示，再根據(jù)，從而可將用表示，再根據(jù)平面向量共線(xiàn)定理得推論可求得數(shù)列的遞推公式，再根據(jù)遞推公式求出，即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>由，
得，
所以
，
又，
所以，
整理得，
因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，
所以，
整理得，
因?yàn)椋?br>所以，
，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知恒等式可得，再結(jié)合，將用表示，是解決本題得關(guān)鍵.
22．
【分析】考慮當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)和的展開(kāi)式的加減得到的通項(xiàng)公式.
【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，范數(shù)為奇數(shù)，則的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即的個(gè)數(shù)為，
根據(jù)乘法原理和加法原理得到，
，
，
兩式相減得到；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，范數(shù)為奇數(shù)，則的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即的個(gè)數(shù)為，
根據(jù)乘法原理和加法原理得到，
，
，
兩式相加得到.
綜上所述：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了向量的新定義，乘法原理，加法原理，二項(xiàng)式定理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用和的展開(kāi)式求數(shù)列通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，需要靈活掌握.
23．②③④
【分析】根據(jù)已知帶入，即可求得，即可判斷①；同理可求得，.然后猜想，有，（*）.然后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明（*）成立，進(jìn)而推得，.可猜想，（**）. 然后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明（**）成立，即可得出②；帶入化簡(jiǎn)整理可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得出③；根據(jù)（**）的結(jié)論即可得出④正確.
【詳解】對(duì)于①，由已知可得，，
所以，.
因?yàn)椋杂?，解得，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，，，
所以，.
因?yàn)?，所以有，解?
同理可得，.
所以有，，，.
猜想，，有，.（*）
顯然，當(dāng)時(shí)，（*）式成立；
假設(shè)時(shí)，（*）式成立，
即，有，.
因?yàn)?，，?br>所以，.
由已知可得，，
所以，
所以.
又，
所以，
所以.
即，時(shí)，式子（*）也成立.
所以，猜想正確.
即，有，.
所以， ，.
猜想，，.（**）
當(dāng)時(shí)，（**）式成立；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，（**）式成立，即，.
則，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
因?yàn)?，所?
所以，當(dāng)時(shí)，（**）式也成立.
所以，，，故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以.
又，所以.
同理可得，.
所以，，，故③正確；
對(duì)于④，由（**）可得，，.
所以，，，故④正確.
故答案為：②③④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)前幾項(xiàng)，猜想結(jié)論，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.
24．
【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算與平面向量基本定理可得，令，進(jìn)而可得為等比數(shù)列，求得，再利用分組求和法得出答案．
【詳解】由于D是AC邊上一點(diǎn)，且，
則 ，
由于為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)列，則．
因?yàn)?，
則，故，
整理，即，
故，
令，則，即，
因此 ，，，
所以 是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，
所以，
故 ．
故答案為：．
25．
【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算可得，再根據(jù)向量共線(xiàn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)條件得到，從而構(gòu)造等比數(shù)列求解即可
【詳解】為中點(diǎn)，，，
又、、三點(diǎn)共線(xiàn)，，又，
，化簡(jiǎn)可得，，又
數(shù)列是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列.，.
故答案為：
26．
【分析】（1）利用向量線(xiàn)性運(yùn)算法則和數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算出，進(jìn)而根據(jù)，平方后計(jì)算出，從而求出；然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，表達(dá)出和，利用三角函數(shù)有界性求出最大值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，兩邊平方得：，
即，解得：，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?br>所以；
可得到△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，垂直AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
，，
因?yàn)?，所以設(shè)，，
由可得：是線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，則，
則
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.
故答案為：，
27．
【分析】分析可得，設(shè)，，可得出，可設(shè)，可得出向量的坐標(biāo)，設(shè)，可得出、所滿(mǎn)足的等式，利用向量模的三角不等式可求得的最大值.
【詳解】因?yàn)?，即，可得?br>設(shè)，，則，則，
設(shè)，則，
因?yàn)?，，則或，
因?yàn)椋瑒t或，
令，則或，
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可只考慮，
由，
記點(diǎn)、、，則，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．
28．
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在直線(xiàn)為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用三角函數(shù)關(guān)系表示，，的坐標(biāo)，由題干條件分析可知為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，即可得到，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到與，整理可得為關(guān)于的函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在直線(xiàn)為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，
在中，，，
所以設(shè)，，，即.
由題意可知為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以，，
所以，，
所以

（其中，為銳角），
所以的最大值為，此時(shí)，即，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：題目中給出垂直關(guān)系，可利用坐標(biāo)法處理此題，設(shè)，點(diǎn)坐標(biāo)即可用關(guān)于的三角函數(shù)關(guān)系表示，則將問(wèn)題整理為關(guān)于的正弦型函數(shù)求最大值問(wèn)題.
29．
【分析】以中垂線(xiàn)為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出圓心坐標(biāo)及半徑，寫(xiě)出外接圓的方程，再分別寫(xiě)出坐標(biāo)，將題干條件帶入，即可得到等式，根據(jù)等式得出的關(guān)系及范圍，再將關(guān)系帶入中，根據(jù)范圍即可求得結(jié)果。
【詳解】解：由題可得，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，的中垂線(xiàn)為軸，
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
因?yàn)椋?，記圓心，半徑為，
所以圓的方程為，，
不妨設(shè)，所以,
,,
因?yàn)樗裕?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以可得，
將代入上式可得，①，
因?yàn)?，②?br>將①的平方和②的平方相加可得：，
所以，
所以，
將帶入可得，，即，
即，所以，
所以的取值范圍為。
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此題考查平面向量和三角形的綜合應(yīng)用，屬于難題，針對(duì)向量的題常用的方法有：
（1）取兩個(gè)不共線(xiàn)向量作為一組基底，將其他向量都用這一組基底進(jìn)行表示；
（2）如果是比較規(guī)則的圖形，比如有直角，等腰三角形，菱形等，建立合適的直角坐標(biāo)系，將結(jié)果用坐標(biāo)表示；
（3）若線(xiàn)段上一點(diǎn),為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，則對(duì)于直線(xiàn)外一點(diǎn)有：。
30．70
【分析】設(shè)中點(diǎn)為，易得，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，可轉(zhuǎn)化為，，設(shè)出點(diǎn)的參數(shù)方程，求出，即可得解.
【詳解】

如圖，設(shè)中點(diǎn)為，由，，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
，
，設(shè)，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以，
故答案為：70
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由向量的數(shù)量積求解橢圓上一點(diǎn)與定點(diǎn)距離問(wèn)題，轉(zhuǎn)化法和參數(shù)方程是解決本題關(guān)鍵，還綜合了余弦函數(shù)求最值問(wèn)題，試題整體難度不大，但綜合性強(qiáng)，是一道跨知識(shí)點(diǎn)考查相對(duì)不錯(cuò)的題！
31．
【分析】依題意作出如下圖形，令，，根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算法則及橢圓的定義得到點(diǎn)的軌跡，求出其軌跡方程，由的取值范圍，得到時(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，再代入橢圓方程計(jì)算可得.
【詳解】如圖及為平行四邊形，，，
令，，則，，
因?yàn)?，即?br>由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓其中、，
所以其軌跡方程為，
因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，的值最小，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓得，
解得．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是結(jié)合平面向量線(xiàn)性運(yùn)算法則及橢圓的定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算..
32．(1)（i）；（ii）；（iii）證明見(jiàn)解析
(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）（i）由的共軛四元數(shù)定義求解即可；（ii）再結(jié)合題意求解即可；（iii）由純四元數(shù)的定義證明即可.
（2）（i）由純四元數(shù)的定義證明即可；（ii）在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè),由題意可證明且，即可證明.
【詳解】（1）（i）．
（ii）因?yàn)椋裕?br>由（1）可得．
所以，
同理可驗(yàn)證，
所以．
因此，．
（iii）設(shè),則
．
由（ii）,，
而的實(shí)部為
，
所以的實(shí)部為0，所以．
（2）（i）設(shè)．則
，
,
所以,故．
（ii）在空間直角坐標(biāo)系中，．所以
，
．
因此且．
因?yàn)椴还簿€(xiàn)，所以,即是X的一個(gè)法向量．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決．
33．(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由，通過(guò)賦值即可證得；
（2）根據(jù)的周期性，經(jīng)過(guò)多次推理，由求和可以證得；
（3）構(gòu)造，可以推出，然后再可證得.
【詳解】（1）令，則．
由，令，則．
因?yàn)?，故?br>（2）證明：因?yàn)椋?br>，
，
，
，
所以
（3）證明：令，則有
，
因此
故且，即．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：主要考查了復(fù)數(shù)的周期性，考查推理論證能力，對(duì)學(xué)生思維要求比較高，綜合性很強(qiáng).
34．(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式的公式即可求解；
（2）把在處的泰勒展開(kāi)式中的替換為，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)整理可得，從而即可證明；
（3）根據(jù)在處的泰勒展開(kāi)式，先證恒成立，再證，恒成立，然后分和兩種情況討論即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在處的泰勒展開(kāi)式為（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），
所以，，在處的泰勒展開(kāi)式分別為：
，
，
；
（2）證明：把在處的泰勒展開(kāi)式中的替換為，可得
，
所以，即；
（3）解：由在處的泰勒展開(kāi)式，先證，
令，
，易知，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
再令，，易得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而，
所以 恒成立，
當(dāng)時(shí)， ，所以成立，
當(dāng)時(shí)，令，，易求得，
所以必存在一個(gè)區(qū)間，使得在上單調(diào)遞減，
所以時(shí)，，不符合題意.
綜上所述，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（3）問(wèn)解題的關(guān)鍵是根據(jù)在處的泰勒展開(kāi)式，先證恒成立，再證，恒成立，從而即可求解.
35．(1)證明見(jiàn)解析
(2)在復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，理由見(jiàn)解析
(3)所有階數(shù)小于等于四的群都是阿貝爾群，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合實(shí)數(shù)運(yùn)算分析證明；
（2）根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算分析證明；
（3）分類(lèi)討論群的階數(shù)，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.
【詳解】（1）我們需證在普通加法下可構(gòu)成一個(gè)群，需從以下四個(gè)方面進(jìn)行驗(yàn)證：
①封閉性：對(duì)，則，封閉性成立；
②結(jié)合律：對(duì)，，結(jié)合律成立；
③恒等元：取，則對(duì)任意，．符合恒等元要求；
④逆的存在性：對(duì)任意，，且，滿(mǎn)足逆的存在性．
綜上所述，所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下可構(gòu)成群．
（2）首先提出，的“×”運(yùn)算可以是復(fù)數(shù)的乘法：，理由如下．
即證明在普通乘法下可構(gòu)成一個(gè)群，同（1），需從四方面進(jìn)行驗(yàn)證：
①封閉性：設(shè)，，其中，即．
則，
所以
，即，封閉性成立；
②結(jié)合律：設(shè)，，，其中，
即，結(jié)合律成立；
③恒等元：取，則對(duì)任意，，符合恒等元要求；
④逆的存在性：對(duì)任意，取其共軛，則，滿(mǎn)足逆的存在性；
綜上所述，在復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群．
（3）所有階數(shù)小于等于四的群都是阿貝爾群，理由如下：
若群的階數(shù)為0，則為空集，與定義矛盾．所以的階數(shù)為1，2，3，4．下逐一證明．
（1）若群的階數(shù)為1，則其唯一的元素為其恒等元，明顯符合交換律，故此時(shí)是阿貝爾群；
（2）若群的階數(shù)為2，設(shè)其元素為，其中是恒等元，則，符合交換律，故此時(shí)是阿貝爾群；
（3）若群的階數(shù)為3，設(shè)其元素為，其中是恒等元，由群的封閉性，．
若，又，推出，則集合有兩個(gè)相同的元素，
不滿(mǎn)足集合的唯一性，矛盾，所以，
現(xiàn)要驗(yàn)證交換律，即．
若，有前知，且，所以，
與群的封閉性矛盾．所以，交換律成立，故此時(shí)是阿貝爾群；
（4）若群的階數(shù)為4，設(shè)其元素為，其中是恒等元，
由群的封閉性，，由③的分析可知，且，
所以或．
若．由群中逆的存在性，群中存在一個(gè)元素使得，很明顯，
所以或．
假設(shè)，即，又，推出則集合有兩個(gè)相同的元素，
不滿(mǎn)足集合的唯一性，矛盾，故只能；
先證交換律對(duì)成立，即．
若，則由，只能等于．
又因?yàn)椋ê屯恚?br>不滿(mǎn)足群中逆的存在性，矛盾，所以．交換律對(duì)成立．
接下來(lái)只需證交換律對(duì)和也成立．
事實(shí)上，由和的對(duì)稱(chēng)性，只需證即可．
由群中逆的存在性，存在使得．
①若，則只需證．
若，由群的封閉性，，所以只能等于，
又因?yàn)?，得，即?br>但是任取的，該結(jié)論具有局限性，不對(duì)一般的成立，故矛盾．
即，此時(shí)交換律對(duì)成立．
②若．群中逆的存在性，存在使得，
又因?yàn)?，所以只能等于，即?br>由①可得：，即此時(shí)交換律對(duì)成立．
故群的階數(shù)為4時(shí)，交換律成立，故此時(shí)是阿貝爾群．
綜上所述，所有階數(shù)小于等于四的群都是阿貝爾群．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義題型，要能讀懂題意，認(rèn)真歸納類(lèi)比即可得出結(jié)論，但在推理過(guò)程中要嚴(yán)格按照定義的法則或相關(guān)的定理進(jìn)行，同時(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸思想，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題，或?qū)?fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
36．(1)是，理由見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）取復(fù)平面上的圓，得到復(fù)數(shù)1，2，3在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)，復(fù)數(shù)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外，得到結(jié)論；
（2）先證明必要性，令復(fù)數(shù)，取復(fù)平面上的圓，得到是的“可分離子集”；再證明充分性，只需證當(dāng)時(shí)，不是的“可分離子集”，得到結(jié)論.
【詳解】（1）是，理由如下：
取復(fù)平面上的圓，
則復(fù)數(shù)1，2，3在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)．
而，
故復(fù)數(shù)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．
因此，是的“可分離子集”．
（2）必要性：當(dāng)時(shí)，令復(fù)數(shù)，
取復(fù)平面上的圓，
則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓周上，
又，
故1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．
由，
，
知．
故在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．
因此，當(dāng)時(shí)，是的“可分離子集”．
充分性：只需證當(dāng)時(shí)，不是的“可分離子集”．
假設(shè)存在復(fù)平面上的一個(gè)圓，使得在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓內(nèi)或圓周上，且1，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．
設(shè)圓心表示的復(fù)數(shù)為．再設(shè)．
由知
，
故．
由知
，
故．
進(jìn)而，，
由知，
故，
進(jìn)而．
這與矛盾，故所假設(shè)的圓在復(fù)平面上不存在．
即當(dāng)時(shí)，不是的“可分離子集”，充分性證畢，
綜上，是的“可分離子集”當(dāng)且僅當(dāng).
【點(diǎn)睛】集合新定義問(wèn)題的方法和技巧：
（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念.
37．(1) ；(2)證明見(jiàn)解析；(3)
【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可；
(2)由題設(shè)條件得出，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合向量共線(xiàn)定理即可證明；
(3)由題設(shè)條件推導(dǎo)出，利用這個(gè)條件以及等比數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)即可得出答案.
【詳解】(1)，
(2)由已知得
當(dāng)時(shí)，
令，則，即
即存在非零實(shí)數(shù)，使得
所以當(dāng)時(shí)，
(3),得
又，，則
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義、向量共線(xiàn)定理、等比數(shù)列的求和公式，屬于較難題.
38．
【分析】根據(jù)有趣的復(fù)數(shù)數(shù)列的定義，對(duì)參數(shù)m進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合數(shù)列的極限，能求出結(jié)果．
【詳解】考慮有趣的復(fù)數(shù)數(shù)列，歸納可知，，
由條件得，
解得，
，
①，
進(jìn)而有②，
記，
當(dāng)時(shí)，利用②可得，
當(dāng)時(shí)，
由①②可知，，
故
當(dāng)時(shí)，．
以上表明滿(mǎn)足要求，
另一方面，當(dāng)，，時(shí)，
由題意知為有趣的數(shù)列，
此時(shí)，，
這表明C不能大于，
綜上，所求C的值為．
39．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)題意和韋達(dá)定理可得，取模得，若，結(jié)論顯然成立，否則，由于數(shù)列恒為常數(shù)，則，即結(jié)論也成立；（2）由（1）和題意知，數(shù)列恒為常數(shù)，則只有互為共軛的兩種取值，不妨設(shè)為和，依據(jù)題意即可證明.
【詳解】由題意和韋達(dá)定理得,
則，即． ①
（1）由①取模得，若，結(jié)論顯然成立；
否則，由于數(shù)列恒為常數(shù)，則，即有．
（2）由（1）知，對(duì)任意的，又?jǐn)?shù)列恒為常數(shù)，因此只有互為共軛的兩種取值和．若存在，使得，不妨設(shè)，則．若，則，即或2；若，則
，且．
因此，要么，要么呈、周期．故顯然是常數(shù)，即證數(shù)列恒為常數(shù).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題主要考查數(shù)列不等式的證明，解題關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理得出，再取模，對(duì)這種特殊情形和一般情形討論即可證明結(jié)論成立；
（2）本題主要考查常數(shù)列的證明，解題關(guān)鍵在于的取值情況和的假設(shè)，由（1）和題意知，數(shù)列恒為常數(shù)，則只有互為共軛的兩種取值，不妨記為和，若存在，使得，不妨設(shè)，則，對(duì)分類(lèi)討論即可證明.
40．
【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算，先求出，再利用和差化積公式進(jìn)行求解.
【詳解】設(shè)，則.
所以：,
因?yàn)?，所?
所以.
∵.
∴
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用復(fù)數(shù)的三角形式計(jì)算復(fù)數(shù)的乘方和三角函數(shù)的和差化積公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

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